mô hình hóa trong dạy học hàm số ở lớp 12

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt cho mình câu hỏi ban đầu như sau: Học sinh có được cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tìm mô hình toán học cũng như xác định một hà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Kim Huệ

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Kim Huệ

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu- người đã cho tôi nhiều sự động viên về tinh thần cũng như những giúp đỡ về mặt kiến thức Cô đã dành những thời gian quý báu của mình để hướng dẫn và giúp tôi hoàn thành luận văn này Xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Cô!

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương Các Thầy Cô đã giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức nền tảng và quan trọng của bộ môn didactic Toán

Bên cạnh đó, tôi cũng cảm ơn những góp ý của PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đối với hướng đi trong luận văn của tôi

Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12T1 trường Trung học phổ thông Nguyễn Thông (Tỉnh Long An) Cám ơn các em đã không ngại bỏ thời gian của mình để cùng xây dựng tiết học thực nghiệm của luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình Ba mẹ

và các em là nguồn động lực to lớn giúp tôi hoàn thành công việc của mình

Huỳnh Thị Kim Huệ

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các cụm từ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Mô hình hóa trong dạy học toán 8

1.1.1 Khái niệm mô hình hóa 8

1.1.2 Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa 10

1.2 Thuyết nhân học trong Didactic Toán 11

1.3 Lý thuyết tình huống 11

1.4 Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý 14

1.5 Kết luận chương 1 15

Chương 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ 16

2.1 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam 18

2.1.1 Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10 18

2.1.2 Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa 19

2.1.3 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MN và EN 19

2.1.4 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MC và EC 31

2.1.5 Kết luận 32

2.2 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ 33

2.2.1 Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ 33

2.1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học hàm số 42

2.1.3 Kết luận 46

2.3 So sánh và kết luận 47

2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ 47

2.3.2 Kết luận chương 2 48

Chương 3 THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ 49

3.1 Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số 50

3.1.1 Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa 50

3.1.2 Đối tượng, hoàn cảnh và nội dung của thực nghiệm 51

3.1.3 Dự kiến kịch bản dạy học 54

3.1.4 Phân tích tiên nghiệm 58

3.1.5 Phân tích kịch bản dạy học 72

3.1.6 Phân tích hậu nghiệm 73

3.2 Kết luận chương 3 86

KẾT LUẬN 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

SBT Sách bài tập

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

EC Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục

EN Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách MN

và sách EN 26

Bảng 2.2 Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương II sách MN và sách EN 30

Bảng 2.3 Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I, II sách MC và sách EC 31

Bảng 2.4 Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số trong sách M 46

Bảng 4.1 Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 1 74

Bảng 4.2 Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 2 75

Bảng 4.3 Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 3 76

Bảng 4.4 Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 4 77

Bảng 4.5 Bảng thống kê các bước của quá trình MHH trong các bài toán thực nghiệm 79

lẻ, tách rời nhau mà có thể chuyển đổi qua lại hoặc cùng tồn tại song song với nhau Việc chuyển đổi giữa các hệ thống này có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số đang xét và là một kỹ năng không thể thiếu trong việc sử dụng kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề trong thực tế hay các khoa học khác

Thế nhưng, theo kết quả nghiên cứu tác giả Nguyễn Thị Nga (2003) thì:

“Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích Vì vậy, họ gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”

(Nguyễn Thị Nga (2003), tr.2)

Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này, theo nghiên cứu của tác giả, chính là sự lựa chọn của sách giáo khoa (SGK) toán từ THCS đến THPT và thực tiễn dạy học (DH) toán, ưu tiên cho hệ thống biểu đạt đại số Lý do của sự lựa chọn chính là ưu thế của

hệ thống biểu đạt đại số: việc nghiên cứu hàm số sẽ trở nên tổng quát hơn mà lại thuận lợi hơn, vì các tính chất của hàm số trên toàn tập xác định sẽ được chỉ ra một cách dễ dàng, đặc biệt là với công cụ đạo hàm Thế nhưng, việc sử dụng kiến thức đã được học

về hàm số vào các phạm vi ngoài toán học trở thành vấn đề nan giải đối với các em (vì trong thực tiễn tương quan hàm số không phải lúc nào cũng được cho bằng biểu thức giải tích)

Chính vì lý do trên, một số công trình nghiên cứu về vấn đề chuyển đổi từ bảng số hay đồ thị sang biểu thức hàm số kết hợp với dạy học MHH (MHH) đã được tiến hành Chẳng hạn, trong số các luận văn Thạc sỹ ở Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, chúng tôi tìm thấy

 Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm

mô hình hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh

 Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở

trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh

Tuy nhiên các luận văn trên đây đều nghiên cứu việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt hàm số khi tương quan hàm có sẵn Chẳng hạn, tác giả Phan Tấn Phú xem xét việc tìm biểu thức hàm số khi đã biết sẵn bảng giá trị của hàm số

Để sử dụng toán học vào nghiên cứu một vấn đề của thực tiễn, việc làm đầu tiên là phải tìm được mô hình toán học phù hợp Trong nhiều trường hợp, hàm số là những yếu tố cần thiết cho mô hình đó Nhưng công thức biểu thị hàm số không có sẵn, và không phải bao giờ người ta cũng có thể tìm được công thức biểu thị chính xác hiện tượng Lúc này, tìm được một công thức mô tả hiện tượng “đúng” nhất trong chừng mực có thể là điều cần thiết Chúng tôi gọi đó là “hàm số xấp xỉ” (với hiện tượng cần nghiên cứu)

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt cho mình câu hỏi ban đầu như sau:

Học sinh có được cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tìm mô hình toán học cũng như xác định một hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu rồi từ đó nghiên cứu vấn đề trong phạm vi ngoài Toán học bằng công cụ của hàm số hay không?

