Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng

302 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng 34 2.1 Kỹ thuật xây dựng các copula nhiều chiều.. Như ta đã biết, nếu các thị trường có sự phụ thuộc tuyến tính với nhauthì chúng

Mục lục

1.1 Copula 9

1.1.1 Giới thiệu về copula 9

1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula 11

1.1.3 Các biên Fre’chet- Hoeffding có các hàm phân phối đồng thời 13

1.1.4 Các copula và các biến ngẫu nhiên 15

1.2 Sự phụ thuộc 22

1.2.1 Tương quan tuyến tính 22

1.2.2 Sự phụ thuộc hoàn hảo 24

1.2.3 Sự phù hợp 24

1.2.4 Hệ số Kendall tau (τ ) 25

1.2.5 Hệ số Spearman rho (ρ) 28

1.2.6 Sự phụ thuộc đuôi 30

2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng 34 2.1 Kỹ thuật xây dựng các copula nhiều chiều 34

2.1.1 Họ Farlie- Gumbel- Morgenstern 35

2.1.2 Họ Marshall- Olkin 37

2.2 Các Copula Elliptic 43

2.2.1 Copula Gauss 45

2.2.2 t- copula 47

2.3 Các Copula Archimede 50

2.3.1 Các tổng lồi 50

2.3.2 Các định nghĩa, tính chất và ví dụ 52

2.3.3 Sự phụ thuộc đuôi 61

2.3.4 Các copula Archimede nhiều chiều 64

2.4 Ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula trong bảo hiểm 68

Kết luận 76

Tài liệu tham khảo 78

Phụ lục 80

Mở đầu

Trong kỷ nguyên hội nhập kinh tế, các thị trường kinh tế khác nhau có sự phụ thuộc nhấtđịnh Nói riêng, trong một nước các ngành kinh tế khác nhau cũng có sự phụ thuộc nhất định, vídụ: sự phụ thuộc giữa thị trường vàng và thị trường chứng khoán, thị trường chứng khoán và thịtrường dầu mỏ, Nếu ta đo lường được sự phụ thuộc giữa các thị trường tài chính với nhau thì

sẽ quản trị rủi ro tốt hơn Như ta đã biết, nếu các thị trường có sự phụ thuộc tuyến tính với nhauthì chúng ta sử dụng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán Nhưng nếucác thị trường không có sự phụ thuộc tuyến tính với nhau mà chúng có sự phụ thuộc phi tuyếnthì chúng ta không thể dùng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán Vậyvấn đề đặt ra là: Nếu giữa các thị trường có sự phụ thuộc phi tuyến với nhau thì chúng ta dùngcông cụ nào để tính toán? Để giải quyết vấn đề này chúng ta sẽ dùng mô hình hóa sự phụ thuộcgiữa các biến nhẫu nhiên bằng phương pháp copula

Copula là các hàm liên kết hoặc nối các phân phối biên duyên một chiều với các hàm phânphối nhiều chiều Copula thường được quan tâm trong các lĩnh vực nghiên cứu về sự phụ thuộc

và xây dựng các phân phối nhiều chiều Trong lĩnh vực tài chính, copula thường được sử dụngnhư một công cụ quan trọng trong các bài toán nghiên cứu sự tương quan giữa các thị trường,

đo lường rủi ro của các danh mục đầu tư và nhiều bài toán liên quan khác Vì vậy, trong nhữngnăm gần đây những nghiên cứu về copula và các ứng dụng của nó được rất nhiều người quan tâm

Trong luận văn này trình bày về các họ copula và mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thôngqua việc nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa hai phân phối Các kết quả này cung cấp một cơ sởcho những ai quan tâm đến mô hình hóa sự phụ thuộc trong lý thuyết và các ứng dụng của nótrong thực tế.

Với mong muốn tìm hiểu về các vấn đề trên, luận văn nghiên cứu về đề tài: ”Mô hình hóa

sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng”

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày những khái niệm cơ sở, tính chấtcủa copula, sự phụ thuộc và một số ví dụ minh họa

Chương 2: Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng Chương này trìnhbày việc mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua sự phụ thuộc đuôi của các phân phốicopula Phần cuối của chương này, luận văn trình bày ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộcvới các copula với các số liệu trong thực tế

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình chỉ bảo của

TS Trần Trọng Nguyên Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắccủa tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầycủa mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-

2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo củanhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ

vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà Nội, Tháng 01 năm 2014

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về copula, các tính chất của chúng và khái niệm

sự phụ thuộc để sử dụng cho chương sau

1.1 Copula

1.1.1 Giới thiệu về copula

Giả sử R biểu thị đường thẳng thực thông thường (−∞, ∞), R biểu thị đường thẳng thực mởrộng [−∞, ∞] và R2 biểu thị mặt phẳng mở rộng R × R Một hình chữ nhật trong R2 là tích Đềcác B của hai khoảng đóng B = [x1, x2] × [y1, y2] Các đỉnh của hình chữ nhật B là các điểm(x1, y1) , (x1, y2) , (x2, y2) , (x2, y1) Hình vuông đơn vị I2 là tích I × I, ở đó I = [0, 1] Một hàm thựcn- vị trí H là một hàm mà miền xác định của DomH là một tập hợp con của R2 và miền giá trịcủa RanH là một tập con của R

