mô hình hóa các quá trình lãi suất

Tuy nhiên, với tính chất phức tạp của vấn đề, với giới hạn của bài viết này thì tôi sẽ trình bày các mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

M ỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN - 3 -

LỜI MỞ ĐẦU - 4 -

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ - 5 -

1.1 Quá trình ng ẫu nhiên - 5 -

1.2 Quá trình ng ẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc - 6 -

1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc) - 6 -

1.2.2 Quá trình ng ẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc - 6 -

1.3 Th ời điểm Markov và thời điểm dừng: - 6 -

1.4 K ỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ −trường - 7 -

1.5 Martingale - 7 -

1.6 Quá trình Wiener hay chuy ển động Browwn: - 8 -

1.7 Tích phân Ito - 8 -

1.7.1 Vi phân Itô - 9 -

1.7.2 Công th ức Itô - 9 -

CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU - 11 -

2.1 M ột số khái niệm trong tài chính - 11 -

2.2 Đường cong hoa lợi và lãi suất - 13 -

2.2.1 Đường cong hoa lợi (Yeid Curve) - 13 -

2.2.2 Lãi su ất định trước (Forward Rates) - 14 -

2.2.3 Tính lãi su ất định trước f ( )0;t - 15 -

2.4 Các mô hình định giá trái phiếu - 16 -

2.3.1 Định giá trái phiếu và các độ đo martingale - 16 -

2.3.2 Độ đo martingale trung hòa rủi ro - 16 -

2.3.3 Chuy ển đổi trái phiếu (Bond Swap) - 18 -

2.4 Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi - 21 -

2.5 Mô hình định giá trái phiếu - 25 -

2.5.1 Quá trình định giá Quyền Chọn - 25 -

2.5.2 Mô hình định giá trái phiếu - 25 -

2.5.1 Giá trái phi ếu - 32 -

CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT - 34 -

3.1 Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee: - 34 -

3.1.1 Định nghĩa: - 34 -

3.1.2 Phương trình giá trái phiếu Vasicek: - 35 -

3.2 Mô hình Hull-White - 36 -

3.2.1 Công th ức giá trái phiếu P: - 36 -

3.2.2 Lãi su ất ngắn hạn trong mô hình Hull-White: - 38 -

3.3 Mô hình lãi su ất ngắn hạn: - 39 -

3.3.1 Danh m ục đầu tư không rủi ro địa phương - 41 -

3.3.2 Mô hình hóa Martingale - 45 -

3.3.3 C ấu trúc affine - 46 -

3.3.4 Ước lượng các tham số của mô hình lãi suất: - 51 -

3.4 Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM) - 55 -

KẾT LUẬN - 59 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 60 -

L ỜI CÁM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu s ắc tới PGS.TS NGUYỄN CHÍ LONG đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi

có th ể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán – Tin h ọc của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình

d ạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa

Tôi cũng xin cám ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư

Ph ạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể

h ọc tập và nghiên cứu hiệu quả

Cu ối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tôi trong su ốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tp H ồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012

Đỗ Thị Thu

L ỜI MỞ ĐẦU

Lãi suất luôn được xem là vấn đề nhạy cảm đối với đời sống kinh tế Lãi suất tác động trực tiếp đến lợi nhuận của các chủ thể kinh tế, quyết định tới lợi nhuận của các nhà kinh doanh Ngân Hàng, quyết định tới hiệu quả kinh tế trong hoạt động sản

suất kinh doanh của các doanh nghiệp Có rất nhiều nghiên cứu, các cuộc tranh luận

và bàn cãi về lãi suất, diễn biến lãi suất, các mô hình lãi suất,…Thông tin về lãi suất

cũng được cập nhật hàng ngày trên các báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành, Lãi suất

thực sự là vấn đề nóng bỏng thu hút được sự quan tâm của mọi tầng lớp dân cư và xã

hội

Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá

và bảo hộ giá các quyền lựa chọn trên các trái phiếu Các mô hình trái phiếu thường không tương đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái phiếu Với mong muốn hiểu thêm về các mô hình lãi suất trên các kiến thức về giải tích ngẫu nhiên đã học và xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn cùng tính thời sự của vấn đề này, tôi đã chọn đề tài “Mô hình hóa các quá trình lãi suất” Tuy nhiên, với tính chất

phức tạp của vấn đề, với giới hạn của bài viết này thì tôi sẽ trình bày các mô hình lãi

suất quan trọng nhất, nghiên cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận dụng nó trong thực hành Nội dung luận văn gồm có

