mô hình hoá trong dạy học hàm số, vấn đề tìm một mô hình hàm từ bảng giá trị

Hàm số có thể được biểu diễn bởi ít nhất 5 hệ thống biểu đạt khác nhau: đại số công thức, hình học đồ thị, bảng giá trị, bảng biến thiên, algorit.. Tuy nhiên, giá trị công cụ của hệ thốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

PGS.TS Lê Thị Hoài Châu

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận văn này Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Cô Tôi cũng xin trân trọng cám ơn:

- PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã từ Pháp sang Việt Nam để góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc trong nghiên cứu Didactic Toán của chúng tôi

- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại Trường THPT Võ Trường Toản – Đồng Nai đã tại điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này

- Các thành viên trong lớp Didactic Toán khóa 19 đã giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Phan Tấn Phú

MỤC LỤC

Mở đầu 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng 6

trong toán học 6

1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu 6

1.2 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong toán học 7

1.2.1 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng qua các thời kỳ lịch sử 7

1.2.2 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại 8

1.3 Kết luận 15

Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình phổ thông 16

2.1 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong sách giáo khoa Vật lí Việt Nam 16

2.1.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều 17

2.1.2 Sự rơi tự do 20

2.1.3 Kết luận 23

2.2 Phân tích sách giáo khoa Đại số 10 24

2.2.1 Các cách cho hàm số 24

2.2.1.1 Hàm số cho bằng bảng 24

2.2.2 Việc tìm công thức của hàm số từ bảng giá trị 26

2.2.3 Kết luận 27

2.3 Hàm số và vấn đề mô hình hoá 27

2.3.1 Mô hình hoá toán học là gì 27

2.3.2 Mô hình hàm trong mô hình hoá toán học 28

2.3.3 Sự tồn tại của đối tượng mô hình hoá trong sách giáo khoa Toán 10 29

2.4 Vấn đề chuyển đổi qua lại giữa hệ thống biểu đạt bằng bảng số và các hệ thống biểu đạt khác của hàm số trong SGK toán 30

2.5 Kết luận chương 2 31

Chương 3: Thực nghiệm 32

3.1 Mục tiêu thực nghiệm 32

3.2 Nội dung thực nghiệm 32

3.3 Tổ chức thực nghiệm 36

3.4 Phân tích tiên nghiệm 36

3.4.1 Biến didactic và sự lựa chọn biến 36

3.4.2 Các chiến lược có thể có 37

3.4.3 Ảnh hưởng của biến đối với chiến lược 42

3.5 Phân tích hậu nghiệm 42

3.5.1 Bài toán 1 42

3.5.2 Bài toán 2 46

3.5.3 Bài toán 3 50

3.5.4 Bài toán 4 51

Tài liệu tham khảo 59

Mở đầu

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Hàm số là khái niệm quan trọng của toán học Khái niệm hàm số và các tính chất của nó được dạy học hầu như xuyên suốt của quá trình dạy học toán ở bậc THCS

và THPT Học sinh tiếp cận hàm số lần đầu tiên từ lớp 7, hàm số nảy sinh từ việc xem xét các đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch Ở các lớp cao hơn, các tính chất của hàm số như tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đơn điệu, cực trị được xem xét dần dần

Hàm số có thể được biểu diễn bởi ít nhất 5 hệ thống biểu đạt khác nhau: đại số (công thức), hình học (đồ thị), bảng giá trị, bảng biến thiên, algorit Việc chuyển từ hệ thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt kia cho phép học sinh hiểu rõ hơn hàm số đang xét Hơn thế, biết chuyển đổi linh hoạt giữa các hệ thống biểu đạt còn là một kĩ năng cần thiết trong việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề của thực tế hay của các khoa học khác

Theo ghi nhận ban đầu của chúng tôi thì hệ thống biểu đạt đại số (biểu thức giải tích) chiếm ưu thế hầu như tuyệt đối trong sách giáo khoa toán Việt Nam ở bậc THCS và THPT Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị dường như bị xem nhẹ Giá trị công cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng giá trị trong việc sử dụng hàm số để

dự đoán các vấn đề thực tế chưa được quan tâm Chúng tôi có nhận định rằng hàm số

biểu đạt bằng bảng tồn tại trong học sinh như là một minh hoạ cho các cách xác định hàm số chứ ngoài ra không ý nghĩa gì khác

Tuy nhiên, giá trị công cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng thường xuất hiện trong sách toán nước ngoài, chẳng hạn bài tập sau:

Bài tập 20, chương 1, Giáo trình Calculus (tương đương năm thứ nhất đại

học ở Việt Nam)

Nhiệt độ T (độ F) ở thành phố Dallas ngày 2 tháng 6 năm 2001 được ghi lại theo thời gian t cứ 2 giờ 1 lần như ở bảng sau:

T 73 73 70 69 72 81 88 91

(a) Dùng bảng số liệu vẽ đồ thị dạng điểm để biểu diễn T như là hàm số của t (b) “Lấp đầy” đồ thị hàm số bằng một đường cong và dự đoán nhiệt độ lúc 11 giờ

