CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chú ý 2 : Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng... Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài bằn

Hàm số

I Khái niệm hàm số

Cho DR (D )

:

( )







Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi số xD với một số thực duy nhất f x( ) ta được một hàm số , kí R

hiệu : y f x( )

Trong đó : x là biến số còn y là hàm số Tập D được gọi là tập xác định của hàm số

II Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y f x( ) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Ví dụ : Tìm tập xác định của hàm số y x 5

Giải

Hàm số xác định x  5 0

x  5

Vậy tập xác định của hàm số trên là : D [-5; )

III Đồ thị của hàm số

8

6

4

2

2

4

6

8

M( x; f(x) )

Đồ thị của hàm số y f x( ) xác định trên tập xác định D là tập hợp tất cả các điểm M x f x trên mặt ( ; ( ))

phẳng tọa độ với mọi xD

D

y

f

Ví dụ : Cho hàm số yx 2x có đồ thị là ( P) và hai điểm M( 2; 3) , N(1; 7) Hãy cho biết trong hai 3 điểm đã cho điểm nào nằm trên đồ thị (P)

Giải

Xét M(2; 3)

Ta có : yx22x 3  3222.2 3

 3 3 ( hiển nhiên đúng)

 M( )P

Xét N(1;7)

Ta có : 2

yx  x  2 2

7 1 2.1 3 492 ( vô lý )

M( )P

IV Sự biến thiên của hàm số

1 Hàm số đồng biến ( tăng ) , nghịch biến ( giảm)

a) Hàm số đồng biến ( tăng)

Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến ( tăng) trên (a;b) nếu 1 2 1 2

1 2

, ( ; )









b) Hàm số nghịch biến ( giảm)

Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến ( giảm) trên (a;b) nếu 1 2 1 2

1 2

, ( ; )









2 Chiều biến thiên

Để chỉ hàm số y = f(x) tăng trên ( a; b) ta dùng mũi tên đi lên , còn hàm số giảm trên ( a; b) ta dùng mũi tên đi xuống

V Tính chẵn , lẻ của hàm số

1 Hàm số chẵn

Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn



 



2 Hàm số lẻ

Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ



 

  



Chú ý 1: Một hàm số có thể không có tính chẵn , lẻ

Chú ý 2 : Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

I Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có

Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q

Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)

Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

Các dạng bài tập

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số

PP :

 Đối với hàm số dạng y f x( ) , hàm số xác định  f x  ( ) 0

 Đối với hàm số dạng ( )

( )

f x y

g x

 , hàm số xác định  g x  ( ) 0

 Đối với các hàm đa thức , tập xác định D = R

Ví dụ 1 : Tìm tập xác định của hàm số y 2x 1

Giải

Hàm số đã cho xác định 2x  1 0

2x 1

1

2

x

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là [1; )

2

D  

Ví dụ 2 : Tìm tập xác định của hàm số 1

2

x y x







Giải

Hàm số đã cho xác định  x  2 0

 x2

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là DR\{2}

Bài tập Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :

1) y 3x 1

2) y 2x 3

3) y 7x20

3

y x

2

1

y

x





7)

x y

x





3 4

y

x





9) y 2x 1

x





4

y

x

11)

2

2 4

x

y

x







x y





13) 21

3

y





9

x y

x





x y





16)

2 2

1

y x

 





4

y

x x



 18) y x2 x 5 19) y 3x x 3 20) y 1x 1 x

21) y 7x 1 x

22) y x 1 3 x 3 2 x6

2

y x   x

24) y x 5 4 5x

25) y 4x  3 7 26) y 5 7 4x x2 27) y 4x  1 2x 1

x



3

x y x







x y

31) y 4x 2 1

x

32) y 3x 8 x7

2

y

x





1

x

x



( 2)( 3)

y



2

x

y

x





 37)

2

2

x y





38)

( 1)( 2)

x y





39)