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Quá trình ng ẫu nhiên

Định nghĩa 1.1: Cho (Ω  ; ; P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm:

• Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω∈Ω đại diện cho một yếu

tố ngẫu nhiên Mỗi tập con Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó

•  là một họ nào đó các tập con của Ω có các tính chất sau:

Khi đó họ  được gọi là σ −đại số các tập con của Ω Chú ý rằng do tiên đề

thứ hai và thứ ba nên ta có tính chất nếu { } An n∈ thì

1

n n

Mỗi tập  ∈ sẽ được gọi là biến cố ngẫu nhiên

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian độ đo (Ω  , nghĩa là trên , )

σ −đại số  xác định một hàm tập P: →[ ]0,1 thỏa các tính chất sau:

1.2 Quá trình ng ẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc)

Định nghĩa 1.2: Một họ các σ −trường con (t,t≥0)của  , t ⊂ được gọi là

một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

i { }t là một họ tăng theo t, tức là s ⊂ t nếu s<t

ii { }t là một họ liên tục phải, nghĩa là

iii Nếu A∈  và P A( )= thì 0 A∈0 = Ω ∅( , ) (do đó nằm trong mọi t)

1.2.2 Quá trình ng ẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

Cho một quá trình ngẫu nhiên X =(X t t, ≥0) Ta xét σ −trường X

t

 sinh bởi tất

cả các biến ngẫu nhiên Xsvới s≤t: t X =σ (X s s, ≤t) σ −trường này chứa

đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t

Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X (hay gọi là lịch sử của X , hay

cũng gọi là trường thông tin về X )

Một không gian xác suất (Ω , , P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc { }t , được

gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu (Ω  , ,{ }t ,P)

1.3 Th ời điểm Markov và thời điểm dừng:

Định nghĩa 1.3: Biến ngẫu nhiên τ∈ + { }+∞ được gọi là thời điểm Markov đối với lọc { }t t≥0 nếu t ≥ ta có 0

Cho τ là thời điểm Markov và xét σ −đại số

1.4 K ỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ −trường

Cho (Ω , , P) là một không gian xác suất,  là một σ −trường con của  ,

X này được ký hiệu là E X|(  Ta chú ý rằng kỳ vọng có )

điều kiện E X|(  là một biến ngẫu nhiên )

Nếu ta chọn σ −trường  là σ −trường σ( )Y sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ( )Y cũng được ký

hiệu là E X|(  )

1.5 Martingale

Định nghĩa 1.5: Cho một quá trình ngẫu nhiên X =(X t t, ≥0) thích nghi với

bộ lọc { }t và khả tích E X t < ∞ với mọi t ≥ 0

Giả sử s và t là hai giá trị không âm bất kỳ sao cho s≤t Khi đó:

• Nếu E X |( t s)≤ X s thì X gọi là martingale trên (supermartingale)

• Nếu E X |( t s)≥ X s thì X gọi là martingale dưới (supmartingale)

• Nếu E X |( t s)=X s thì X gọi là martingale đối với bộ lọc {t,t≥0}

Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng { }t là bộ lọc tự nhiên của { }X t , tức là:

t =σ X s s ≤ =t t

1.6 Quá trình Wiener hay chuy ển động Browwn:

Định nghĩa 1.6: Chuyển động Brown hay quá trình Wiener được ký hiệu là W(t) thỏa mãn các tính chất sau:

i W(0)=0

ii W(t) là biến liên tục theo thời gian t

iii Sự thay đổi W(t+s)-W(s)ℵ(0,1), 0∀ ≤ ≤s t, trong đó ℵ ,µ σ 

 2 biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai σ2

∫ phụ thuộc vào cận trên t và từ nay ta chỉ xét tích phân này

ii Nếu quá trình ngẫu nhiên f s( ,ω) thỏa mãn tích chất (i) và (ii) sau thì có tích phân Itô

• f s( ,ω) đo được đối với σ −trường tích B[ ]0,t × và thích nghi đối với

W

t = t

  , trong đó B[ ]0,t là σ −trường Borel trên [ ]0,t và  là tW σ −trường

sinh bởi chuyển động Brown Wt đã cho

Giả sử rằng X =(X t t, ≥0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:

• Hầu hết các quỹ đạo t → Xt liên tục

• Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn 0 ( ) ( ) s

Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong

biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX

Vi phân Itô dX được viết dưới hình thức như sau:

( , ) ( , ) Wt

dX t =h t ω dt+ f t ω d

(1.2) Hay

g t x  → là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả

vi liên tục theo biến thứ hai x

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t =g t X( , t) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi công thức:

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

2

2 2

CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI

PHIẾU

Tiền tệ là một loại hàng hóa và lãi suất là chi phí cho hàng hóa đó Tiền hoặc

vốn đảm bảo cho sự phát triển của các quốc gia, cho các chi tiêu công cộng như: xây

dựng đường sá, trường học, sân bay, bến cảng, bệnh viện, nhà máy, hệ thống bưu chính viễn thông, nhà máy điện, nhà máy thép và phòng thí nghiệm Nói chung các khoản tiền đó phải đi vay, vì thế hình thành nên các thị trường trái phiếu (bond market) Có rất nhiều loại trái phiếu như: trái phiếu chính phủ (do chính phủ phát hành), trái phiếu công ty (do công ty phát hành) và các trái phiếu đô thị (do các thành

phố hoặc các dơn vị hành chánh phát hành) Ở đây ta chỉ xét loại trái phiếu chính phủ

2.1 M ột số khái niệm trong tài chính

C ổ phiếu (Stock): Cổ phiếu là loại chứng khoán phát hành bởi công ty để huy động

vốn cho sản xuất kinh doanh của họ Giá cổ phiếu biến động phụ thuộc vào tình trạng

Xã Hội và hoạt động kinh doanh của công ty Người giữ cổ phiếu có quyền tham gia vào hoạt động kinh doanh của công ty và nhận được cổ tức

Trái phi ếu (Bond): Trái phiếu là giấy ghi nợ phát hành bởi Nhà nước, Ngân hàng,

công ty cổ phần và các tổ chức tài chánh khác Trái phiếu gắn liền với các chứng khoán vị thế dài hạn Giá trị của trái phiếu tăng lên theo thời hạn một lãi suất cố định

hoặc thay đổi Có nhiều loại trái phiếu như: tài khoản Ngân hàng (bank account), trái phiếu Chính Phủ (treasury bond), trái phiếu của các công ty (corporate bond),…

Quy ền chọn ( Option): Quyền chọn là một hợp đồng tài chính cho phép người giữ nó

có quyền mua hoặc bán (nhưng không bắt buộc) một tài sản cơ sở tại một thời điểm

nhất định với giá đã xác định

Quyền chọn tài chính bao gồm quyền chọn mua (call option) và quyền chọn bán (put option) Quyền chọn mua hoặc bán một tài sản đã quy định tại một ngày quy định (ngày đáo hạn) với một giá xác định

Phương án đầu tư (porfolio): Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn

các chứng khoán với các trọng số nào đấy Giả sử n chứng khoán với giá trị tại thời

điểm t là: ( ), , ( ) S t1 S n t Một phương án đầu tư là một cách chọn ra ( )α1 t chứng khoán S ,…,1 αn( )t chứng khoán S n tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t , ký hiệu bởi Vα( )t :

định của t Một phương án đầu tư được ký hiệu bởi ø=( ,S)α Phương án đầu tư cũng

được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầu tư hoặc chiến lược buôn bán

Phi ếu lãi (Coupon): một phiếu lãi (coupon) là phiếu đính kèm vào trái phiếu cho biết

số tiền lãi mà người mang nó được hưởng tại thời điểm nhất định, chẳng hạn cứ nửa năm hoặc một năm một lần

Trái phi ếu với phiếu lãi 0 (Zero Coupon Bonds): Trái phiếu với phiếu lãi 0 với

ngày đáo hạn T , nói gọn là trái phiếu lãi suất 0 (hay trái phiếu-0 hay T-trái phiếu) là

loại trái phiếu mà người giữ nó không được hưởng lãi tại các thời điểm nhất định nhưng được khấu trừ vào mệnh giá và được hưởng tỷ lệ lợi nhuận nếu giá trị của trái phiếu trên thị trường tăng lên và trái phiếu thu hồi theo mệnh giá vào ngày đáo hạn Tài khoản tiền tệ (money account) được xác định bởi công thức:

Tức là: ( ) ( ) ( )

1

0

dB t r t B t dt B

Nếu ta xem tài khoản tiền tệ như là tài khoản ngân hàng (bank acount) với lãi suất

ngắn hạn ngẫu nhiên r t( ) thì việc đầu tư vào tài khoản tiền tệ là tương đương với chiến lược kinh doanh tự tài trợ quay vòng tại mỗi thời điểm t trên các trái phiếu đáo

hạn ngay (just maturing), tức là trái phiếu đáo hạn tại t+dt Tài khoản tiền tệ B t( ) ở trên được gọi là tài khoản không rủi ro, dù rằng r t( ) là một quá trình ngẫu nhiên

2.2 Đường cong hoa lợi và lãi suất

2.2.1 Đường cong hoa lợi (Yeid Curve)

Trong tài chính, hoa l ợi ( Yeid), ký hiệu là ( ) Y T chỉ lãi suất trung bình hàng năm của một trái phiếu cho thời kỳ [ ]0;T ( với T là thời điểm đáo hạn của trái phiếu)

Với những trái phiếu không phải trả lãi trước ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo

tỉ lệ giá hiện tại và giá lúc đáo hạn của trái phiếu Nếu ký hiệu tỷ lệ đó là (0; )P T thì ta

cong hoa l ợi

Hiện nay Mỹ là nước công bố đường cong hoa lợi một cách rộng rãi trên các phương

tiện thông tin đại chúng Chúng ta có thể tham khảo các số liệu về lãi suất trái phiếu Chính Phủ Mỹ trên webside của kho bạc Hoa Kỳ và có thể tham khảo đường cong hoa

lợi trên webside về tài chính có tên gọi là Bloomberg

2.2.2 Lãi su ất định trước (Forward Rates)

Định nghĩa 2.1:

• Lãi su ất định trước tức thời với hợp đồng viết tại thời điểm t có thời hạn đáo

hạn T (ký hiệu f t T( ), ) được cho bởi biểu thức:

ln( , ) P( , )

Giả sử thời điểm hiện tại là t = , lãi suất của một hợp đồng tại thời điểm 0 t > có 0

thời hạn đáo hạn T được gọi là lãi suất định trước Ký hiệu: (0; )f t

• Lãi suất ngắn hạn tức thời tại thời điểm t (ký hiệu là r t( )) được định nghĩa như sau:

= −

(2.13)

2.4 Các mô hình định giá trái phiếu

2.3.1 Định giá trái phiếu và các độ đo martingale

Khi một nhà đầu tư muốn mua trái phiếu chính phủ có thời hạn là 30 năm, người đó phải phán đoán được xu thế, chiều hướng diễn biến cảu lãi suất trong vòng

30 năm tới Ngoài ra, bất kể một sự thay đổi nào ở một phần của đường hoa lợi cũng ảnh hưởng tới phần còn lại của đường cong đó

Do đó định giá trái phiếu là một việc làm hết sức nghiêm túc và phải cẩn trọng:

mọi sai lầm đều phải trả giá đắt Vì thế các nhà môi giới trái phiếu phải làm việc hết

sức cẩn trọng, họ thường yêu cầu sự giúp đỡ từ nhiều phía phán đoán và định giá trái phiếu

Ta cũng biết rằng 3 yếu tố: giá trái phiếu, đường cong hoa lợi và lãi suất định trước có liên hệ với nhau và biết một yếu tố có thể suy ra hai yếu tố kia Vậy nếu ta xây dựng một mô hình tốt cho một yếu tố, thì ta cũng có thể có mô hình tốt cho cả hai

dụng B như là đương kim thì với bất kỳ T cố định quá trình

t t

T Q

t t

{∏ t X, ;B t P t T; , ;0≤ ≤t T} thì rõ ràng Q cũng là độ đo martingale trung hòa

rủi ro đối với thị trường mới Vì vậy ∏(t X, ) là giá không có độ chênh thị giá của quyền tài chính X .