Định nghĩa 1.1 Cho S1, S2, , Sn là các tập con không rỗng của R , trong đó R kí hiệu là đường

thẳng thực mở rộng [−∞; ∞] Giả sử H là hàm thực với n biến trên miền xác định DomH =

Hk(x) = H (b1, b2, , bk−1, x, bk+1, , bn) (1.3)với tất cả x trong Sk

Phân phối biên duyên một- chiều sẽ được gọi đơn giản là “phân phối biên duyên” với k > 2 phân

Bổ đề 1.1 Cho S1, S2, , Snlà tập con khác rỗng của R , và giả sử hàm H có đáy n- tăng với miềnxác định S1×S2× ×Sn Khi đó là không giảm theo mỗi đối số, tức là nếu (t1, t2, , tk−1, x, tk+1, , tn)

và (t1, t2, , tk−1, y, tk+1, , tn) nằm trong miền xác định DomH và x < y khi đó

Chứng minh: (xem Schweizer và Sklar (1983) , [10])

Định nghĩa 1.3 Hàm phân phối n- chiều là một hàm H với miền Rn mà:

n-1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula

Đầu tiên chúng ta xác định các subcopula như một lớp của các hàm n- tăng cơ sở với các biên,khi đó chúng ta xác định các copula như các subcopula với miền xác định In

Định nghĩa 1.4 Một subcopula n- chiều là một hàm C’ với những tính chất sau:

1 DomC0 = S1× S2× × Sn, với mỗi Sk là một tập con của I chứa 0 và 1

2 C0 có đáy và n- tăng

3 C0 có phân phối biên duyên Ck0, k = 1, 2, , n thỏa mãn Ck0 (u) = u với mọi u trong Sk

Chú ý rằng với mỗi u thuộc DomC0 , 06 C0(u) 6 1 vì vậy C0 cũng là tập con của I.

Định nghĩa 1.5 Một copula n-chiều là một n-subcopula C mà miền xác định là In Một cáchtương đương , n- copula là một hàm C từ In tới I với những tính chất sau:

1 Với mọi u trong In, C (u) = 0 nếu ít nhất một tọa độ của u là 0 và nếu tất cả tọa độ của u là

1 trừ uk thì C (u) = uk

2 Với mọi a và b trong In được xác định a6 b , VC([a, b]) > 0

Chú ý rằng với bất kì n- copula C, n> 3, mỗi k- biên duyên của C là k- copula, 2 6 k < n Định

lý sau suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.2

Định lý 1.1 Cho C0 là n- subcopula Khi đó với mỗi u và v thuộc DomC0,

Vì thế C0 là liên tục đều trên miền xác định của nó

Định lý 1.2 (Định lý Skalar với n- chiều) Cho H là một hàm phân phối n- chiều với các phânphối biên duyên F1, F2, , Fn Khi đó tồn tại một n- copula C sao với mọi x thuộc Rn , ta có:

H (x1, x2, , xn) = C (F1(x1) , F2(x2) , Fn(xn)) (1.4)Nếu tất cả F1, F2, , Fn liên tục , khi đó C là duy nhất, nói cách khác C là xác định duy nhấttrên RanF1×RanF2× ×RanFn Ngược lại , nếu C là n- copula và F1, F2, , Fn là các hàm phânphối, thì hàm H xác định ở trên là một hàm phân phối n- chiều với các biên duyên F1, F2, , Fn.Chứng minh: (xem Sklar (1996) , [13])

Định nghĩa 1.6 Cho F là một hàm phân phối Khi đó ma trận tựa nghịch đảo của F là bất kìhàm F(−1) với miền xác định I sao cho:

1 Nếu t thuộc RanF thì F(−1)(t) là số x bất kì trong R sao cho F (x) = t, nghĩa là với tất cả

2 Nếu t không thuộc RanF thì

F(−1)(t) = inf {x |F (x) > t} = sup {x |F (x) 6 t}

Nếu F là tăng ngặt thì ma trận tựa nghịch đảo là nghịch đảo thường, chúng ta kí hiệu : F−1

Hệ quả 1.1 Cho H, C, F1, F2, , Fn như trong định lý 1.2 và cho

F1(−1), F2(−2), , Fn(−n)

là ma trận tựa nghịch đảo của F1, F2, , Fn tương ứng Khi đó với u bất kì trong In,

C (u1, u2, , un) = HF1(−1)(u1) , F2(−1)(u2) , , Fn(−1)(un)