2 2

9

y

x



 40) y= x2 4 +

3 4

1

2



 x x

41) y = x   8 2 x  7 + 1

1 x 

4

x y

x x







2

x



1

x

x

45) y =

2 2

9

x

 46) y= x2 4 +

3 4

1

2



 x x

47) y= 2 x 4 + 6x

1

x

y

x





x y





 

x y





51) y= x   8 2 x  7 + 1

1 x  52) y = 2

x  x 53) y x24

54) y =

6 5

3

2





 x x

55) y =

2 3

2 1 2

2







 x x

) x )(

x (

56) y = (3x4)(3x) 57) y =

1 2

2



 ) x x ( 58) y =

1 2

1

2







| x

|

x

- 33 x 5 59) y = x + 1 x

60) y = 2 x 

4 x

4



61) y =

x

x 1 x

62) y =

1 x x x

x x

2 2









63) y =

x 5 2

3 x

x2









64) y =

1 x

x 3 2 x









65) y=

4 x x

1 x 2





Bài 2: Cho hàm số y = 5  x  2x  3 Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài bằng 2 đơn vị

Bài 3:Cho hàm số

3

1 ( )

1

1

x x x

f x

x

x x





 



 



 a) Tìm tập xác định của hàm số y=f(x)

b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1)

Bài 4: Cho hàm số f x( ) x2 x1

i Tìm tập xác định của hàm số

ii Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f(4), ( 2), ( )f f 

chính xác đến hàng phần trăm

Bài 5: Tìm điều kiện của m để hàm số sau xác định trên [0;1)

a) 2

x

   b) y xm 2xm 1

Dạng 2 Xét tính chẵn, lẻ của một hàm số

PP: Dựa vào khái niệm tính chẵn , lẻ

 Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn



 



 Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ



 

  



Ví dụ 1 : Xét tính chẵn , lẻ của hàm số 2

y x 

Giải :

Ta có : tập xác định D = R

nên x D  x D

Xét : f(x)3(x)223x22 f x( )

 Hàm số đã cho là hàm số chẵn

Ví dụ 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số yx2  x 1

Giải :

Ta có : tập xác định D = R

nên x D  x D

f x  x  x  x   x

Do ( ) ( )





  



 Hàm số đã cho không có tính chẵn , lẻ

Bài tập Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau :

3

yx  x

2) yx2 2

3) y2xx3

y x  x 

x y

x



 6) yx x x3

7) yx43x2 1

8) y x2 x2 9) y 2x 1 2x 1

2

y  x  x

11)

4 2

1

y

x

 12)

3

7

x y x





13) yx x

14) y 1x 1x

15) y 1x 1 x

16) y =

1 1

2 2













x x

x x

yx x 

18) y(2x1)(2x1)

19)

2

2

; 1





Dạng 3 Xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số

Phương pháp :

Tìm tập xác định D của hàm số

Giả sử x x1, 2D x( 1x2)

Lập tỉ số 2 1

2 1





2 1

0





 thì hàm số đã cho đồng biến ( tăng)

2 1

0





 thì hàm số đã cho nghịch biến (giảm)

Ví dụ :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: 2

3

y f x x

x

 GIẢI

Tập xác định: D  R \ 3  

Giả sử x x1, 2D x( 1x2)

1

f x f x



 

3 0

x x

 



3 0

x x

 

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trong   ;3    3;  

Bài tập Bài 1 Bằng cách xét tỉ số 2 1

2 1



 , hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (khơng yêu cầu lập bảng biến thiên của nĩ) trên các khỏang đã cho:

a y 3x 5

y x  x trên khoảng (; 2)

1

x

y

x





 trn khoảng (1; )

d yx33x trn R 2

e

1

x y x



 trên (  và ( 1;; 1)   )

Bài 2 Giả sử f(x) là hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) Cmr:

a Hàm số y f x( )C (C là hằng số) nghịch biến trên khoảng (a;b)

b Hàm số y 2004 ( )f x đồng biến trên khoảng (a;b)

Bài 3.Cho hàm số

2







a Tìm tập xác định của hàm số Tính (1),f f ( 3)

b Trên các khoảng sau đây hàm số đồng biến hay nghịch biến ( 3; 2), ( 1;0) ?  