Bài tập này có mặt trong giáo trình toán tương đương năm thứ nhất đại học, tuy nhiên lời giải trong sách chỉ dùng những kiến thức tương đương với trình độ trung học phổ thông ở Việt Nam Đều đáng nói là đáp số của câu hỏi thứ hai là không duy nhất, chỉ là một số xấp xỉ chứ không là con số chính xác tuyệt đối Trong nhiều tình

huống thực tế, người ta chỉ cần giá trị xấp xỉ là đủ

Chúng tôi nhận thấy, trong các vấn đề thực tế và các môn học khác (như Địa

lí, Sinh học, …), bảng số liệu xuất hiện thường xuyên Tuy nhiên trong môn toán bậc phổ thông ở Việt Nam, việc dùng hệ thống biểu đạt của hàm số bằng bảng giá trị và việc chuyển đổi qua lại giữa hệ thống biểu đạt bằng bảng giá trị và hệ thống biểu đạt bằng đồ thị để giải quyết các vấn đề thực tế hiếm xuất hiện

Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau:

• Các hệ thống biểu đạt hàm số hiện diện như thế nào trong thể chế dạy học Việt Nam?

• Biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị có những ứng dụng thực tế gì, có được sách giáo khoa quan tâm hay không?

• Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến quan niệm của học sinh?

• Bảng số liệu có những đóng góp gì trong nghiên cứu hàm số?

• Làm thế nào để tìm một mô hình hàm từ bảng giá trị về các số đo biến thiên phụ thuộc lẫn nhau có trong môn học khác?

• Có thể xây dựng một tính huống dạy học để giúp học sinh thấy được vai trò công cụ của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị hay không?

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu này nhằm mục đích hiểu rõ tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng

Với mục đích trên, nghiên cứu này có nhiệm vụ đi tìm một mô hình hàm số cho bằng bảng ở một môn học khác Nếu có thể, chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống dạy học giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi

Q2: Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các môn học khác

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích đề ra, nghĩa là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:

• Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số, các hệ thống biểu đạt của hàm số

• Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán hiện hành của Việt Nam

để làm rõ mối quan hệ thể chế với hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị Từ đó trả lời cho câu hỏi có hay không đối tượng mô hình hoá, cuộc sống của nó như thế nào?

• Tiến hành thực nghiệm triển khai tình huống dạy học giúp học sinh thấy được vai trò công cụ của hàm số biểu đạt bằng bảng trong các vấn

đề thực tế cuộc sống

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

Phần mở đầu trình bày những ghi nhận ban đầu và những câu hỏi nảy sinh từ những ghi nhận đó dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu

Chương 1 tìm hiểu hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán học và các khoa học khác

Chương 2 phân tích mối quan của thể chế dạy học toán Việt Nam với hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị

Chương 3 trình bày thực nghiệm

Phần kết luận tóm tắt những kết quả nghiên cứu được và hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này

Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng

trong toán học

1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu

Như chúng tôi đã làm rõ trong phần mở đầu của luận văn, mục đích của chương này là tìm hiểu xem bảng số được hình thành như thế nào trong lịch sử, nó được dùng để giải quyết những bài toán nào? Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào ở cấp độ tri thức bác học, cụ thể hơn là nó có mặt trong các giáo trình đại học như thế nào? Kết quả của chương này sẽ là cơ sở phương pháp luận cho việc nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa ở phổ thông và lựa chọn tình huống thực nghiệm

Chương này cũng sẽ đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1 sau:

Q1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán học hiện đại?

Vì lý do khan hiếm tài liệu lịch sử gốc nên tài liệu phục cho việc nghiên cứu ở chương này chủ yếu gồm của các tác giả NGUYỄN THỊ NGA (2003), một số giáo trình toán đại học nước ngoài như Calculus của JAME STEWART, Cơ sở giải tích

toán học của FICHTENGÔN và giáo trình trong nước như Giải tích hàm một biến của

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM

1.2 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong toán học

1.2.1 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng qua các thời kỳ lịch sử

Để tìm hiểu sự xuất hiện của bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong lịch

sử, chúng tôi sử dụng kết quả nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp đại học của Nguyễn Thị Nga ([5]) Bảng số xuất hiện qua các thời kỳ lịch sử được tóm lược như sau:

“Từ thời kì cổ đại vào những năm 2000 trước công nguyên, những nhà toán học Babylon đã sử dụng các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân vào các tính toán của họ Người Hy Lạp thì đã thiết lập các bảng sin, những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề như đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong hay trong tính toán thiên văn học.”