Ví dụ 1.1 Kí hiệu Φ là hàm phân phối chuẩn tắc đơn biến và kí hiệu Φn

ρ là hàm phân phối chuẩnnhiều chiều với ma trận tương quan tuyến tính ρ Khi đó C (u1.u2, , un) = Φn

ρ(Φ−1(u1) , Φ−1(u2) , , Φ−1(un))

là Gauss hoặc n-copula chuẩn Copula này thường được sử dụng trong thực tế, bởi vì nó có một

số tính chất đẹp như là một thành viên của họ copula elliptic và nó rất dễ dàng mô phỏng với

những người thực hành có hiểu biết hạn chế về các copula

1.1.3 Các biên Fre’chet- Hoeffding có các hàm phân phối đồng thời

Xét các hàm Mn, Πn và Wn cho bởi

Mn(u) = min (u1, u2, , un)

Πn(u) = u1u2 un

Wn(u) = max (u1+ u2+ + un− n + 1, 0)

Các hàm Mn và Πn là n-copula với mọi n > 2 trong khi hàm Wn không là copula với bất kì

n > 2 như trong ví dụ sau

Ví dụ 1.2 Xét n- hình lập phương [1/2, 1]n ⊂ In Bởi vì lực lượng của W là đối xứng thể tích-W

của [1/2, 1]n là cho bởi:

Vì thế, Wn không là copula với n > 3

Tiếp theo định lý mở rộng n chiều của Fre’chet-Hoeffding của bất đẳng thức các biên

Định lý 1.3 Nếu C0 là n-subcopula bất kì, khi đó với mỗi u trong DomC0,

Wn(u) 6 C0(u) 6 Mn(u) (1.5) Chứng minh:(xem Nelsen (1999) , [9])

Mặc dù Fre’chet-Hoeffding biên dưới Wnkhông là một copula với n > 2, vế trái của (1.5) là cóthể đạt được theo hướng với mọi n> 3 và bất kì u trong In, có một n-copula mà C (u) = Wn(u)

Định lý 1.4 Với bất kì n > 3và u bất kì trong In , có một n-copula C (mà phụ thuộc vào u)chẳng hạn

C (u) = Wn(u)Chứng minh:(xem Nelsen (1999) , [9])

Định nghĩa 1.7 Nếu C1và C2 là các copula, chúng ta nói rằng C1 nhỏ hơn C2 (hoặc C2 lớn hơn

C1) và viết C1 ≺ C2 ) (hoặc C2  C1) nếu

C1(u1, u2, , un) 6 C2(u1, u2, , un) với mọi u1, u2, , un thuộc I

1.1.4 Các copula và các biến ngẫu nhiên

Giả sử X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm phân phối F1, , Fn tương ứng

và hàm phân phối đồng thời H Khi đó (X1, , Xn) có duy nhất một copula C, với C được chobởi (1.4)

Định lý 1.5 Cho X1, X2, , Xnlà các biến ngẫu nhiên liên tục với copula C Khi đó X1, X2, , Xn

là các biến độc lập nếu và chỉ nếu C = Πn

Một tính chất đẹp của các copula là phép biến đổi đơn điệu ngặt của các biến copula là bấtbiến Chú ý rằng nếu hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X là liên tục, và nếu α là hàm đơnđiệu ngặt có miền xác định chứa miền giá trị RanX, khi đó hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Cho F1, F2, , Fnkí hiệu là các hàm phân phối của X1, X2, , Xntương ứng, và kí hiệuG1, G2, , Gn

theo thứ tự là các hàm phân phối của

Từ định lý Sklar chúng ta biết rằng hàm copula, C , tập hợp tách một hàm phân phối n- chiều

từ các phân phối biên duyên của nó Định lý tiếp theo cũng sẽ cho biết một hàm, bC, tồn tại hàm

tách n- chiều các phân phối biên duyên sống sót của nó Hơn nữa, hàm này có thể được biểu diễn

bằng một copula, và copula sống sót có thể hoàn toàn dễ biểu diễn trong các số hạng của C và

k-phân phối biên duyên của nó

Định lý 1.7 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với copula CX1,X2, ,Xn Cho

α1, α2, , αnlà đơn điệu ngặt theo thứ tự trên RanX1, RanX2, , RanXn, và cho α1(X1) , α2(X2) , , αn(Xn)

có copula Cα1(X1),α2(X2), ,αn(Xn) Hơn nữa cho αk là hàm giảm ngặt với một số k thỏa mãn

1 6 k 6 n Không mất tính tổng quát cho k = 1 khi đó

Cα1(X1),α2(X2), ,αn(Xn)(u1, u2, , un) =

= Cα2(X2), ,αn(Xn)(u2, , un) − CX1,α2(X2), ,αn(Xn)(1 − u1, u2, , un)

Chứng minh

Cho X1, X2, , Xn có các phân phối biên duyên F1, F2, , Fn

và cho α1(X1) , α2(X2) , , αn(Xn) có các phân phối biên duyên G1, G2, , Gn Khi đó

Từ đó ta có kết luận sau đây.