Việc trả lời câu hỏi trên theo chúng tôi là rất cần thiết Bên cạnh đó, chúng tôi chọn khách thể nghiên cứu là học sinh lớp 12 vì đối tượng này đã được giảng dạy đầy đủ các nội dung của hàm số ở chương trình phổ thông Vì vậy, đề tài nghiên cứu được xác định lại là:

“Mô hình hóa trong d ạy học hàm số ở lớp 12”

2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu có liên quan

 Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học

toán ở trường phổ thông”

Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói trên

Chỉ ra được các ràng buộc của sách giáo khoa ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai Trong sách giáo khoa toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số và vấn đề MHH trong toán có xuất hiện Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất

Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết

nghiên cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được

hình thành ở HS”

Tác giả đã làm rõ quan hệ cá nhân của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề MHH nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên Một tiểu đồ án didactic đã được thiết kế nhằm dạy học việc chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số

Tuy nhiên, nghiên cứu này còn hạn chế trong việc chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đối với hàm số bậc nhất và bậc hai

 Luận văn thạc sĩ của Phan Tấn Phú về “Mô hình hóa trong dạy học hàm số:

Vấn đề tìm một mô hình hàm tử bảng giá trị”

Với nghiên cứu này, tác giả Phan Tấn Phú đã tìm hiểu về kỹ năng chuyển từ bảng

số sang biểu thức hàm số Trong luận văn, chúng tôi tìm thấy phân tích thể chế về việc

xử lý bảng số liệu trong SGK Vật Lý 10 và hàm số biểu đạt bằng bảng

Tác giả đã xây dựng thực nghiệm với một số bài toán xuất phát từ các vấn đề của thực tiễn Cụ thể:

“Các bài toán thực nghiệm có liên quan đến các vấn đề thực tế hoặc ở môn học khác mà ở đây là môn Vật lí Trong bài toán có ngầm ẩn việc đi tìm công thức (có thể ở dạng xấp xỉ) một hàm số cho bằng bảng”

(Phan Tấn Phú (2012), tr.39)

Tuy nhiên, các bài toán thực nghiệm của luận văn này còn thu hẹp trong việc đi

tìm một hàm số từ bảng giá trị mà hàm số tìm được chỉ dừng lại ở hàm bậc nhất y = ax

+ b Từ đó, tác giả đã đề ra những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này là xây dựng các bài toán thực nghiệm đi tìm hàm số từ bảng giá trị mà hàm tìm được không

là loại hàm số trên

3 Hướng nghiên cứu đặt ra

Vấn đề chúng tôi quan tâm ở đây là nghiên cứu việc giảng dạy hàm số tích hợp với việc tìm hiểu khả năng vận dụng kiến thức cũng như kỹ năng của học sinh vào các vấn

đề của thực tế

Như vậy, với hướng nghiên cứu đặt ra ở trên thì luận văn có nhiệm vụ cụ thể như sau:

- Tìm cách trả lời hai câu hỏi sau:

• Trong Toán học và một số lĩnh vực ngoài Toán học việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại hay không? Nếu có thì mục đích là gì?

• Trong chương trình Toán hiện hành (chương trình phổ thông) việc tìm xấp xỉ một hàm số với tương quan hàm cho trước được đặt ra với những hàm số nào? Vấn đề này được đặt ra một cách tường minh hay ngầm ẩn đối với học sinh?

- Tìm cách xây dựng một thực nghiệm nhằm:

• Hình thành cho học sinh kỹ thuật tìm mô hình toán học cho một vấn đề của thực tiễn cũng như tìm một hàm số xấp xỉ cho tương quan hàm ấy

• Thực hiện việc dạy học MHH

4 Câu hỏi nghiên cứu

Câu hỏi nghiên cứu ban đầu của chúng tôi được trình bày như sau:

Q1: Trong toán học, kỹ thuật nào cho phép thực hiện kiểu nhiệm vụ (KNV) tìm biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số) trong một khoảng nào đó khi biết hữu hạn điểm của hàm số? Nếu có, nó xuất phát từ nhu cầu nào của toán học và lĩnh vực ngoài toán học?

Q2: Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học

nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được thể chế quan tâm đến khi xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với sách giáo khoa của Mỹ?

Q3: Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng thế nào đến học sinh khi được đặt trước những kiểu nhiệm vụ liên quan đến tìm biểu thức xác định hàm số đặc biệt khi những kiểu nhiệm vụ đòi hỏi phải có mặt sự MHH

Để trả lời được những câu hỏi trên chúng tôi xin dựa vào khung lý thuyết tham chiếu là: Thuyết Nhân học, Lý thuyết tình huống Các khái niệm này đã được trình bày

trong cuốn giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán

của Bessot A và các tác giả, chúng tôi sẽ nhắc lại trong chương 1 của luận văn

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để trả lời câu hỏi Q1 chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả nghiên cứu đã có về vấn đề hàm số xấp xỉ trong toán học cũng như một số ngành khoa học khác (cụ thể là Vật lý) Trong chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK Giải tích lớp 12 cả hai ban

cơ bản (CB) và nâng cao (NC) Nghiên cứu thể chế này sẽ giúp chúng tôi trả lời câu

hỏi Q2 Bên cạnh đó, việc so sánh sự khác nhau giữa sách giáo khoa Việt Nam và của

Mỹ cũng được tiến hành để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế (có thể nhìn lại những hạn chế của sách giáo khoa Việt Nam)

Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm nhằm dạy học MHH hàm số Như vậy, luận văn gồm có: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương

Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 1 này sẽ giúp chúng tôi nhìn lại các công trình nghiên cứu đã có về dạy học MHH hàm số (phân tích những kết quả khả quan cũng như những hạn chế) Từ đó, chúng tôi sẽ có cái nhìn khách quan hơn trong phân tích thể chế của mình cũng như có thêm cơ sở để đưa ra những giả thuyết nghiên cứu gần với thực tế hơn Giải quyết được vấn đề này chúng tôi sẽ trả lời được câu hỏi Q1

Chương 2 Một nghiên cứu thể chế

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến đối tượng tri thức cần nghiên cứu trong sách giáo khoa Toán Việt Nam Một so sánh với việc dạy-học MHH trong quyển sách của Mỹ sẽ được tiến hành

Chương 3 Thực nghiệm

Thực nghiệm nhằm triển khai tình huống MHH trong dạy hàm số ở lớp 12

Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Mục tiêu của chương này là:

 Tìm hiểu về dạy học MHH và sự cần thiết của việc dạy học MHH

 Tìm hiểu những kết quả đạt được của một số nghiên cứu về MHH trong dạy học hàm số

 Tổng kết lại vấn đề tìm một hàm số xấp xỉ trong toán học, các kiểu nhiệm vụ cũng như kỹ thuật trong các công trình liên quan

Để thực hiện được mục tiêu đề ra, chúng tôi buộc phải tham khảo thật kỹ các tài liệu sau đây:

- Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống hổ trợ quá trình toán học

hóa – Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Số 48(62)/KHGD

- Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng

bi ến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí

khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Số 28(62)/KHGD

- Lê Thị Hoài Châu (2013), Tích hợp trong dạy học toán, tài liệu bồi dưỡng giáo

viên

- Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả ở

trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TPHCM

- Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở trường phổ

thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

- Nguyễn Thị Nga (2013), Nghiên cứu một đồ án dạy học hàm số tuần hoàn bằng

mô hình hóa toán trong môi trường hình học động, Tạp chí khoa học giáo dục

trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Số 45/KHGD

- Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm mô hình

hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh

- Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nhà

Xuất bản ĐH quốc gia TPHCM

Kết quả của chương này sẽ đóng vai trò là cơ sở phương pháp luận và là nền tảng tri thức để chúng tôi trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu cũng như hướng đi cho những phân tích ở chương sau:

1.1 Mô hình hóa trong dạy học toán

1.1.1 Khái niệm mô hình hóa

1.1.1.1 Khái niệm mô hình hóa

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH toán học là sự giải thích toán học cho một

hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt

ra trên hệ thống này

1.1.1.2 Quá trình mô hình hóa toán học

Quá trình MHH một hệ thống ngoài toán học đã được Coulange tóm tắt bằng một

sơ đồ, trong đó bước 1 được tác giả đặt tương ứng với bước chuyển từ lĩnh vực ngoài toán học vào lĩnh vực phỏng thực tế Mô hình này được tác giả Lê Văn Tiến mô phỏng

lại trong Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông Chúng tôi xin mô phỏng

lại như sau:

Bài toán toán học Giải Câu trả lời cho bài toán toán

học

Phạm vi toán học

Mô hình toán học

Trước hết, chúng tôi xin nói về vai trò của việc dạy-học MHH

“Dạy-học mô hình hóa là một yêu cầu tự nhiên của việc hoàn thiện, nâng cao năng lực học sinh, cũng là cách để giúp họ biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả”

(Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr.9)

Như vậy, vai trò quan trọng trên của việc dạy học MHH có thể được vận dụng để thực hiện mục tiêu của dạy học toán-cung cấp cho học sinh một số vai trò công cụ của tri thức toán học Đồng thời, học sinh có thể vận dụng chúng vào việc giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn

“Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán còn nhắm đến một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa

và dạy học bằng mô hình hóa”

(Lê Văn Tiến (2005), tr.171)

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến vấn đề dạy học MHH Và quá trình MHH toán cho một vấn đề thực tiễn thường trải qua các bước:

“Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan

trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ

toán học cho mô hình định tính Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái

của hệ thống Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và hệ số điều khiển hiện tượng

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai

Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trong phần này phải xác

định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế”

(Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr 8-9)

Ở bước 4 trên có thể xảy ra một hai khả năng:

 Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế Khi đó cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được

 Khả năng 2: mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế

Trường hợp này ta phải tìm nguyên nhân Có thể đặt ra những câu hỏi sau:

- Các kết quả ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không?

Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã

sử dụng Như vậy, trong trường hợp này, người ta tạm chấp nhận mô hình toán học (hay mô hình trung gian) được xây dựng là thỏa đáng

- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì phải xây dựng lại Với câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem lại mô hình toán học đã lựa chọn

- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không? Nếu không thì phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không

1.1.2 D ạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa

Việc dạy học MHH đang là vấn đề đang được đặt ra cho việc dạy học Toán Mục

đích là nâng cao năng lực toán cho học sinh và việc dạy học mà chủ yếu là“Cách thức

xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra” (Lê

Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), tr.3, 4)

Dạy học MHH thường được tổ chức theohai tiến trình:

Tiến trình thức nhất: Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức→ Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán

thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học

Tiến trình thức hai: Xuất phát từ vấn đề thực tiễn→ xây dựng mô hình toán học→

câu trả lời cho bài toán thực tiễn → thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu

định nghĩa hay định lý, công thức → vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp

Tiến trình dạy học thứ nhất, được gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời gian nhưng làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất đi nghĩa của tri thức Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức được đưa vào Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không?

Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho phép

khắc phục khuyết điểm này.Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ được hình thành từ quá

trình nghiên cứu thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết

vấn đề.Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH

Như vậy, dạy học mô hình hoá và dạy học bằng MHH là con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh.Như vậy, để đạt được mục đích dạy toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học

1.2 Thuyết nhân học trong Didactic Toán

Đầu tiên chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học

Các đối tượng mà chúng tôi xem xét trong luận văn này là “Tìm hàm số xấp xỉ với

tương quan hàm ban đầu” và “vấn đề MHH” trong dạy học hàm số ở bậc Trung học

phổ thông mà chủ yếu là lớp 12 Chúng tôi xin gọi đó là Vấn đề MHH trong việc “Tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu” Các tài liệu được xem xét ở đây là sách giáo khoa hàm số ở Giải tích lớp 12 theo chương trình, SGK hiện hành và quyển sách- James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole

Quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức O là một khái niệm cơ bản của Thuyết

nhân học trong didactic toán Nó phản ánh quá trình nảy sinh, tồn tại và phát triển của

O trong I Trong Thuyết nhân học còn có khái niệm trường sinh thái của đối tượng O, cho biết vai trò, chức năng, nơi lưu trú, điều kiện để O tồn tại và phát triển Tổ chức

toán học là một khái niệm khác của Thuyết nhân học, được dùng để nghiên cứu quan

hệ thể chế với đối tượng O

Để tạo cơ sở tham chiếu cho việc phân tích quan hệ thể chế R(I1, O1), trước hết chúng tôi sẽ nghiên cứu xem O1 tồn tại ra sao trong toán học cũng như trong các khoa

học khác Chúng tôi sẽ xem xét các công trình có liên quan để tìm hiểu vấn đề “Tìm

hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu” Việc phân tích thể chế sẽ được tiến hành

ở bậc Trung học phổ thông chủ yếu là chương trình và SGK Giải tích lớp 12 Đồng

thời, sẽ có so sánh với sách giáo khoa của Mỹ đã được đề cập

1.3 Lý thuyết tình huống

Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi dự đoán những khó khăn của học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế buộc phải tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án

dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết MHH chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống dạy học nhằm hình thành cho học sinh kỹ thuật giải quyết vấn đề cũng

như khắc phục được những khó khăn gặp phải Trong các tình huống thực nghiệm của mình, chúng tôi đều lựa chọn xây dựng theo các ràng buộc thể chế

1.4 Vấn đề tìm hàm số xấp xỉ trong Toán học

Trong toán học, đa số các tương quan hàm số thường được cho dưới dạng bảng.Vấn đề chỉ là loại hàm số nào sẽ là xấp xỉ tốt nhất cho tương quan hàm ấy?

Về mặt giải tích toán học, theo công thức khai triển Taylor thì mọi hàm số khả vi

cấp n+1 có thể xấp xỉ bằng một đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n Vì vậy, người ta hay

xấp xỉ những hàm số cho bằng bảng bởi hàm đa thức

Tham khảo từ luận văn của tác giả Đinh Quốc Khánh (2012) thì đa thức nội suy Lagrange là một trong những đa thức được chọn để xấp xỉ cho hàm số ban đầu

“Đa thức này được xây dựng như sau Cho bảng số liệu

thỏa mãn P x n( )i = y i với mọi i từ 0 đến n Người ta chứng minh được đa thức này là duy nhất

và được tính bởi công thức:

 KNV1: Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho

nó nhận giá trị yi tại x = xi1, với i = 0, 1, 2, …, n”)

1 Trong đó x được gọi là các nút nội suy, y là các giá trị (hàm) nội suy với i= 0,n

 KNV2: Tính giá trị của hàm số tại bất kì giá trị nào của biến (Hàm số

f được cho bởi (n + 1) nút nội suy Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào)

Cụ thể:

 KNV1: Tìm một hàm số sao cho nó nhận giá trị yi tại x = xi, với

i = 0, 1, 2,…, n

Kỹ thuật gồm hai bước :

- Lập (n + 1) đa thức Lagrange cơ sở li(x) :

P x : a= +a x a x ,a+ + ≠0, là đa thức nội suy của f

- Thay giá trị của (n + 1) nút (xi, yi), i = 0, 1, …, n vào Pn(x) để tìm các hệ

số ai

- Sau đó thay giá trị đã cho của x vào Pn(x) để có giá trị của f tại x

Ở đây, có một lưu ý rất quan trọng rằng

“Giá t rị tìm được thường là giá trị xấp xỉ với f(x), bởi đa thức nội suy là một hàm số xấp xỉ với f” (Đinh Quốc Khánh (2012), tr.16)

Như vậy, phương pháp nội suy Lagrange cho phép tìm lại hàm số xấp xỉ với hàm

số ban đầu trong khoảng lân cận của n+1 các điểm được cho trước với điều kiện hàm

số ban đầu phải là hàm liên tục và khả vi đến cấp n+1.Và khi tìm được biểu thức hàm

số chúng ta có thể sử dụng những kiến thức toán học về hàm số để nghiên cứu chính

nó hoặc trả lời cho các hiện tượng của thực tiễn

1.5 Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý

Vật lý là một ngành khoa học thực nghiệm trong có Động học chất điểm chuyên

nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau Cũng tổng hợp từ Đinh Quốc Khánh (2012), chúng tôi tìm thấy vấn đề tìm biểu thức hàm số thường được gắn với kiểu nhiệm vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ TQT: “Tìm quỹ tích chuyển động của một chất điểm”

Kĩ thuật được vận dụng là τQT:

“ Bước 1: Phân tích lực để dự đoán chuyển động

Bước 2: Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động

Bước 3: Thiết lập phương trình chuyển động tương ứng (các phương trình này chính là các hàm của thời gian)

Bước 4: Từ phương trình kết luận quỹ đạo chuyển động của chất điểm.”