Nh ận xét 2.4:

Từ công thức (2.15) ta thấy động lực của lãi suất r t v( ) ới độ đo khách quan P

không đóng vai trò quan trọng gì trong việc định giá trái phiếu Yếu tố quan trọng nhất trong việc định giá trái phiếu là động học của lãi suất dưới độ đo martingale Q Cách

tiếp cận như vậy trong việc định giá trái phiếu được gọi là cách đánh giá theo mô hình martingale

Như vậy để thị trường trái phiếu không có độ chênh thị giá thì ta cần giả thiết

tồn tại độ đo martingale QP Một hệ quả của giả thiết đó là tồn tại LT sao cho LT là

đạo hàm Radon-Nikodym của Q đối với P trên T:

2.3.3 Chuy ển đổi trái phiếu (Bond Swap)

Chuyển đổi trái phiếu là việc trao đổi một trái phiếu lấy một loại trái phiếu khác Có thể là đồng thời mua loại trái phiếu này và bán loại trái phiếu kia Mục đích trao đổi như vậy là gì? Có thể là những mục đích sau:

 Đổi để lấy trái phiếu có ngày đáo hạn dài hơn, do đó có thể kiếm lời nhiều hơn

vì trái phiếu có ngày đáo hạn dài thì có giá trị lúc đó thấp hơn

 Đổi hoa lợi (yeid swap) để có lợi nhuận cao hơn

 Đổi chất lượng trái phiếu (quality swap) để tìm cách có trái phiếu có độ an toàn hơn và độ rủi ro ít hơn

 Đổi cách đóng thuế (tax swap), chẳng hạn tạo ra thua lỗ để được trừ bớt thuế,

bằng cách bán trái phiếu đang bị lỗ rồi mua các trái phiếu khác hiệu quả bảo hộ đầu tư cao hơn

Việc chuyển đổi trái phiếu như vậy thường được thực hiện thông qua các công

ty dịch vụ tài chính, các ngân hàng, hợp đồng ấy có thể đem ra mua bán

Giả sử một công ty muốn bán hợp đồng chuyển đổi, cụ thể là muốn đổi một trái phiếu với lãi suất thay đổi để lấy một trái phiếu có lãi suất không đổi Để định giá hợp

đồng chuyển đổi và muốn thành công thì công ty đó phải dự đoán được, ước lượng được các lãi suất trong tương lai

Có rất nhiếu dạng của các hợp đồng như vậy, nhưng người ta chỉ hạn chế xét

hợp đồng chuyển đổi định trước thanh toán sau (forward swap settled in arrears) Xét

thời điểm t cố định mà tại đó hợp đồng chuyển đổi được ký kết Hơn nữa ta sẽ xác định một dãy các điểm cách đều nhau T0< < < T1 Tn được định nghĩa như là một dãy

các khoản trả tại thời điểm Ti+1, i = 1,2, , n − 1 trong đó Ti+1− = Ti δ , i = 1,2, , n − 1 Ta

sẽ ký hiệu lãi suất cố định là R và lượng giả định là K

Một hợp đồng chuyển đổi với K và R cố định cho các thời kỳ T T1, , ,2 Tn

được định nghĩa như là một dãy các khoản trả ở thời điểm Ti+1, i = 1,2, , n − 1 được

xác định bởi:

( )1

Không mất tính tổng quát ta có thể coi K =1 Nếu sử dụng công thức định giá trái phiếu (I) cho thời kỳ [T T i, i+1], giá trị tại thời điểm t của toàn bộ hợp đồng được cho bởi:

1 1

T n

t P t T c P t T

=

(2.17)

trong đó ci = δ R i , = 1, 2, , n − 1 cn = + 1 δ R Chú ý rằng toàn bộ hợp đồng chuyển đổi

có thể được định giá nếu biết các giá của trái phiếu tại thời điểm t và dễ dàng thấy

rằng quyền chuyển đổi có thể đáp ứng được bởi các danh mục đầu tư trên các trái phiếu

Như trên ta đã xem lãi suất cố định R là số đã cho Bây giờ ta có thể xác định lãi suất chuyển đổi cho thời kỳ nói trên của hợp đồng tại thời điểm t dẫn đén giá trị

không của hợp đồng chuyển đổi Sử dụng công thức ( ) ( )0 ( )