Bằng cách sử dụng kết quả của hai định lý trên rõ ràng một cách tổng quát hơn copula

Cα1(X1),α2(X2), ,αn(Xn) có thể được biểu diễn trong các số hạng của copula CX1,X2, ,Xn Điều nàyđược thực hiện trong ví dụ sau

Ví dụ 1.3 Xét trường hợp phân phối hai chiều

Cho α1 là giảm ngặt và cho α2 là tăng ngặt Khi đó:

Cα1(X1),α2(X2)(u1, u2) = u2 − CX1,α2(X2)(1 − u1, u2) = u2− CX1,X2(1 − u1, u2)

Cho α1 và α2 là giảm ngặt Khi đó :

Cho α1, α2 và α3 là giảm ngặt Khi đó :

Ở đây Cα1(X1),α2(X2),α3(X) là copula sống sót của X1, X2, X3

Cũng chú ý rằng hàm sống sót đồng thời của n biến ngẫu nhiên đều (0, 1) có hàm phân phốiđồng thời là copula C là

C (u1, u2, , un) = AC(u1, u2, , un) + SC(u1, u2, , un)Trong đó

độ đồng thời được cho bởi ∂u∂n

1 ∂u nC (u1, , un)

Nếu C = SC trên In khi đó C được gọi là suy biến, và ∂u∂n

1 ∂u nC (u1, , un) = 0 hầu khắp nơitrong In

Giá của một copula là phần bù của hợp tất cả các tập con mở của In với C- độ đo không Khigiá của một copula C là In , Chúng ta nói C có “giá toàn phần” Khi C là suy biến thì giá của C

có độ đo Lebesgue không và ngược lại Tuy nhiên, một copula có thể có giá toàn phần mà khôngcần phải liên tục tuyệt đối

Ví dụ 1.4 Xét phân phối hai chiều Fre’chet-Hoeffding biên trên M Khi

∂ 2

∂u∂vM (u, v) = 0 khắp nơi trên I2 ngoại trừ trên đường chéo chính (trong đó có độ đo Lebesguekhông), và M - độ đo của tất cả các hình chữ nhật I2 hoàn toàn trên hoặc dưới đường chéo chính

là không, M là kì dị Giá của M là đường chéo chính của I2 như trong hình 1.1

Tương tự như vậy giá của phân phối hai chiều Fre’chet-Hoeffding biên dưới W là đường chéothứ hai của I2 như trong hình 1.1

Ta sẽ trình bày các thuật toán có kết quả của các biến ngẫu nhiên sinh ra từ các họ copulanghiên cứu khác nhau Các thuộc tính cụ thể của họ copula thường là cần thiết cho tính hiệu quảcủa các thuật toán tương ứng Bây giờ chúng ta trình bày một thuật toán chung cho biến ngẫu

Hình 1.1: Giá của Fre’chet- Hoefding các biên trên và dướinhiên được tạo thành từ các copula Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thì nó không phù hợp để

sử dụng

Xét trường hợp tổng quát của biến ngẫu nhiên tạo thành từ n-copula C Cho:

Ck(u1, u2, , un) = C (u1, u2, , uk, 1, , 1) , k = 1, 2, , n − 1

kí hiệu k- phân phối biên duyên của C (u1, u2, , un) Hơn nữa C1(u1) = u1 và Cn(u1, u2, , un) =

C (u1, u2, , uk) Cho (U1, U2, , Un) có hàm phân phối đồng thời C Khi đó phân phối cá điềukiện của Uk cho các giá trị là k − 1 thành phần đầu tiên của (U1, U2, , Un) được cho bởi

được hầu khắp nơi, đầu tiên theo thứ tự các đạo hàm riêng tồn tại hầu như tất cả (u1, u2, , un)

thuộc In Thuật toán sau đây tạo ra một biến ngẫu nhiên (u1, u2, , un) từ C (u1, u2, , un):

có hàm phân phối chung C

Việc mô hình hóa một giá trị từ Ck(uk|u1, u2, , uk−1) nói chung có nghĩa là mô hình hóa q từ

U (0, 1) với uk = Ck−1(q |u1, u2, , uk−1) có thể nhận được từ phương trình q = Ck(uk|u1, u2, , uk−1)thông qua việc tìm số nghiệm Tuy nhiên chúng ta sẽ trình bày những trường hợp mà Ck−1( |u1, u2, , uk−1)tồn tại dạng đóng và do đó không cần tìm số nghiệm Trong các trường hợp này các thuật toán

có thể được sử dụng Chúng tôi sẽ đưa ra phương pháp có điều kiện với biến ngẫu nhiên được tạo

là thường được sử dụng trong thực tế như một phép đo của sự phụ thuộc Tuy nhiên khi tươngquan tuyến tính không là một phép đo dựa trên sự phụ thuộc copula Nó thường dẫn đến sai lầm

và không nên xem đó là phép đo sự phụ thuộc chính tắc

Chúng ta bắt đầu bằng cách trình bày tương quan tuyến tính và sau đó chúng ta tiếp tục vớimột số phép đo dựa trên sự phụ thuộc copula