a Quỹ đạo của hòn đá

b Thời gian chuyển động của hòn đá (từ lúc ném đến lúc chạm đất)”

“ Ta thấy hòn đá chịu tác động của hai lực: trọng lực p

hướng xuống và chuyển động theo phương nằm ngang với vận tốc v 0 Chuyển động này có hai thành phần kéo xuống và kéo ngang nên chuyển động tổng hợp của hòn đá sẽ là chuyển động cong trong mặt phẳng đứng chứa v0

Để giải bài toán cần xác định phương trình chuyển động của hòn đá

Chọn hệ trục tọa độ Oxy: gốc O trùng với điểm hòn đá bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng hướng xuống phía dưới Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu ném đá

Gọi x, y là tọa độ hòn đá tại thời điểm t

Theo phương nằm ngang Ox, hòn đá chuyển động với vận tốc v 0 , do đó theo công thức chuyển động thẳng đều:

(1) và (2) chính là các phương trình chuyển động của hòn đá

a Khử t trong các phương trình (1) và (2) ta có phương trình của quỹ đạo

Từ (1) có

0

xtv

Vì x 0,y h> ≤ nên quỹ đạo của hòn đá chỉ là nhánh parabol OM

b Khi hòn đá chạm đất y = h Gọi τlà thời gian chuyển động của hòn đá Từ (2) suy ra:

Các kết quả đã đạt được trong nghiên cứu chương 1

- Xét các KNV liên quan đến việc tìm biểu thức giải tích của hàm số: có hai kiểu nhiệm vụ

 KNV1: Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho

nó nhận giá trị yi tại x = xi, với i = 0, 1, 2, …, n)

 KNV2: Tính giá trị của hàm số tại bất kì giá trị nào của biến (Hàm số

f được cho bởi (n + 1) nút nội suy Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào)

KNV1, KNV2 thường được gắn với các bài thực tiễn, do đó việc giải quyết chúng

sẽ giúp ta phần nào thấy được vai trò của Toán học nói chung và của hàm số nói riêng trong thực tế

- Xét về quá trình tìm biểu thức xác định hàm số:

Trong Toán học muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị x∈   nào đó a,b

mà chỉ biết một số hữu hạn gồm (n + 1) giá trị của hàm số tại các điểm rời rạc

Đa thức Pn(x) tìm được đó gọi là đa thức nội suy Xin nhấn mạnh đa thức này chỉ

xấp xỉ với hàm số ban đầu trong khoảng x∈  a,b

Như vậy, trong lĩnh vực toán học thì ta cần biết một tập hữu hạn rời rạc các điểm thuộc đồ thị và sử dụng các công cụ đã nêu trên để nội suy biểu thức hàm số

Trong vật lí cơ học hay cụ thể hơn trong cơ học chất điểm để tìm chuyển động hay quỹ tích của một chất điểm chuyển động ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ tọa

độ, sau đó thiết lập các phương trình chuyển động tương ứng Các phương trình này chính là các hàm của thời gian t Nhưng việc tìm biểu thức hàm số xấp xỉ này chỉ được tiến hành đối với bài toán tổng quát Sau đó, kết quả được áp dụng trong các bài toán

cụ thể Học sinh chỉ cần nhớ các công thức và thay các dữ kiện cần thiết vào

Những kết quả đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích sách giáo khoa mà chúng tôi sẽ thực hiện ở chương

Chương 2 MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ

Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi

Q 2 : Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?

Hay cụ thể hơn nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ: Các KNV liên quan đến tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước Bên cạnh đó, các KNV có liên quan sẽ giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này

Tài liệu chúng tôi dùng để phân tích

1 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương và Cấn Văn Tuất (2007)

Giải tích 12 NXB Giáo dục (kí hiệu MC )

2 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2007) Giải tích 12 Sách giáo viên NXB Giáo dục

3 Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2011) Bài tập Giải tích 12 NXB Giáo dục Việt Nam

4 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đăng Hùng Thắng (2007) Giải tích 12 (nâng cao) NXB Giáo dục (kí hiệu

M N )

5 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đăng Hùng Thắng (2007) Giải tích 12 (nâng cao) Sách giáo viên NXB

Giáo dục

6 Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị

Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đăng Hùng Thắng (2007) Bài tập Giải tích 12

(nâng cao)

7 James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals,6th edition,

Brooks/Cole (kí hiệu M)

Bằng cách so sánh sự khác nhau giữa SGK Việt Nam và quyển sách của Mỹ để thấy rõ đặc trưng của mỗi sách Từ đó chúng tôi có thể nhìn lại những ưu thế và hạn chế của SGK Việt Nam

2.1 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam

2.1.1 Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10

Trong khuôn khổ luận văn của mình chúng tôi tập trung phân tích vấn đề “MHH trong dạy học hàm số ở lớp 12” Tuy nhiên, muốn tìm hiểu thêm về “cuộc sống” của đối tượng này hàm trong sách giáo khoa Toán lớp 9 và 10, chúng tôi tham khảo phần phân tích các tổ chức toán học liên quan MHH trong dạy học hàm số trong luận văn

của Đinh Quốc Khánh Kiểu nhiệm vụ chúng tôi quan tâm ở đây là “T TBTHS (Tìm biểu thức hàm số)” chiếm tỉ lệ 3/48 (6, 25%)”

Và kèm theo đó là nhận định:

“…Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến”

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.41)

Tác giả cũng phân tích kiểu nhiệm vụ “T TBTHS (Tìm biểu thức hàm số)” trong sách giáo khoa toán lớp 10 Và khẳng định

“Các bước trong kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên đều tương ứng với các bước của quá

trình mô hình hóa…đây chính là các bước 1, bước 2 và bước 3 điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa

có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10”.(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.47)