1

n

i i i

i i

P t T P t T R

2.4 Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi

H ợp đồng chuyển đổi (Swap Contract) thường được thực hiện qua một ngân

hàng hoặc một cơ sở đầu tư Giả sử một công ty có một món nợ với một chủ nợ nào

đó với một lãi suất thả nổi (floating rate) Công ty đó có thể mua một hợp đồng chuyển đổi, cho phép lãi suất thả nổi lấy một lãi suất nhất định Phía bên kia của hợp đồng, tức ngân hàng họ chịu nhận lãi suất cố định do công ty ấy trả và trả lãi suất thả

nổi cho chủ nợ của công ty ấy

Trước tình thế đó, Ngân hàng cần phải định giá được sự chuyển đổi này để tự

bảo hộ cho mình trước những diễn biến không dự đoán được của lãi suất tương lai Ngân hàng phải thỏa thuận theo những điều khoản sau:

i Khoảng thời gian Hợp Đồng chuyển đổi có giá trị là [ ]0,T Số nợ gốc của công

iv Số tiền lãi mà Ngân hàng trả hộ trong khoảng thời gian [t t k, k+1]sẽ là B R0τ kvà

trả vào cuối khoảng thời gian đó, tức là tại thời điểm tk+1

Nh ận xét 2.5: Thông thường người ta thích làm việc với lãi suất kiểu hàm số mũ (hay

còn gọi là lãi suất hình học) Như vậy số tiền lãi nêu trong điều khoản thư tư sẽ là:

0( R k 1)

B e τ −

Hơn nữa, sử dụng các giả thuyết này sẽ làm cho việc tính toán đơn giản và thuận lợi hơn rất nhiều

Có thể Ngân hàng đang chịu áp lực của sự biến đổi của lãi suất trong tương lai Tuy nhiên có một biện pháp mà họ có thể tự bảo hộ Chiến lược của Ngân Hàng sẽ làm như sau:

Ta hãy tập trung chú ý vào khoảng thời gian [t t k, k+1], tại thời điểm t = ta 0không biết Rk Ngân hàng mua B0 trái phiếu chiết khấu P (0, ) tk và bán đi B0 trái phiếu chiết khấu P (0, tk+1) Chi phí tại thời điểm t = sẽ là: 0 B P0[ (0, ) tk − P (0, tk+1)]

Tại thời điểm t = tk, Ngân hàng nhận về 1 đô la cho trái phiếu P (0, ) tk và mua vào trái phiếu P (0, tk+1) mà giá trị tại thời điểm tk là 1.(1+R kτ)−1

Do đó phần thu hoạch thực sự của Ngân hàng là:

0[1-(1 ) ]=B 1 0

1

k k

τ

−

+

+

Ngân hàng đầu tư khoản tiền này cho thời kỳ [t t k, k+1] với lãi suất Rk Vậy, tại

thời điểm t = tk+1 thì số tiền ấy sẽ biến thành

Ta chú ý rằng, số tiền này lại chính là số tiền thả nổi mà Ngân Hàng phải trả tại

thời điểm tk+1 theo điều khoản thư tư ở trên

Ngân hàng sẽ thực hiện việc mua bán này cho mọi thời kỳ [t t k, k+1], tức là mua vào B P0 (0, ) tk trái phiếu và bán đi B P0 (0, tk+1) cho mỗi thời kỳ ấy

Tại thời điểm t = thì số tiền ấy là: 0

1

0(0, ) (0, ) (0, 0) (0, 1 (0, )

Về phần mình thì Ngân hàng nhận được một khoản trả là B r0 τ tại thời điểm

1( 0,1, 2, 1)

k

t + k = N − , trong đó r phải được xác định

Khoản tiền này còn phải chịu chiết khấu, nên giá trị thực của nó sẽ là:

N

k k

Chú ý rằng (2.19) là giá trị là giá trị duy nhất có thể của r Mọi giá trị khác sẽ

tạo nên cơ hội chênh lệch giá

Ta có thể khái quát hóa cách tiếp cận trên cho trường hợp mà số nợ ban đầu

của Công ty thay đổi theo từng khoảng thời gian, và độ dài các khoảng thời gian nhỏ

ấy cũng khác nhau, không đều nhau như trước đây nữa Và bây giờ ta sẽ giả thiết

rằng:

1 Khoảng thời gian tổng cộng là [ ]0,T Ngân hàng sẽ thực hiện trả lãi vào các

thời điểm t t1, , ,2 tN Độ dài các khoảng thời gian nhỏ là

Như trước đây, tại thời điểm t = , ngân hàng mua vào 0 Bk trái phiếu có chiết

khấu P (0, ) tk và bán ra Bk trái phiếu có chiết khấu P (0, tk+1) cho khoảng thời gian

[t t k, k+1] Tại thời điểm tk thì vụ mua bán đó đem lại kết quả là:

Ngân hàng sẽ đem số tiền đó đầu tư cho thời kỳ [t t k, k+1] Đến cuối kỳ, tức là tại

thời điểm t = tk+1 thì số tiền ấy sẽ biến thành ( ) (1 )

B  − +Rτ −  +Rτ =B Rτ

Vừa đúng bằng số tiền lãi mà người đòi hỏi cho thời kỳ ấy Vì số tiền lãi này, được

chiết khấu cho tới thời điểm t = , cho nên giá tr0 ị thực của nó chỉ còn:

1(0, )

1

1 0

k k k k

Nếu ta đặt ( 1)

1 0

0,w

(0, )

k k k N

k k k k

ττ

N

k k

−

=

=∑ Vậy r là trung bình có

trọng số của các lãi suất định trước

2.5 Mô hình định giá trái phiếu

2.5.1 Quá trình định giá Quyền Chọn

 Ta bắt đầu với Quyền Chọn S với giá V S t Ta gi( ), ả sử rằng

dS =µSdt+σSdB

trong đó B là chuyển động Brown

Theo công thức Itô ta có: 2 2 2

2

12

12

 Xây dựng phương án đầu tư ∏ có dạng: ∏ = − ∆ +V S C hoặc ∏ = Φ +S C

Bằng cách chọn ∆ một cách sáng suốt (C là khoản tiền mặt) ta khử được số

2.5.2 Mô hình định giá trái phiếu

a) Giả sử rằng giá trái phiếu P t T ch( ), ỉ phụ thuộc vào:

• Thời điểm đáo hạn T

• Thời điểm t

• Lãi suất ngắn hạn r t ( )

Ta sẽ dùng cho mô hình r t ( ) như sau: dr=µ( )r t dt, +σ( )r t dB,

(2.26) Trong đó B là chuyển động Brown

b) Ta khai triển P t T( ), thành một chuỗi lũy thừa của hai biến r t, Thay thế dr

bởi biểu thức trên và áp dụng công thức Itô ta được

2

1,

∆ = thì số hạng có chứa dB sẽ bị triệt tiêu Khi đó, ta có:

Trong hệ thức (2.31) ta nhận thấy không còn số hạng nào chứa dB nữa, vậy Π

sẽ biến thiên đều trong suốt thời gian Vì Π có dáng điệu giống phương án đầu tư vào

thị trường tiền tệ, cho nên lãi suất của nó phải có dáng điệu của lãi suất ngắn hạn, tức là: dΠ =r t( )Π dt

Nhìn vào hệ thức (2.32), ta thấy vế trái phụ thuộc vào T1 trong khi vế phải phụ

thuộc vào T2 Như vậy tỷ số ( ) ( ) ( )

thực ra không phụ thuộc gì vào

giá trị của T , ta ký hiệu tỷ số đó là λ( )t r, Khi đó:

( ) 2 2

2

1,

Từ (2.34), (2.35) và (2.36) ta thu được:

2 2 2

12

µ và σ ở đây đều là những hàm số của t Ngoài ra, đối với phương trình Scholes khi ta cho các điều kiện ban đầu thì sẽ tồn tại lời giải duy nhất Còn đối với (2.37) thì có vô số lời giải phụ thuộc vào cách chọn r t( )

Black-e) Ta đã bắt đầu bằng một mô hình đối với lãi suất ngắn hạn

( ), ( ),

dr =µ r t dt+σ r t dB

Và ta đi tới một mô hình định giá trái phiếu biểu thị bởi phương trình (6.14)

Nếu ta xác định được các tham số µ σ, và λ ta sẽ có thể giải được (6.14) trong một

số trường hợp nào đó Nói chung phương trình đó không thể giải được dưới dạng hiển nhiên Tuy nhiên ta vẫn có thể giải được gần đúng bằng các phương pháp của giải tích

số