1.2.1 Tương quan tuyến tính

Định nghĩa 1.8 Cho X và Y là hai giá trị thực các biến ngẫu nhiên với phương sai hữu hạn.Mối tương quan tuyến tính giữa X và Y là:

ρl(X, Y ) = √ Cov(X,Y )

V ar(X)√

V ar(Y )

Với Cov (X, Y ) = E (XY )−E (X) E (Y ) là hiệp phương sai giữa X và Y , và V ar (X) , V ar (Y )

kí hiệu là phương sai của X và Y

Tương quan tuyến tính là phép đo của sự phụ thuộc tuyến tính Trong trường hợp sự phụ thuộctuyến tính là đầy đủ, nghĩa là Y = aX + b h.c.c với a ∈ R\ {0}, b ∈ R, chúng ta có ρl(X, Y ) =

±1 Nếu không −1 < ρl(X, Y ) < 1 Hơn nữa tương quan tuyến tính có tính chất:

ρl(αX + β, γY + δ) = sgn (αγ) ρl(X, Y )với α, γ ∈ R\ {0} , β, δ ∈ R Do đó tương quan tuyến tính là bất biến theo các phép biến đổi tuyếntính tăng ngặt

Tương quan tuyến tính là dễ dàng vận dụng theo các phép toán tuyến tính Cho A, B ∈

Rm×n; a, b ∈ Rm và cho X, Y là n- vectơ ngẫu nhiên Khi đó:

Cov (AX + a, BY + b) = ACov (X, Y ) BT

Từ bây giờ trở về sau với α ∈ Rn,

1.2.2 Sự phụ thuộc hoàn hảo

Với mọi n- copula C chúng ta biết từ bất đẳng thức Fre’chet-Hoeffding

Wn(u1, u2, , un) 6 C (u1, u2, , un) 6 Mn(u1, u2, , un)Hơn nữa, với n = 2 ước lượng trên và mật độ dưới biên của các copula và chúng ta đã biết W và

M là các hàm phân phối hai chiều của các véc tơ ngẫu nhiên (U, 1 − U ) và (U, U ) tương ứng tại

U đều ( 0, 1).Trong trường hợp này chúng ta nói rằng W mô tả đầy đủ sự phụ thuộc âm và M

mô tả đầy đủ sự phụ thuộc dương

Định lý 1.8 Cho (X, Y ) có một trong các copula W hoặc M Khi đó tồn tại hai hàm đơn điệu

α, β : R → R và một biến ngẫu nhiên có giá trị thực để

(X, Y ) =d(α (Z) , β (Z)),với α tăng và β giảm trong trường hợp trước và cả α và β đều tăng trong trường hợp sau Điềungược lại của kết quả này cũng đúng

Chứng minh:(xem Embrechts, McNeil và Straumann (1999) , [5])

1.2.3 Sự phù hợp

Cho (xi, yi) và (xj, yj) là hai quan sát từ một véc tơ ngẫu nhiên (X, Y ) của các biến ngẫu nhiênliên tục Chúng ta nói rằng (xi, yi) và (xj, yj) là phù hợp nếu xi < xj và yi < yj, hoặc xi > xj và

yi > yj Tương tự như vậy nếu chúng ta nói (xi, yi) và (xj, yj) là không phù hợp nếu xi < xj và

yi > yj, hoặc xi > xj và yi < yj Điều này có thể được trình bày gọn hơn: (xi, yi) và (xj, yj) làphù hợp nếu (xi− xj) (yi− yj) > 0, và không phù hợp nếu (xi− xj) (yi− yj) < 0

n) phân biệt cặp (xi, yi) và (xj, yj) của các quan sát trong mẫu là phù hợp

hoặc không phù hợp; giả sử c và d là kí hiệu cặp số phân biệt của sự phù hợp và không phù hợp.Khi đó hệ số Kendall tau cho mẫu là:

c−d c+d = (c − d) /







n2









Mở rộng phổ biến của hệ số Kendall tau (kí hiệu đơn giản là hệ số Kendall tau) với các biếnngẫu nhiên liên tục được định nghĩa tương tự Giả sử (X1, Y1) và (X2, Y2) là độc lập và là các véc

tơ ngẫu nhiên có cùng phân phối, với hàm phân phối đồng thời là H Khi đó

τ = τX,Y = P [(X1− X2) (Y1 − Y2) > 0] − P [(X1− X2) (Y1− Y2) < 0] (1.7)