Như vậy, vấn đề MHH có mặt trong dạy học hàm số ở lớp 10 nhưng theo chúng tôi

nó chưa được quan tâm đúng mực và chưa thể hiện được những mục tiêu mà chương trình đặt ra

“Về thực tiễn, học sinh thấy được rằng: Toán học là môn khoa học trừu tượng, nhưng các vấn đề toán học nói chung cũng như vấn đề hàm số nói riêng lại thường được xuất phát từ việc nghiên cứu các bài toán thực tế.”(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.28)

Nhận xét: chúng tôi thấy rằng có bước tiến triển trong việc dạy học MHH hàm số

Nếu như ở sách giáo khoa Toán lớp 9 “vấn đề mô hình hóa toán học đã không được

tính đến” thì sang sách giáo khoa Toán lớp 10 “vấn đề mô hình hóa có mặt…nhưng nó

chưa được quan tâm đúng mực” Liệu rằng trong chương trình và SGK Toán lớp 12

thì quá trình MHH có được chú trọng hay không? Nếu có thì ở mức độ nào? Những

phân tích tiếp theo trong chương này sẽ cho phép chúng tôi giải trả lời câu hỏi trên

2.1.2 Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa

Nhìn lại chương trình Toán 12 Việt Nam, chúng tôi bắt gặp quan điểm quan trọng như sau:

“Mục tiêu đầu tiên của xây dựng chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của những kiến thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác Do đó cần tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với thực tiễn”

(Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2006, tr.7)

Mục tiêu này cụ thể hóa lại như sau:

+Lựa chọn các kiến thức cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giảm, phù hợp với trình độ nhân thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn Toán

+Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn

+Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triển năng lực trí tuệ chung

(G N , tr.4)

Như vậy, trong mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông do Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo xác định “tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với

thực tiễn” hay nói khác hơn đó chính là phải chú trọng dạy MHH

2.1.3 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M N và E N

Với EN là ký hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban nâng cao

a) Phân tích chương I

Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích vào những nội dung về hàm số

có liên quan đến dạy học MHH hay những vấn đề có liên quan đến thực tiễn

Chương này gồm các bài học sau:

 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Cực trị của hàm số

 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Tiệm cận

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chúng tôi xin bắt đầu bằng một ví dụ trong bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” Theo chúng tôi, ví dụ này là “sự xuất hiện lần đầu tiên” của kiểu nhiệm

vụ tìm biểu thức xác định hàm số cùng với sự hiện diện của quá trình MHH

Ví dụ 3: (MN, tr.20)

“Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông theo mẫu hình 1.4 Hộp đáy là một hình vuông cạnh x (cm), đường cao h (cm) và có thể tích là 500 cm 3

Hãy biễu diễn h theo x

Tìm diện tích S(x) của mảnh các-tông theo x

Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất.”(M N , tr.20)

Sách giáo khoa đưa ra bài giải như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0, +∞ hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ) x= 10 Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật là x= 10 (cm).”(M, tr,20, 21)

Như vậy, ví dụ trên đáp ứng được mục tiêu đề ra của thể chế là cho học sinh thấy

được toán học nói chung và hàm số nói riêng có liên quan đến thực tế

Bên cạnh đó, chúng tôi thấy hiện diện các bước để tìm ra biểu thức xác định hàm

số như sau:

Bước 1: Xác định biến, điều kiện của biến

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập được công thức hàm số (Cụ thể trong bài toán này là dựa vào công thức thể tích của hình hộp)

Bước 3: Lập công thức hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥); tìm GTLN của hàm số và trả lời cho bài toán thực tế

Nhìn chung, thể chế đã chỉ ra các bước thực hiện để tìm ra biểu thức hàm số Hay nói đúng hơn vấn đề MHH trong dạy học hàm số đã có mặt được trong ví dụ này Tuy nhiên, các bước của quá trình MHH không được làm rõ Cụ thể, bước 1 của quá trình MHH không được hiện diện một cách rõ ràng và đúng nghĩa vì học sinh không cần tìm bất kỳ mô hình trung gian nào Và bước kiểm tra lại tính đúng đắn của mô hình toán học cũng không được tìm thấy

 Các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến vấn đề MHH

 KNV TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( )

 KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm”

 KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2

 KNV T N1 : Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số y= f x( )

Như vậy, với cách giải của sách MN đề xuất ở trên chúng tôi tìm thấy hai yếu tố của kiểu nhiệm vụ TN1

Kĩ thuật 𝝉𝟏:

+ Tìm đại lượng chưa biết dựa vào các dữ kiện của bài toán

+ Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng

+ Dựa vào công thức tính diện tích hình hộp thiết lập hàm số: 2

Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995

Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng  0; +∞) Tính f t'( ) và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng  0; +∞)

Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn

Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm”

(M N tr.9)

Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:

+Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của của hàm số f (với hàm f là hàm

số biểu thị cho số dân)

+Tính 𝑓′(𝑡0) là tốc độ tăng trưởng dân số vào thời điểm 𝑡0

Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:

“Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn” (MN, tr.9)

 KNV T N3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 2

C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng

10 a)Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí

b)Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?

c)In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó”

+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế

Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định ng hĩa GTLN, GTNN của hàm số

 KNV T N4 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+

𝑐𝑥 + 𝑑

Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:

+ Công thức của hàm số bậc ba 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑

+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm

số đang xét

+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế

Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 KNV T N5 : Tìm hàm phân th ức 𝒚 =𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵 và tìm giá trị của biến để hàm số đạt GTLN (GTLN)

Ví dụ (Bài tập 25, MN, tr.23)

“Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc dòng nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