[Nguyễn Thị Nga, 2003]

Sang thời kỳ trung đại, người ta quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, đặc biệt là các đại lượng liên quan tới chuyển động như vận tốc, quãng đường, thời gian Sự phụ thuộc giữa các đại lượng này được mô tả bằng các bảng số hoặc các hình hình học Một ví dụ về hình hình học dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc theo thời gian mà Oresme (1323 - 1382) sử dụng như sau: [Nguyễn Thị Nga, 2003]

Những hình hình hình học kiểu này chắc chắn phải được phác thảo lên từ một bảng số đã có Bảng số đó biểu thị mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng, chẳng hạn vận tốc và thời gian

Sang thế kỷ 16 - 17, Descartes là người đầu tiên mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau

giữa hai đại lượng x và y bằng “đường” “Đường” theo Descartes là vô hạn các điểm

Vận tốc

Thời gian

…

mà mỗi điểm ứng với một cặp giá trị (x; y) cụ thể Việc tạo ra “đường” như vậy chắc

chắn phải thông qua một bảng số, giống như thao tác vẽ đồ thị mà học sinh hay làm bây giờ Đồ thị chắc chắn được vẽ bằng cách nối một đường liền đi qua những điểm rời rạc Các điểm rời rạc này thì được xác định nhờ một bảng số, hay gọi là bảng giá trị khi vẽ đồ thị hàm số

Đến thế kỷ 18 thì người ta đồng nhất hàm số với biểu thức giải tích Như vậy bảng số trong giai đoạn này đượi coi như không có liên quan gì đến hàm số

Đến thế kỷ 19, người ta định nghĩa tường minh hàm số là sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng mà không nói gì đến biểu thức giải tích Sau đó, với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, người ta định nghĩa hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai đại lượng của hai tập hợp số

Bảng số là một phương tiện để thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng Có nhiều trường hợp, sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng kia được

mô tả bằng một bảng số Do đó, trong giai đoạn này, bảng số là một phương tiện để biểu diễn hàm số Người ta có thể cho một hàm số bẳng một bảng số (điều này sẽ được làm rõ ở mục dưới đây)

Trên đây là tóm tắt lịch sử của hình thành của bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng Bảng số có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số Hàm số trong toán học hiện đại được định nghĩa là sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng Trong nhiều trường hợp, bảng số là phương tiện mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau đó

Để biết bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các giáo trình đại học, chúng tôi thực hiện tiếp nghiên cứu dưới đây

1.2.2 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại

Ở phần này, chúng tôi tìm hiểu sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại (trong các giáo trình đại học) hay sự hiện diện trong giai đoạn cuối (giai đoạn thế kỷ 19) như đã nhắc đến ở mục trên

1.2.2.1 Các phương pháp biểu diễn hàm số

Theo Cơ sở giải tích Toán học của Fichtengôn ([3]) và Giải tích hàm một biến

của Viện Toán học Việt Nam ([7]), có ba phương pháp biểu diễn hàm số: Phương pháp giải tích, phương pháp bảng, phương pháp đồ thị

Phương pháp giải tích

Nếu hàm số f được cho bằng một biểu thức giải tích thì ta nói hàm số được

cho bằng phương pháp giải tích Khi đó, nếu không nói rõ tập xác định của hàm số thì

ta sẽ ngầm hiểu tập xác định là tập hợp tất cả các số thực x để biểu thức giải tích đó có

nghĩa

Phương pháp bảng

Trong tự nhiên cũng như trong kĩ thuật, nhiều khi quan hệ hàm giữa hai đại lượng được thiết lập qua thực nghiệm hoặc quan sát tại những thời điểm (hoặc vị trí) nào đó Thí dụ, số đo nhiệt độ tại một thời điểm xác định nào đó là một đại lượng phụ thuộc vào thời gian Những giá trị đo đạc (quan sát) tại những thời điểm (vị trí) khác nhau có thể được xem là hàm phụ thuộc vào thời điểm (vị trí) đo đạc Ta có thể xác định giá trị của hàm tại bất kì thời điểm (vị trí) nào bằng các thiết bị đo đạc có sẵn,

nhưng nói chung ta không thể tìm được biểu thức giải tích biểu diễn được kết quả đo đạc theo thời gian (vị trí) một cách chính xác, mà thường biểu thị chúng dưới dạng bảng ghi số liệu Khi ấy ta có hàm được cho dưới dạng bảng số Cách cho hàm như vậy, mặc dù thường cho thông tin về hàm không đầy đủ (không tại mọi điểm), nhưng lại rất phổ biến trong thực tiễn Một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích

Toán học là nghiên cứu phương pháp “khôi phục” thông tin tại những điểm không

được đo để biến những hàm loại này thành một hàm mà các công cụ giải tích có thể xử

lý được như một hàm thông thường khác

Phương pháp đồ thị

Một phương pháp thứ ba để biểu diễn hàm số là phương pháp đồ thị Theo tài

liệu Giải tích hàm một biến ([7]), đây là một biến thể của phương pháp bảng Thay vì

cho một bảng số liệu, người ta cho một tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ

Đề-các, và hàm f được xác định bởi phép cho tương ứng hoành độ mỗi điểm trong tập hợp điểm đã cho với tung độ của nó Tập hợp các điểm đã cho ở trên gọi là đồ thị của hàm

số f

Một hàm số cho bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp bảng có thể biểu diễn được bằng đồ thị Việc biểu diễn tập hợp các điểm đã cho lên mặt phẳng gọi

là việc vẽ đồ thị hàm số

Cũng theo tài liệu Giải tích hàm một biến , trong thực tế người ta thường kết

hợp cả ba phương pháp trên để mô tả hàm số Tuy nhiên không phải hàm số nào cũng

có thể mô tả chính xác bằng đồ thị, đồng thời có những hàm số mô tả được bằng phương pháp bảng mà không thể mô tả được bằng biểu thức giải tích

Phương pháp mô tả

Cũng bàn về các phương pháp biểu diễn hàm số, giáo trình Calculus ([1], tương đương chương trình toán đại học năm thứ nhất) có đưa ra 4 phương pháp biểu đạt (repesent) hàm số: bao gồm 3 phương pháp như trên và có thêm phương pháp mô tả (verbally),

nghĩa là mô tả bằng lời, bằng một mệnh đề hoặc bằng một thuật toán

Dưới đây là một ví dụ về cách cho hàm số bằng mô tả trong giáo trình Calculus trang

11

Phí vận chuyển C của một món hàng hoá bằng bưu điện được xác định căn cứ vào khối lượng w của món hàng Mặc dù không có một công thức nào biểu thị mối liên

hệ giữa C và w nhưng bưu điện người ta có quy luật để xác định C khi biết w

Sau đây là ví dụ về một hàm số cho bằng cách mô tả: Đặt tương ứng mỗi số tự

nhiên n với một số thực là kết quả làm tròn số π đến n chữ số thập phân Quy tắc

tương ứng này xác định một hàm số từ tập số tự nhiên  vào tập số thực  Tuy nhiên không có công thức nào biểu diễn cho hàm số này

1.2.2.2 “Khôi phục” hàm số cho bằng bảng

Khi một hàm số được cho bằng bảng thì ta chỉ biết giá trị của hàm tại những

điểm rời rạc, khi đó người ta tìm cách “khôi phục” lại hàm số để ước lượng giá trị của

hàm tại những điểm chưa cho trong bảng Trong quá trình tìm hiểu về hàm số cho

bằng bảng, chúng tôi tìm thấy 2 cách khôi phục:

Bài tập này ẩn chứa 3 kiểu nhiệm vụ được chúng tôi rút ra dưới đây:

Kiểu nhiệm vụ T 1 : Vẽ đồ thị dạng điểm của hàm số từ một bảng số liệu

Kĩ thuật τ1 : Biểu diễn các các điểm có toạ độ (xi ,f(x i)) lên mặt phẳng toạ độ

Oxy Trong đó các cặp (xi ,f(x i)) được lấy từ bảng số liệu

Công nghệ θ1 : Toạ độ của một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Nối liền” đồ thị của hàm số từ đồ thị dạng điểm

Kĩ thuật τ2 : Vẽ một đường cong liền đi qua các điểm rời rạc đã biểu diễn

Công nghệ θ2 : Đồ thị của một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là một đường

liền trên đoạn đó

Kiểu nhiệm vụ T 3 : Dự đoán giá trị của hàm số tại một điểm không có trong bảng

Kĩ thuật τ3 : Dự đoán giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x = x0 không có trong

bảng: Vẽ đường thẳng Δ vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0, Δ cắt

đường cong đồ thị hàm số đã được “nối liền” tại điểm M, vẽ đường thẳng qua M cắt trục tung tại điểm có tung độ y0 và y0 sẽ là giá trị của hàm số tại x0

Công nghệ θ3 : Đồ thị của hàm số y = f(x) trên tập xác định D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trong mặt phẳng toạ độ Oxy khi x nhận tất cả các giá trị trong

D

Vấn đề mô hình hoá cũng hiện diện trong bài tập này Thế nào là mô hình

hoá, các bước của quá trình mô hình hoá, vấn đề mô hình hoá thể hiện qua các bước ở bài tập này như thế nào sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2

Khôi ph ục hàm số bằng phương pháp giải tích

Sau đây là ví dụ minh hoạ cho việc “khôi phục” (xấp xỉ) hàm số bằng biểu thức giải tích để giải quyết bài toán trong thực tế (hình 1.1, trang 14, sách [1]) Chúng tôi tạm dịch như sau:

Chúng ta mô tả hàm số bằng lời: P (t) là dân số thế giới ở thời điểm t

Bảng số liệu bên dưới cung cấp thông tin về hàm số Nếu vẽ đồ thị những số liệu này, chúng ta sẽ thu được đồ thị rời rạc (scatter plot) Đồ thị rất hữu ích trong việc quan sát dữ liệu một lần thay vì phải đọc tất cả dữ liệu trong bảng Thế còn công thức hàm thì sao? Tất nhiên không thể biểu diễn dân số P (t) tại thời điểm t dưới dạng biểu thức Tuy nhiên chúng ta có thể tìm một biểu thức xấp xỉ cho P (t) Trong thực tế,

dùng phương pháp xấp xỉ bằng hàm mũ với sự hỗ trợ của một máy tính cầm tay có chức năng này ta thu được sự xấp xỉ như sau:

Về mặt giải tích toán học, theo công thức khai triển Taylor thì mọi hàm số khả

vi cấp n +1 có thể xấp xỉ bằng một đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n Vì vậy, người ta

hay xấp xỉ những hàm số cho bằng bảng bởi hàm đa thức Trong các giáo trình đại học, có các phương pháp nội suy thông dụng sau:

• Nội suy bằng đa thức Lagrange

• Phương pháp nội suy Newton

• Phương pháp Hermite

• Phương pháp bình phương cực tiểu

• Phương pháp nội suy Spline

Đa thức nội suy Lagrange được xây dựng như sau đây Cho bảng số liệu

Đa thức nội suy Lagrange và Newton chỉ thoả mãn giá trị của đa thức này tại

các mốc nội suy xi bằng yi Trường hợp tổng quát, ngoài thoả mãn giá trị của hàm số tại các mốc còn phải thoả mãn thêm giá trị của đạo hàm các cấp 1, 2, … k (với k hữu

hạn) trong một bảng số cho trước thì ta có đa thức nội suy Hermite

Đa thức nội suy tổng quát Hermite quá phức tạp nên người ta mới những

phương pháp khác đơn giản hơn đó là “phương pháp bình phương bé nhất” hoặc

“phương pháp Spline” (nội suy ghép trơn bởi các đường cong bậc ba)

1.3 Kết luận

Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi đã trả lời được câu hỏi nghiên cứu Q1 (Hàm số biểu thị bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán học hiện đại?) đồng thời rút ra

một vài kết luận sau:

• Bảng số xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử, trước khi có định nghĩa hoàn chỉnh khái niệm hàm số

• Một hàm số có thể cho bằng: biểu thức giải tích, bảng giá trị, đồ thị, hoặc bằng cách mô tả

• Trong toán học hiện đại, có việc “khôi phục” một hàm số cho bằng bảng “Khôi phục” ở đây hiểu theo nghĩa xấp xỉ hàm số đã cho bằng biểu thức để có thể dự đoán giá trị của hàm số tại những điểm không có trong bảng

• Gắn liền với hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị, có các kiểu

nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 như dưới đây mà việc giải chúng chỉ dùng các kiến thức ở trung học phổ thông chứ không dùng các kiến thức ở bậc đại học

Kiểu nhiệm vụ T 1 : Vẽ đồ thị dạng điểm của hàm số từ một bảng số liệu

Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Nối liền” đồ thị của hàm số từ đồ thị dạng điểm

Kiểu nhiệm vụ T 3 : Dự đoán giá trị của hàm số tại một điểm không có trong bảng

• Có sự hiện diện của vấn đề mô hình hoá trong các kiểu nhiệm vụ T 1 ,

T 2 , T 3

Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình

ph ổ thông

Ở chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu sự xuất hiện của bảng số trong lịch sử và sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng giá trị trong Toán học hiện đại Để biết những nội dung ấy hiện diện như thế nào trong chương trình phổ thông, ở chương này chúng tôi thực hiện phân tích sách giáo khoa

Như thông lệ, sau khi kết thúc chương 1, chúng tôi tiến hành phân tích sách giáo khoa Toán Việt Nam để tìm hiểu sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng ở

chương trình Toán phổ thông Tuy nhiên, các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 không được tìm thấy trong sách giáo khoa Toán Vì vậy, phạm vi nghiên cứu được mở rộng sang các môn học khác và chúng tôi đã tìm thấy sự hiện diện của các kiểu nhiệm vụ này ở sách giáo khoa Vật lí Ở chương này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu Q2, Q3, Q4

Q2: Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các môn học khác

Trong vật lí, nhiều tình huống có sự hiện diện của các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 ,

T 3 (kiểu nhiệm vụ đã được trình bày ở chương 1) Ở phần này, chúng tôi chọn sách

giáo khoa Vật lí lớp 10 ban cơ bản, chương 1 Động học chất điểm để minh hoạ cho sự

tồn tại các kiểu nhiệm vụ này

2.1.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

Để dẫn dắt vào bài, sách giáo khoa nêu ví dụ về việc thả một hòn bi trên máng nghiêng, hòn bi sẽ chuyển động nhanh dần Từ nhanh dần ở đây phải hiểu là vận tốc

tăng theo thời gian, còn tăng đều hay không thì chưa biết Chuyển động thẳng biến đổi đều chỉ là một trường hợp rất đặc biệt trong những chuyển động có vận tốc thay đổi (chẳng hạn như thay đổi mà không tăng đều hay giảm đều theo thời gian)

Công th ức tính vận tốc và gia tốc

Sách giáo khoa Vật lí 10 trình bày chuyển động thẳng biến đổi đều bằng con đường suy diễn Sách định nghĩa chuyển động thẳng biến đổi đều rồi sau đó dựa vào định nghĩa và các công cụ toán học để thành lập các biểu thức tính vận tốc tức thời, biểu thức tính quãng đường theo thời gian Cuối chương là bài thực hành giúp kiểm chứng rơi tự do là một chuyển động thẳng biến đổi đều

Sách giáo khoa định nghĩa: “Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động

có vận tốc tức thời tăng đều hoặc giảm đều theo thời gian.”