Định lý 1.9 Cho (X1, Y1) và (X2, Y2) là các véc tơ độc lập của các biến ngẫu nhiên liên tục vớicác hàm phân phối đồng thời H1 và H2 tương ứng, với các biên chung F (của X1 và X2) và G (của Y1 và Y2 ) Giả sử C1 và C2 kí hiệu của các copula (X1, Y1) và (X2, Y2) tương ứng, sao cho

H1(x, y) = C1(F (x) , G (y)) và H2(x, y) = C2(F (x) , G (y)) Cho Q là kí hiệu giữa xác suất của

sự tương thích và sự không tương thích của (X1, Y1) và (X2, Y2), nghĩa là cho

Q = P [(X1− X2) (Y1− Y2) > 0] − P [(X1− X2) (Y1− Y2) < 0] (1.8)

Khi đó

Q = Q (C1, C2) = 4R R I2C2(u, v) dC1(u, v) − 1 (1.9)Chứng minh

Khi các biến ngẫu nhiên liên tục ,

P [(X1− X2) (Y1− Y2) < 0] = 1 − P [(X1− X2) (Y1− Y2) > 0] và do đó

Q = 2P [(X1− X2) (Y1− Y2) > 0] − 1 (1.10)Nhưng P [(X1− X2) (Y1− Y2) > 0] = P [X1 > X2, Y1 > Y2] + P [X1 < X2, Y1 < Y2], và các xác suất

có thể đánh giá bằng sự kết hợp trên các phân phối của một trong các véc tơ (X1, Y1) hoặc (X2, Y2).Với vec tơ (X1, Y1) ta có:

P [X1 < X2, Y1 < Y2] = 1 − 12 −1

2 +R R I2C2(u, v) dC1(u, v) = R R I2C2(u, v) dC1(u, v) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

P [(X1− X2) (Y1− Y2) > 0] = 2 I2C2(u, v) dC1(u, v) (3)Thay (3) vào (1.10) ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 1.2 Cho C1, C2 và Q được cho trong định lý 1.9 Khi đó

Phương trình cuối cùng suy ra từ dΠ (u, v) = dudv Từ hệ quả 1.2 và các giá trị trên của

Q sau đó cho một giá trị tùy ý của copula C

τC = 4E (C (U, V )) − 1 (1.12)

1.2.5 Hệ số Spearman rho (ρ)

Cho (X1, Y1); (X2, Y2) và (X3, Y3) là ba véc tơ ngẫu nhiên độc lập có hàm phân phối đồng thời

H, các biên là F, G và copula C Khi đó hệ số Spearman rho được định nghĩa như sau:

ρ = ρX,Y = 3 (P [(X1− X2) (Y1− Y3) > 0] − P [(X1− X2) (Y1− Y3) < 0]) (1.13)Chú ý rằng phân bố đồng thời của (X1, Y1) là H (x, y) và phân bố đồng thời của (X2, Y3) là

Chú ý rằng tích phân trong (1.15) chính là tích giá trị kì vọng của hai biến ngẫu nhiên U và

V trên (0, 1) có phân bố đồng thời là copula C Do đó

có hàm phân phối đồng thời là copula C Do đó chúng ta có (cho ρl kí hiệu của hệ số tương quantuyến tính)

ρX,Y = ρl(F (X) , G (Y ))Điều này cũng cung cấp một cách dễ dàng phương pháp tính toán gần đúng ρX,Y của mộtmẫu từ (X, Y ) và các phân phối biên duyên

Định nghĩa 1.9 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm phân phối F1 và F2.

Hệ số của sự phụ thuộc đuôi trên giữa X và Y là:

lim

u→1 −PY > F−1

2 (u) X > F1−1(u) = λUvới điều kiện là tồn tại giới hạn với λU ∈ [0, 1] Nếu λU ∈ (0, 1], X và Y được gọi là một cáchtiệm cận phụ thuộc ở đuôi trên, nếu λU = 0 thì X và Y được gọi là một cách tiệm cận độc lập ởđuôi trên

Một định nghĩa được thay thế và tương đương mà từ đó nó được xem là khái niệm sự phụ thuộcđuôi là thực sự có tính chất copula như sau

Định nghĩa 1.10 Nếu copula C hai chiều mà

lim

u→1 −C (u, u) / (1 − u) = λUtồn tại , khi đó C có sự phụ thuộc đuôi trên nếu λU ∈ (0, 1], và không có sự phụ thuộc đuôi trênnếu λU = 0 C (u, u) = 1 − 2u + C (u, u)

Ví dụ 1.7 Xét họ Gumbel hai biến của các copula

Cθ(u, v) = exp



−h(− ln u)θ+ (− ln v)θi1/θ

, với θ > 0 Khi đó

1−2u+exp(2 1/θ ln u)

áp dụng quy tắc Hospital ta được

lim

u→1 −C (u, u) / (1 − u) = 2 − lim

u→1 −21/θu2 1/θ −1 = 2 − 21/θ

Do đó với θ > 1, Cθ có sự phụ thuộc đuôi trên

Với các copula không có dạng đóng đơn, chẳng hạn như họ Gauss của các copula với các copulahai biến được cho bởi