Sách Giáo viên nâng cao đã gợi ý cách giải như sau:

“V ận tốc của cá khi bơi ngược dòng là 𝑣 − 6 (km/h) Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là

Từ lời giải của sách giáo viên, chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ trên như sau:

Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:

+Dựa vào các dữ kiện của bài toán tìm hàm số 𝒚 =𝒄𝒙+𝒅𝒂𝒙𝑵

+Tính đạo hàm 𝑦′

+ Cho 𝑦′ = 0 tìm các điểm tới hạn

+ Lập bảng biến thiên tìm 𝑥 để tại đó hàm số hàm số đạt GTLN (hay GTNN) + Trả lời cho bài toán thực tế

Công nghệ 𝜽𝑵𝑵: Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

♦ Nhận xét:

Qua phân tích trên, chúng tôi thấy rằng:

− Sách MN có xuất hiện kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” (kiểu nhiệm vụ TN1) Đây là kiểu nhiệm vụ duy nhất có liên quan đến vấn đề MHH cũng như tìm biểu thức giải tích của hàm số

− Các kiểu nhiệm vụ trong sách MN và EN khá đa dạng Có nhiều kiểu nhiệm vụ được đặt ra rất gần với những yêu cầu thực tiễn như: tính tốc độ tăng trưởng dân số, tính số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận cao nhất Tuy nhiên, đây cũng là những bài toán với mô hình toán học sẵn có hoặc công thức tổng quát của hàm số đã được cho trước

Bảng 2.1 Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách M N và sách E N

Số lượng bài trong

MC

Số lượng bài trong EC

Tổng số bài tập về hàm

số trong

MC và EC

Tỷ lệ

TN1: Tìm biểu thức xác định y= f x( ) rồi tìm

điểm

TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

MN trình bày chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit theo

cấu trúc như sau: 1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ  2.Lũy thừa với số mũ thực

3.Logarit 4.Số e và logarit tự nhiên 5.Hàm số mũ và hàm số logarit 6.Hàm số

lũy thừa 7.Phương trình mũ và phương trình logarit8.Hệ PT mũ và logarit

9.BPT mũ và logarit

Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích một số nội dung sau:

- Lũy thừa với số mũ thực

- Số e và logarit tự nhiên

Theo cách trình bày của sách MN thì “Lũy thừa với số mũ thực” chỉ là sự mở rộng của lũy thừa với số mũ hữu tỉ Điều chúng tôi quan tâm trong bài này là “Công thức lãi kép”, vì từ công thức này cho phép học sinh giải quyết một số bài toán thực tế liên quan đến lãi suất đầu tư

Công thức này được xây dựng như sau:

“Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kỳ trước không được tính vào vốn của kì kế tiếp nếu đến kì hạn, người gửi không rút lãi ra), còn có thể thức lãi kép theo định kì Theo thể thức này, nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vố n của kì kế tiếp Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được

“Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng

a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được một số tiền

Các công thức trên được đưa vào với mục đích giải quyết một số hiện tượng tăng trưởng của tự nhiên và xã hội Sách MN khẳng định:

“Nhiều hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng dân số, cũng được tính theo công thức (*) Vì vậy, công thức (*) được gọi là công thức tăng trưởng mũ.” (M N , tr.96)

Như vậy, sách MN có tính đến những ứng dụng thực tế của hàm số mũ bằng việc đưa ra một số công thức để giải quyết các bài toán thực tế.Tuy nhiên, việc làm này làm mất đi bản chất của bài toán MHH vì bước 1 của quá trình này sẽ được thay bằng việc

áp dụng công thức có sẵn

Sau đó, nhiều ví dụ cho việc áp dụng công thức (*) được đưa vào

Ví dụ 2

“ Sự tăng dân số được ước tính theo công thức (*), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính,

S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 1998 dân số thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người Khi đó, dự đoán dân số thế giới năm

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Đề bài yêu cầu rõ là sử dụng công thức lãi kép để giải quyết bài toán

+ Kết quả của bài toán là số gần đúng nên đề bài yêu cầu rõ số các chữ số làm tròn + Đây là dạng toán buộc phải sử dụng máy tính bỏ túi để giải quyết

Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:

+ Sử dụng công thức lãi kép C= A(1+r)N

+ Thay A: tiền gửi ban đầu, r: lãi suất định kỳ, N: số kì

+ Kết luận số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau N năm

“Tỉ lệ tăng dân số hằng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5% Năm 1998, dân số của nước này là

212942000 người Hỏi dân số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006?”

(E N , tr.75)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Đề bài không yêu cầu là sử dụng công thức tăng trưởng mũ để giải quyết bài toán

+ Kết quả của bài toán buộc phải là con số đúng

Kĩ thuật 𝝉𝑵𝑵:

+ Sử dụng công thức tăng trưởng mũ

+ Thay A: dân số tại thời điểm hiện tại, r: tỉ lệ gia tăng dân số không đổi, N: thời gian xét (tính từ thời điểm hiện tại đến mốc thời điểm trong tương lai)

+ Kết luận dân số sau N năm

Công nghệ 𝜽𝑵𝑵:

Công thức tăng trưởng mũ:

Nr

S =Ae

 KNV T N8 : “Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá trị 𝒙𝟎”

Ví dụ (bài tập 47, MN, tr.111)

“Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (R.Clausius) và Cla-pay-rông (E.claupeyron) đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín (h.2.7) được tính

k t

p=a + trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số Cho biết

Số lượng bài tập trong EN

Tổng số bài tập về hàm số trong MN

được sau n năm khi

gửi số tiền A với lãi

vụ suất không đổi a%

TN7: Tìm dân số của

một quốc gia tại thời

điểm trong tương lai

nhiệm vụ TN7 và TN8 xuất hiện với tỉ lệ bằng nhau 2,73% Hai tỉ lệ quá thấp này

chứng tỏ trong chương II thể chế MN rất ít quan tân đến vấn đề MHH Điều này mâu

thuẫn với mục tiêu chương trình đề ra “tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện

dạy học phải gắn với thực tiễn”