Từ định nghĩa chuyển động thẳng biến đổi đều, sách giáo khoa nêu khái niệm gia tốc Gọi v 0 là vận tốc ở thời điểm t và v 0 là vận tốc ở thời điểm t sau đó Hiệu

0

∆ = − là độ biến thiên vận tốc trong khoảng thời gian Δt (∆ = − t t t0 ) Vì vận tốc

biến đổi đều theo thời gian nên Δv tỉ lệ thuận với Δt với hệ số tỉ lệ a không đổi và viết được Δv = aΔt Từ đó sách giáo khoa nêu định nghĩa gia tốc:

“Gia tốc của chuyển động là đại lượng xác định bằng thương số giữa độ biến thiên vận tốc Δv và khoảng thời gian vận tốc biến thiên Δt.”

v a t

0

v a

Công thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều

Việc chứng minh công thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều

2 0

12

s=v t+ at

cần sử dụng đến kĩ thuật tương tự như tích phân xác định Do đó sách giáo khoa chỉ trình bày chứng minh công thức này trong bài đọc thêm (phần em có biết, trang 23, [8]) như sau:

Trước tiên, sách giáo khoa vật lý 10 quay lại xem xét chuyển động thẳng đều Trong chuyển động thẳng đều, vận tốc bằng hằng số Do đó đồ thị vận tốc theo thời gian là một đường thẳng nằm ngang song song với trục thời gian

Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu chuyển động (t = 0) đến thời điểm t trong chuyển động thẳng đều được tính bằng công thức: s = vt Xét hình chữ nhật có một cạnh là v, một cạnh là t, diện tích hình chữ nhật này tỉ lệ với quãng đường đi được

Sách giáo khoa áp dụng kết quả trên cho chuyển động nhanh dần đều Phương

trình vận tốc của chuyển động nhanh dần đều là v = v0 + at Đồ thị vận tốc theo thời

gian có dạng một đường thẳng có hệ số góc a

Ta chia khoảng thời gian t thành rất nhiều khoảng nhỏ Δt, sao cho mỗi khoảng

thời gian nhỏ đó có thể coi như chuyển động thẳng đều với vận tốc là vận tốc ở điểm giữa của khoảng đó Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó được biểu diễn

bằng diện tích của dải hẹp hình chữ nhật, một cạnh là Δt, một cạnh là v Quãng đường

đi được trong khoảng thời gian Δt tiếp theo cũng được biểu diễn bằng diện tích của dải hẹp hình chữ nhật như trên, nhưng cạnh v dài hơn một chút Cứ như thế, quãng đường

đi được trong cả khoảng thời gian t sẽ được biểu diễn bằng tổng diện tích của tất cả các dải hẹp nói trên Nếu lấy khoảng Δt rất nhỏ thì tổng diện tích các dải hẹp sẽ bằng diện tích của hình thang vuông có chiều cao là t, đáy nhỏ và đáy lớn lần lượt là v và 0

v Từ đó ta được

( 0 )

12

s= v +v t Với v=v0+ nên ta có at

2 0

12

s=v t+ at

Việc trình bày này của sách giáo khoa cho chúng tôi thấy sự phụ thuộc bậc hai giữa quãng đường và thời gian trong chuyển động thẳng biến đổi đều được xây dựng dựa vào tư tưởng của tích phân xác định Vì chứng minh này được trình bày trong bài đọc thêm, nên trong tiết lý thuyết trên lớp chắc chắn học sinh bị áp đặt phải thừa nhận

công thức này Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: “Có thể cho học sinh tự phát hiện ra

sự phụ thuộc bậc hai của quãng đường theo thời gian bằng đo đạc thực nghiệm thông qua bảng số hay không?”

Theo cách trình bày của sách giáo khoa, chuyển động thẳng biến đổi đều có hai đặc trưng:

• Vận tốc là hàm bậc nhất của thời gian,

• Quãng đường là hàm bậc hai của thời gian

Trong khi chuyển động thẳng đều có các đặc trưng:

Thả một hòn bi nhỏ, khi đó lực cản của không khí là không đáng kể nên có thể coi chuyển động này là rơi tự do Ai cũng biết rơi tự do là chuyển động có vận tốc tăng theo thời gian Làm thế nào để chứng tỏ rơi tự do là chuyển động thẳng nhanh dần đều? Để chứng tỏ rơi tự do là chuyển động nhanh dần đều, chúng ta phải chứng tỏ nó

có một trong hai đặc trưng của chuyển động thẳng biến đổi đều như đã nêu ở trên, đó là: vận tốc là hàm bậc nhất của thời gian hoặc quãng đường đi được là hàm bậc hai của thời gian Cũng theo sách giáo khoa, vì chuyển động rơi tự do xảy ra rất nhanh

nên việc đo thời gian là rất khó khăn, và cũng ít có dụng dụ để đo chính xác vận tốc tức thời của vật khi đang rơi Do đó sách giáo khoa đã chọn cách kiểm tra đặc trưng thứ hai của chuyển động thẳng biến đổi đều, đó là kiểm chứng quãng đường rơi được

là hàm số bậc hai của thời gian Để thực hiện việc này, sách giáo khoa trình bày phương pháp chụp ảnh hoạt nghiệm để nghiên cứu sự rơi tự do Nội dung của phương pháp này như sau:

Một hòn bi sơn trắng được thả trước một cái thước thẳng đứng trong một phòng tối Một máy ảnh dùng để chụp ảnh hòn bi trong suốt thời gian rơi Hòn bi được chiếu sáng bởi những chớp sáng xảy ra cách nhau những khoảng thời gian bằng

nhau Kết quả là ta sẽ thu được ảnh của hòn bi ở một loạt vị trí cách nhau những khoảng thời gian bằng nhau Khoảng thời gian trong trường hợp này là 1/31 giây

Sách giáo khoa có viết: “Dựa vào ảnh hoạt nghiệm, ta có thể chứng minh sự

rơi tự do là một chuyển động thẳng nhanh dần đều.” Sách giáo khoa không trình bày

chi tiết phép chứng minh Theo chúng tôi, việc chứng minh này không đơn giản, cần phải dùng đến bảng số liệu và các thao tác tính toán trên bảng số liệu

Các thao tác xử lý bảng số liệu đó được trình bày trong bài thực hành ở cuối chương với nội dung như sau:

Học sinh thực hiện đo thời gian rơi của vật tương ứng với các quãng đường có sẵn và ghi vào bản số liệu ở hình 2.4

Từ bảng số liệu, học sinh vẽ đồ thị dạng các điểm rời rạc Đồ thị bên phải thể

hiện sự phụ thuộc của v vào t và đồ thị bên trái thể hiện sự phụ thuộc của s vào t2

Về sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian, sách giáo khoa có

s=s t có dạng một Như vậy chuyển động rơi tự do của vật

là chuyển động ” Ở chỗ trống thứ nhất, học sinh phải điền vào từ “đường thẳng”

Ở chỗ trống thứ hai, học sinh phải điền vào từ “nhanh dần đều”

Tương tự, về sự phụ thuộc của vận tốc vào thời gian, sách giáo khoa lại có

đoạn “Đồ thị v = v(t) có dạng một , tức là vận tốc rơi tự do theo thời gian Vậy

chuyển động rơi tự do là chuyển động ” Ở chỗ trống thứ nhất, học sinh phải

điền vào từ đường thẳng, chỗ trống thứ hai là tăng đều, chỗ trống thứ ba là nhanh dần đều

Để có được nhận xét các đồ thị vừa vẽ là một đường thẳng, học sinh phải thực

hiện thao tác “lấp đầy” một đồ thị dạng điểm rời rạc để được một đường liền Thao tác

này đã được chúng tôi đề cập đến trong phần trước ở giáo trình Calculus

Trong sách giáo khoa toán Việt Nam, khi khảo sát sự phụ thuộc của đại lượng

y theo đại lượng x người ta thường vẽ đồ thị trong đó trục tung là y, trục hoành là x chứ

ít khi là x2 Vậy tại sao khi xem xét sự phụ thuộc của quãng đường đi được theo thời

gian sách giáo khoa vật lý lại yêu cầu học sinh vẽ đồ thị s theo 2

t mà không phải theo

t như thông thường? Điều này có thể giải thích là do học sinh đã biết chuyển động rơi

tự do là chuyển động nhanh dần đều, ở đó s là hàm bậc hai theo t, mà cụ thể là

2

1

2

s= gt

Chúng tôi quay lại với nhận xét ở trang 26 của sách giáo khoa vật lý lớp 10:

“Dựa vào ảnh hoạt nghiệm, ta có thể chứng minh sự rơi tự do là một chuyển động thẳng nhanh dần đều.” Theo ý kiến của chúng tôi thì sau khi học xong bài thực hành

đo gia tốc rơi tự do ở cuối chương thì học sinh mới có khả năng dựa vào ảnh hoạt nghiệm chứng minh được chuyển động rơi tự do của vật là chuyển động nhanh dần đều Muốn chứng minh, chắc chắn học sinh phải sử dụng phương pháp của bài thực hành Phương pháp này chắc chắn phải dùng đến bảng số và các kiểu nhiệm vụ T1, T2,

• Trong bộ môn vật lý, tồn tại các kiểu nhiệu vụ T1 , T 2 , T 3: “Từ một bảng số, vẽ đồ thị dạng điểm, dùng trực giác lấp đầy đồ thị đó bằng một đường liền để đưa ra những nhận xét về sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng đang xét.”