√

1−ρ 2 expn−s2−2ρst+t 2

2(1−ρ 2 )

odsdttại −1 < ρ < 1 và Φ là đơn biến có hàm phân phối mẫu chuẩn chuẩn tắc, một công thức thay thếvới λU hữu ích Xét một cặp biến ngẫu nhiên (U, V ) trên (0, 1) với copula C Lưu ý đầu tiên

λU = 2 lim

u→1 −P [V > u |U = u ]

Ví dụ 1.8 Cho hai biến X và Y có mẫu là hàm phân phối chuẩn với tham số ρ tương quan Đó

là (X, Y ) ∼ C (Φ (x) , Φ (y)) Trong đó C một là phần tử của họ Gauss đưa ra ở trên Khi cáccopula trong họ này có tính chất đối xứng thì:

λU = 2 lim

u→1 −P [V > u |U = u ]

và bởi vì Φ là một hàm phân phối với vô hạn phải điểm cuối

lim

u→1 −P [V > u |U = u ] = lim

x→∞P [Φ−1(V ) > x |Φ−1(U ) = x ] = lim

x→∞P [X > x |Y = x ]Chúng ta đã biết Y |X = x ∼ N (ρx, 1 − ρ2), chúng ta có được

từ đó suy ra λU = 0 với ρ < 1 Do đó copula Gauss C không có sự phụ thuộc đuôi trên

Hoàn toàn tự nhiên, khái niệm về sự phụ thuộc đuôi dưới có thể được định nghĩa tương tự.Nếu

lim

u→0 +C (u, u) /u = λL (1.17)tồn tại, C có sự phụ thuộc đuôi dưới nếu λL ∈ (0, 1] và không có sự phụ thuộc đuôi dưới nếu

λL = 2 lim

u→0 +P [V < u |U = u ]Nhớ lại rằng copula của hai biến ngẫu nhiên với copula C là được cho bởi

và hàm sống sót đồng thời của hai biến ngẫu nhiên trên (0, 1) mà có hàm phân phối đồng thời là

C được cho bởi

u→1 −C (u, u) /u,b

do đó hệ số phụ thuộc đuôi trên của C là hệ số phụ thuộc đuôi dưới của bC Tương tự

2.1 Kỹ thuật xây dựng các copula nhiều chiều

Có rất nhiều phương pháp để xây dựng các copula, trong số các cách đó thì một cách tiếp cận

tự nhiên là bắt đầu xây dựng họ 2- copula với một số tính chất tốt Các tính chất này có thể cótính chất thống kê hoặc tính chất toán học Một khi có các điều này thì những bước tiếp theo làtìm sự mở rộng phân phối nhiều chiều một cách tự nhiên Một họ phân phối nhiều chiều của cáccopula là một phần mở rộng của một họ hai biến nếu :

(1) Tất cả các phân phối biên duyên hai biến của copula nhiều chiều được cho bởi họ hai biến.(2) Tất cả các phân phối biên duyên nhiều chiều của thứ tự 3 tới n − 1 có các dạng giống nhưnhiều chiều.

Các vấn đề của việc tìm kiếm sự mở rộng nhiều chiều của các họ copula hai biến là không tầmthường Thông thường các copula hai biến không có sự mở rộng nhiều chiều tự nhiên và nếu cóthì kết quả phụ thuộc cấu trúc hoàn toàn là giới hạn

2.1.1 Họ Farlie- Gumbel- Morgenstern

Một tính chất toán học tốt của một họ copula có thể là biểu thức copula được cho dưới dạngbậc của đa thức trong các đối số u và v Xét các copula có dạng:

C (u, u) = a (v) u2+ b (v) u + c (v)với một vài hàm a, b và c Điều kiện biên của các copula được cho

C (0, v) = 0 = c (v) và C (1, v) = v = a (v) + b (v) Cho a (v) = −Ψ (v), khi đó

b (v) = v − a (v) = v + Ψ (v) và C (u, v) = uv + Ψ (v) u (1 − u) (2.1)

với Ψ được chọn để C là 2- tăng và Ψ (0) = Ψ (1) = 0 để C (u, 0) = 0 và C (u, 1) = u

Định lý 2.1 Cho Ψlà một hàm với miền xác định I và giả sử C được đưa ra bởi (2.1) với u, vtrong I Khi đó C là một copula nếu và chỉ nếu:

1 Ψ (0) = Ψ (1) = 0

2 Ψ (v) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

|Ψ (v2) − Ψ (v1)| 6 |v2− v1| ∀v1, v2 ∈ IHơn nữa C là liên tục tuyệt đối

Chứng minh

Như đã nói ở trên các điều kiện biên C (u, 0) = 0 và C (u, 1) = u tương đương với Ψ (0) =