Bài 4 Cho hàm số

2

( )

f x



 



a Tìm tập xác định của hàm số

b Tính các giá trị (5), (f f  5), (0)f

c Tìm x sao cho ( ) f x  5

Dạng 4 Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Bài 1: Giả sử hàm số y 2

x



 có đồ thị là (H)

a Nếu tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

b Nếu tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

c Nếu tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

Bi 2 Cho (P) là đồ thị của hàm số 2

3

y  x

a Nếu tịnh tiến (P) sang phải 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

b Nếu tịnh tiến (P) xuống dưới 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

c Nếu tịnh tiến (P) sang tri 1 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được

đồ thị của hàm số nào?

Bài 3 Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x 

a Khi tịnh tiến (H) sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?

b Khi tịnh tiến (H) lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?

c Khi tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?

Bi 4 Cho hàm số 2 2

3

y x có đồ thị là parabol(P) Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm số :

Bài 5 Tìm tất cả các hàm số f R: R biết : x f x2 ( ) f(1x)2xx4 , x R

Bài 6 Tìm hàm số ( )f x biết : (3 2) 2, 1

1

x

x





Bài 7 Tìm hàm số ( )f x biết ( 1) 3 2, 4

4

x

x





Bài 8 Tìm hàm số ( )f x biết: ( 3) 32 4, 2

Bài 9 Tìm hàm số f x biết: 4 ( ) (( ) 1) ( ) 15, 1

1

x

x



Bài 10 Tìm hàm số ( )f x biết: 2 ( ) 5 ( f x  x f x)4x3,  x

HÀM Số BậC NHấT

Tóm tắt lý thuyết

1 Hàm số dạng yax b , a;b R và a≠ 0

Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R

a > 0 hàm số đồng biến trên R

a < 0 hàm số nghịch biến trên R

2 Bảng biến thiên :

a > 0 a < 0

Bài tập Bài 1.Cho hàm số y3 24x Không sử dụng máy tính hãy so sánh hai giá trị: (7 5 6)

5

(7 5 6)

5

Bài 2 Cho hàm số 7 101

y x Không sử dụng máy tính hãy so sánh hai giá trị: ( 3 5)

4

( 3 5)

4

Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y = -2x +k(x+1)

a) Đi qua gốc tọa độ O

b) Đi qua điểm M(-2,3)

c) Song song với đường thẳng y 2x

Bài 4 Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng yax b

a Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2

b Song song với đường thẳng 1

2

y x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1 1

2

y  x và

y= 3x+5

Bài 5

a Cho điểm A x y ( o, o), hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hòanh

b Chứng minh rằng hai đường thẳng y = x-2 và y= 2- x đối xứng với nhau qua trục hòanh

c Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hoành

Bài 6

a Tìm điểm A sao cho đường thẳng y = 2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất

kỳ giá trị nào

b Tìm điểm B sao cho đường thẳng y = mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào

Bài 7 Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho

a Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và y = mx+5 phân biệt và đồng quy

b Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và đồng quy

Bài 8 Cho Cho 2 đường thẳng 1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; 2 : y = (m – 2) x + m + 4

a Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng

x - + x - +

y = ax + b +

-

y = ax + b

+

-

b Định m để đồ thị 1 song song với 2

Bi 9 Chứng minh rằng phương trình đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A(a;0) , B(0;b)

với ab 0 l x y 1

ab 

Bi 10 Tìm hàm số yax b biết đồ thị của nó:

a Qua hai điểm A(3; -4) và B(1; -1)

b Qua A(3; -4) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

c Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là – 2 và song song với đường thẳng (d) có phương trình

y  x

d Đi qua giao điểm của đường thẳng y3x với trục hoành và tạo với hai trục tọa độ một tam giác 6

có diện tích bằng 6

Bi 11 Với mỗi giá trị của m, xét đường thẳng (d m) :y(2m1)x 3

a Với m = 2, hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d2)

b Tìm điểm cố định mà đường thẳng đ cho luôn đi qua với mọi m

HÀM Số BậC HAI

Tóm tắt lý thuyết

Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c  R và a ≠ 0

 Tập xác định là R

 Đỉnh I (

2

b a

4a



 )