2.1.4 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách M C và E C

Với EClà kí hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban cơ bản

Phần lý thuyết chương I và II của sách MC cũng không đề cập đến vấn đề MHH Đồng thời các kiểu nhiệm vụ cũng không có những sự khác biệt nên chúng tôi chỉ xin đưa ra bảng thống kê các bài tập theo từng kiểu nhiệm vụ

Bảng 2.3 Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I, II sách M C

và sách E C

Số lượng bài trong

MC

Số lượng bài trong

EC

Tổng số bài tập về hàm số trong MC và EC

Tỷ lệ

Kiểu

nhiệm vụ

T1: Tìm biểu thức xác định ( )

y= f x rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số ( )

(bài toán mang nội dung thực tế)

T3: Tìm biểu thức biểu diễn hiện tượng tăng trưởng mũ (hay suy giảm mũ)

T4: Tìm biểu thức hàm số mũ

và tìm giá trị của hàm số tại giá trị bất kỳ của biến

Từ bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T1 xuất hiện với tỉ lệ 13%, kiểu nhiệm vụ T2 chiếm 1,47% Như vậy, nếu tính tổng thể thì dạng bài tập có nội dung thực tế chỉ chiếm 14,47% một tỉ lệ rất thấp Trong khi, số lượng bài tập còn lại-hàm số được gắn liền với biểu thức giải tích- chiếm đến 85,53% Điều này chứng

tỏ rằng vấn đề MHH toán học có xuất hiện nhưng chưa được quan tâm đến

Với chương II, sách giáo khoa nâng cao chỉ chú trọng vào việc hình thành công thức tăng trưởng mũ ở kiểu nhiệm vụ T3 Sau khi có công thức tăng trưởng mũ các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này đều được HS giải quyết một cách dễ dàng bằng cách sử dụng công thức có sẵn mà không cần thiết lập hay chứng minh lại Bên cạnh đó, các bài tập có nội dung thực tế thuộc kiểu nhiệm vụ T4 cũng xuất hiện Tuy nhiên, số

lượng rất ít chỉ có 1 bài chiếm tỉ lệ 1,19%

2.1.5 Kết luận

Qua phân tích chương I và chương II của sách MN và MC, chúng tôi thấy rằng thể chế có tính đến việc giải quyết các bài toán có nội dung thực tế cũng như quá trình MHH

Các kiểu nhiệm vụ trong sách MC và MN có thể chia làm hai dạng:

+Dạng thứ nhất: gắn liền với kiểu nhiệm vụ T1và TN1 Các bài toán của dạng này theo chúng tôi có sự hiện diện các bước của quá trình MHH Tuy nhiên, các bước chưa thể hiện được rõ ràng và đầy đủ Mô hình hình học sẵn có chính là điểm tựa để học sinh thiết lập nên công thức xác định của hàm số Bên cạnh đó, hàm số tìm được là một hàm chính xác nên bước 4 (là bước kiểm tra lại tính đúng đắn của kết quả tìm

được so với bài toán thực tế) cũng không có cơ hội xuất hiện Chính vì nguyên nhân này làm mất đi tính thực tế của bài toán ban đầu

+Dạng thứ hai: gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2, T3, T4 và TN2, TN3, TN4, TN5, TN6,

TN7 Bao gồm các bài toán có nội dung thực tế với biểu thức hàm số đã hoàn toàn sẵn

có hoặc dạng tổng quát của nó Yêu cầu chủ yếu của dạng bài tập này là dùng kiến thức toán để giải quyết bài toán và trả lời cho bài toán thực tế Tuy nhiên, số lượng xuất hiện các bài tập này cũng không nhiều chỉ chiếm tỉ lệ trung bình 1, 47%

Từ đây, chúng tôi khẳng định rằng so với sách giáo khoa hàm số ở lớp 9 và lớp 10 sách giáo khoa hàm số lớp 12 vẫn chưa có một bước tiến triển rõ rệt nào trong vấn đề MHH toán học Trong khi đó, chương trình thì vẫn đặt ra mục tiêu quan trong là dạy học MHH, cho học sinh biết được những ứng dụng của hàm số trong thực tiễn.Thế nhưng, SGK vẫn tập trung vào các dạng bài tập mà trong đó hàm số hoàn toàn được cho bằng biểu thức giải tích

2.2 Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ

Như đã nói ở phần mở đầu, quyển sách chúng tôi chọn phân tích một quyển sách dạy học ở Mỹ là:

James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole

(Để cho đơn giản chúng tôi kí hiệu M)

Sách M gồm 12 chương Nhưng để thực hiện mục đích nghiên cứu trong chương này, chúng tôi xin tập trung vào Chương 1 trong đó phần lý thuyết được tập trung vào

bài 1.2 “MHH Toán học: danh mục các hàm số chủ yếu”

2.2.1 Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ

2.2.1.1 Dạy học mô hình hóa

Trong sách giáo khoa Toán ở Mỹ cụ thể là quyển Calculus mà chúng tôi lựa chọn

nghiên cứu, việc MHH Toán học được đề cập từ ban đầu ngay khi hàm số cũng như các hệ thống biểu đạt hàm số được định nghĩa

Theo M:

“Mô hình hóa toán học là sự mô tả (thông thường bằng quan hệ hàm hay một phương trình) của các hiện tượng thực tế như kích cỡ dân số, nhu cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật….Mục