Ψ (1) = 0 C là 2- tăng nếu và chỉ nếu

và sup {1/ (u1+ u2− 1) |0 6 u1 6 u2 6 1, u1+ u2 < 1} = −1, và do đó C là 2- tăng nếu và chỉnếu

Việc tính toán sau đây cho thấy rằng các copula FGM không có sự phụ thuộc đuôi trên

Họ FGM của các copula cung cấp một cách mở rộng tự nhiên tới kích thước lớn hơn ví

dụ như biểu thức sau đây với (2n− n − 1) tham số n-copula C

không âm trên In nếu và chỉ nếu nó là không âm tại mỗi 2n các véctơ của In Điều này cho phépbiết sự liên kết của 2n tham số sau :

Xét n (n − 1) /2- tham số của họ n- copula mô tả kết quả trên từ thiết lập θj 1 j 2 jk = 0 khi

k > 3 Điều này xác định họ của copua cho bởi (2.2) như sau:

riêng C2, cả C1 và C2 Ta giả sử Z1, Z2 và Z12 là một bộ biến ngẫu nhiên phân phối mũ độc lậpvới các tham số λ1, λ2 và λ12 tương ứng Khi đó ta có:

¯

H (x1, x2) = exp (− (λ1+ λ12) x1− (λ2+ λ12) x2+ λ12min (x1, x2))

= F1(x1) F2(x2) min (exp (λ12x1) , exp (λ12x2))

Cho α1 = λ12/ (λ1+ λ12) và α2 = λ12/ (λ2+ λ12) Khi đó exp (λ12x1) = F1(x1)−α1

Họ này gọi là họ Marshall- Olkin

Các copua Marshall- Olkin có tính liên tục tuyệt đối và có một thành phần suy biến Kể từ

số lượng các thành phần suy biến là tập trung

vào các đường cong uα1

1 = uα2

2 trong I2 như thể hiện trong hình 2.1

Đánh giá hệ số Kendall tau và Spearman rho của họ copula này khá dễ dàng

Với hệ số Spearman rho áp dụng các kết quả thu được trong định lý 1.11

Để đánh giá hệ số Kendall tau chúng ta sử dụng định lý sau đây.

Định lý 2.2 Cho C là một copula mà tích (∂C/∂u) (∂C/∂v) là khả tích trên I2 Khi đó

Sử dụng kết quả trong định lý 1.10 và định lý trên ta được:

Và do đó hệ số phụ thuộc đuôi của (X1, X2) là λU = min (α1, α2)

Bây giờ sẽ trình bày sự mở rộng nhiều chiều một cách tự nhiên của họ Marshall- Olkin haibiến







các tai biến gây sốc Mỗi

cú sốc là sự tương ứng 1−1 với một trong nhữngPn







tập con khác rỗng của {X1, , Xn},

và mỗi thành phần trong số các tập con được giao cho một cú sốc theo bản đồ ∆ được cho bởi

Sự tạo thành biến ngẫu nhiên từ việc mở rộng họ Marshall- Olkin là dễ dàng cũng như việctrình bày các thuật toán dưới đây.

Đầu tiên tất cả các thứ tự những cú sốc trong một vài thứ tự (tuy nhiên theo thứ tự được đềxuất bởi các ví dụ trên theo thứ tự tự nhiên nhất) Khi đó một tham số λk được gọi như tham số

0, nếu với trường hợp khác

Ví dụ 2.2 Cho n = 4 Khi đó với thứ tự như trong ví dụ 2.1







các giá trị độc lập v1, , vl từ U (0, 1)

+) Đặt xi = min16k6l,aik=1,λk6=0 − ln vk/λk , i = 1, , n

+) Đặt Λi =Pl

k=1aikλk , i = 1, , n+) Đặt ui = exp (−Λixi) , i = 1, , n

(x1, , xn) là n biến từ mở rộng phân phối Marshall- Olkin và (u1, , un) là

n biến từ mở rộng Marshall- Olkin copula Hơn nữa Λi là cường độ sốc

Các hệ số Kendall tau và Spearman rho là dễ đánh giá với mở rộng copula Marshall- Olkin từcác biểu thức trên các dạng tương tự như trường hợp hai biến Với i, j ∈ {1, , n} , i 6= j

Do với θ > 1, Cθ có phụ thuộc

Với copula khơng có dạng đóng đơn, chẳng hạn họ Gauss copula với copulahai biến cho

√

1−ρ... (1.17)tồn tại, C có phụ thuộc λL ∈ (0, 1] khơng có phụ thuộc

λL = lim

u→0 +P [V < u |U = u ]Nhớ lại copula hai biến ngẫu nhiên với copula C cho... F1−1(u) = λUvới điều kiện tồn giới hạn với λU ∈ [0, 1] Nếu λU ∈ (0, 1], X Y gọi cáchtiệm cận phụ thuộc đuôi trên, λU = X Y gọi cách tiệm cận độc lập