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;

2

b a

 )

và đồng biến trên khoảng (

2

b a

 ; +)

 Bảng biến thiên

x

- 

2

b a

 +

y + +

4a





 Trục đối xứng là đường x =

2

b a



 Tập xác định là R

 Đỉnh I (

2

b a

4a



 )

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -;

2

b a

 )

và đồng biến trên khoảng (

2

b a

 ; +)

 Bảng biến thiên

x

- 

2

b a

 +

y

4a



 - -

 Trục đối xứng là đường x =

2

b a



Bài tập

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2

yx  x

Giải

*Tập xác định: DR

*Bảng biến thiên

Do a  1 0 ta có :

Hàm số tăng trên ( 3; )

2

  , giảm trên ( ; 3)

2

 

Hàm số có trục đối xứng là đường thẳng 3

2

x  

Hàm số có đỉnh ( 2; 25)

4

I  

*Điểm đặc biệt

( 4; 0) , (1; 0) , ( 3; 25)

*Đồ thị

6

4

2

2

4

6

8

10

I

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a y 2x22x 3

b y x24x

y  x   x

d y 3x22x 1

e y2x2  x 1

f y x22x 1

y x   x

Bài 2 Cho hàm số 2

y  x  x  Không sử dụng máy tính hãy so sánh các giá trị sau :

x

 3

2

 

y  

25

4



a f( 2 1) và ( 2 1)f 

b f(5 53) và (5 5 3)f 

Bài 3 Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d):

( )P yx  x 6, ( )d y2x12

( )P y x 2x1, ( )d y 2x 1

( )P y2x  2x 2, ( )d y2 2x 2

Bài 4

a Tìm tọa độ giao điểm của (P) 2

yx  x và (d) y2x 3

b Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ

c Từ đồ thị hãy tìm các giá trị của x sao cho 2x 3 x22x 7

Bài 5

a Tìm parabol (P) y = ax2 + bx + c Biết (P) qua M(3;4) , N(-2; -1) có hoành độ đỉnh là 3

b Tìm parabol (P) y = ax2 + bx + c Biết (P) qua A(1,3), B(-2;5) , C(0; 8)

c Tìm hàm số : y = ax + b biết nó đi qua hai điểm A(-1; 2) ,B(3; 1)

d Xác định (P) y = ax2 + bx + 2 , biết (P) :

-Đi qua 2 điểm M(1;5) và N(-2;8)

- Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x =

2

3



- Có đỉnh là I(2;-2)

-Đi qua B(-1;6) và tung độ đỉnh là

4

1



Bài 6.Tìm phương trình (P) : yax2bx c biết :

a Đi qua ba điểm A(-2;1), B(3;2), C(0;10

b Đi qua A(2;3) và có đỉnh là I(1;1)

c Nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng, qua M(-5;6) và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng -2

Bài 7 Cho hàm số yx24x có đồ thị là (P) 3

a Vẽ đồ thị (P).Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị (P’) của hàm số y x24x3

b Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị của hàm số y x24x  3

c Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt

Bài 8 Xác định phương trình Parabol:

a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =

2

3 b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2

c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)

d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)

e) y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = - 1

Bài 9 Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây Tìm giá trị

nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng

y  x  c) 2

y  x  x

Bài 10 Vẽ đồ thị của hàm số y x25x Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm 6 chung của parabol y x25x và đường thẳng y= m 6

Bài 11 Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa độ

1) Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song với trục tung