• Trong vật lý hiện diện việc đi tìm một hàm số từ bảng giá trị của nó

Để biết bảng số và hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng, các kiểu nhiệm vụ T 1 ,

T 2 , T 3 như trên hiện diện như thế nào trong chương trình toán Việt Nam, chúng tôi thực hiện phân tích sách giáo khoa Toán Việt Nam dưới đây

2.2 Phân tích sách giáo khoa Đại số 10

Ví dụ 1 trang 32 sách giáo khoa đại số 10 giới thiệu một hàm số cho bằng

bảng Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y)

và thời gian x (tính bằng năm) Sách giáo khoa lý giải có sự tương ứng mỗi phần tử x

thuộc tập các năm từ 1995 đến 2004 với duy nhất một giá trị y nên tao có một hàm số

2.2.1.2 Hàm số cho bằng biểu đồ

Ví dụ 2 trang 33 sách giáo khoa đại số 10 giới thiệu một hàm số cho bằng biểu

đồ (dạng cột) Trong biểu đồ dạng cột này, tập hợp các giá trị của x là rời rạc và hữu hạn Cách cho bằng biểu đồ này về mặt bản chất thì gần như là đồng nhất với cách cho bằng bảng Nếu vẽ đồ thị của các hàm số ở ví dụ 1 và ví dụ 2 này thì ta được đồ thị là tập hợp các điểm rời rạc trên mặt phẳng

Cách cho hàm số bằng biểu đồ dạng cột này về mặt bản chất rất khác với cách cho hàm số bằng đồ thị mà chúng tôi đã trình bày ở chương 1, vì ở đó tập xác định của hàm số có thể vô hạn trù mật, có tính chất như tập con của tập số thực

2.2.1.3 Hàm số cho bằng công thức

Sách giáo khoa nhắc lại hàm số cho bằng công thức bằng hoạt động 4 trang

33 Hoạt động này yêu cầu học sinh nhắc các hàm số đã học ở trung học cơ sở Tất cả

hàm số mà học sinh sẽ nhắc lại đều là hàm số cho bằng công thức, chẳng hạn hàm số y

Liên quan đến cách cho hàm số bằng công thức, có một quy ước rất quan

trọng về tập xác định của hàm số cho bằng công thức: Khi cho hàm số y = f(x) mà

không nói gì về tập xác định của nó thì người ta có quy ước tập xác định của hàm số

là tập hợp tất cả số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Thống kê bài tập và ví dụ về các cách cho hàm số

Dưới đây là bảng thống kê số lượng bài tập của chương 2 về các cách cho hàm

Dựa vào bảng thống kê trên, chúng tôi rút ra nhận xét: Hàm số cho bằng công

thức chiếm vị trí độc tôn trong sách giáo khoa

2.2.2 Việc tìm công thức của hàm số từ bảng giá trị

Trong cả chương này, chúng tôi chỉ tìm thấy 2 kiểu bài tập yêu cầu tìm công thức của hàm số từ bảng giá trị, đó là:

Kiểu thứ nhất: Tìm công thức hàm số bậc nhất Ở bài “§2 Hàm số y =

ax+b ” có kiểu bài tập yêu cầu tìm công thức của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó

đi qua hai điểm A x( A;y A) (,B x B;y B) Ở đây, chúng ta có thể xem như là tìm công thức của hàm cho bằng bảng mà trong bảng cho đúng 2 giá trị, chẳng hạn như bài 2 trang 42 sách giáo khoa:

Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm

Kiểu thứ hai: Tìm công thức hàm số bậc hai Ở bài “§3 Hàm số bậc hai” có

kiểu bài tập tìm công thức của hàm số bậc hai biết đồ thị của nó đi qua ba điểm A, B, C

có toạ độ cho trước Chúng ta cũng có thể xem như là việc tìm công thức của hàm số bậc hai cho bằng bảng mà trong bảng cho đúng 3 giá trị, chẳng hạn bài 12 trang 51 sách giáo khoa

Xác định a, b, c biết parabol 2

y=ax +bx + c a) Qua A (0; −1), B(1; −1), C(−1; 1)

b) Có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0)

Hai kiểu bài tập trên đều có chung đặc điểm là: Cho biết trước dạng của hàm

số (bậc nhất hay bậc hai), số lượng giá trị trong bảng là vừa đủ để lập hệ phương trình mà số phương trình bằng số ẩn để đi tìm các hệ số chưa biết trong công thức của hàm số

• Việc tìm công thức của hàm số trong sách giáo khoa Đại số 10 và Vật

lý 10 có sự khác nhau như sau:

o Trong vật lý, nhiều tình huống phải đi tìm công thức (hoặc xấp xỉ hàm số bằng một công thức) mà chưa biết dạng của hàm số (bậc

n hất, bậc hai, ) và số lượng giá trị đo được trong bảng thường nhiều

o Sách giáo khoa đại số 10 thì chỉ yêu cầu tìm công thức (chính xác chứ không xấp xỉ) của một hàm số đã biết trước dạng (bậc nhất, bậc hai) Số lượng giá trị trong bảng chỉ vừa đủ để tìm các hệ số chưa biết của hàm số chứ không cho dư

2.3 Hàm số và vấn đề mô hình hoá

2.3.1 Mô hình hoá toán học là gì

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng

một thực tế cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôcgic hay tư duy toán học Nói cách khác, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người