Tìm nghiệm cịn lại của phương trình.. Tìm nghiệm cịn lại... GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức :... TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ðịnh nghĩa số phức ( dạng đại số ) : z= +a bi Trong đĩ :
- a b, ∈ ℝ
- a là phần thực Kí hiệu : Re z ( )
- b là phần ảo Kí hiệu : Im z ( )
- i là đơn vị ảo, i2 = −1
2 Tính chất
- z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b=0)
- z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a=0)
3 Hai số phức bằng nhau : ' ' ' ( , , ', ' )
'
a a
b b
=
=
4 Phép cộng hai số phức : (a bi+ ) (+ a'+b i' ) (= +a a') (+ +b b i')
5 Phép trừ hai số phức : (a bi+ ) (− a'+b i' ) (= −a a') (+ −b b i')
6 Phép nhân hai số phức : ( ) ( ) 2 ( ) ( )
a bi+ c+di =ac+adi bci bdi+ + = ac bd− + ad+bc i
7 Phép chia hai số phức : ( )( )
( ) ( ) ( ) (2 2 ) 2 2 2 2
i
8 Số phức liên hợp : Cho số phức z= +a bi , số phức liên hợp của z là z= −a bi
9 Mơđun của số phức : z= +a bi , suy ra mơđun của số phức z là 2 2
z = a +b
10 Các tính chất :
● z+ =z 2a
● z z = z2
● z ≥0∀z∈C, z =0⇔ z=0
● z z ' = z z'
● z+ ≤ +z' z z'
● z' z'
=
● z' z'
z = z
11 Căn bậc hai của số phức : Cho số phức z= +a bi Tìm căn bậc hai
- Gọi ω= +x yi là căn bậc hai của số phức z= +a bi
- Ta cĩ : 2 ( )2 ( 2 2)
2
ω
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Trang 22 2 2
2 2
2 2
2
x
y x
=
Tính chất :
● z=0 cĩ đúng một căn bậc hai là ω=0
● a>0 cĩ hai căn bậc hai là ± a
● a<0 coa hai căn bậc hai là i a±
12 Giải phương trình bậc hai trên tập số phức :
Cho phương trình bậc hai : Az2+Bz+ =C 0 Trong đĩ : , , A B C là các số phức cho trước, A≠0 Tính ∆ =B2−4AC
+ ∆ ≠0 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt :
2
B z A
δ
− ±
= , δ là một căn bậc hai của ∆
+ ∆ =0 Phương trình cĩ một nghiệm kép là :
2
B z A
−
=
Tính chất : (ðịnh lý Viet cho phương trình bậc hai) Cho phương trình bậc hai : Az2+Bz+ =C 0 Trong đĩ : , , A B C là các số phức cho trước, A≠0 Gọi z1, z là hai nghiệm của phương trình, khi 2
đĩ : z1 z2 B
A
−
+ = và z z1 2 C
A
=
DẠNG 1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Bài 1 Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, mơđun của các số phức sau :
1) z 1 i 1 2i
1 2i 1 i
2
1 i 1 2i
4 2i
( )
3
2
4 i
z 2 3i
1 i
−
= + −
+
Bài 2. Cho số phức : z 1 3i
2 2
= − + Tính : 2
z + +z 1
Bài 3 Cho số phức : z= +1 i 3 Tính : ( )2
2
z + z
Bài 4. Cho số phức : ( )( )2
z= −1 2i 2 i+ Tính giá trị biểu thức : A=z.z
Bài 5. Cho số phức : z= +1 3i Tìm số nghịch đảo của số phức : ω= +z2 z.z
Bài 6. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : ω z i
z i
+
=
− , trong đĩ : z= −1 2i
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn : ( )2
1 3i z
1 i
−
=
− Tìm mơđun của số phức : z iz+
Bài 8. Tìm phần ảo của số phức z biết : ( ) (2 )
z= 2+i 1− 2i
Bài 9. Tìm số phức z sao cho : A= −(z 2 z i) ( )+ là số thực
Bài 10 Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện z2
z
là số thực và z− =z 2 3 Tính z
Trang 3DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1 Giải các phương trình sau trong tập số phức :
1) z2−z 3 1 0+ = 2) z4+2z2− =3 0
3) 2 ( )
z −8 1 i z 63 16i− + − =0 4) ( ) 2 ( )
2 1 i z+ −4 2 i z 5 3i− − − =0
Bài 2. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình : 1 2 2 ( )
z − +1 i 2 z+ − =2 3i 0 Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau :
1) 2 2
1 2
1 2
B= +z z
3) C= +z14 z42 4) D=z z13 2+z z1 23
5) 1 2
2 1
z z E
z z
= + + +
Bài 3 Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 1 2 2
z +2z 10+ =0 Tính giá trị của biểu thức
A= z + z và
2 2
1 2
z z B
z z
+
= +
Bài 4 Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình : 1 2 2
z +2z 10+ =0 Tính các biểu thức
1) z1 + z2 2) z12+ z2 2
3) z14+z24
Bài 5 Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai 2
z +Bz i+ =0 cĩ tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i−
Bài 6 Trên tập số phức, tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây cĩ hai nghiệm z , z thỏa 1 2
mãn điều kiện đã chỉ ra :
1) z2−mz+ + =m 1 0, với z12+ =z22 z z1 2+1
2) 2
z −3mz 5i+ =0, với 3 3
1 2
z +z =18
Bài 7 Cho số phức z thỏa mãn : 2
z − + =6z 13 0 Tính z 6
z i
+ +
Bài 8 Tìm các số thực B, C để phương trình : z2+Bz+ =C 0 nhận z= +1 i làm nghiệm Tìm
nghiệm cịn lại của phương trình
Bài 9 Tìm B để phương trình : ( ) 2 ( )
1 i z− +2 3 2i z 12 Bi− − − =0 cĩ một nghiệm phức là
z= +1 i Tìm nghiệm cịn lại
Bài 10 Cho số phức z là một nghiệm của phương trình : z2+ + =z 1 0 Rút gọn biểu thức
= + + + + + + +
Trang 4DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 Tìm số phức z biết rằng :
1) z+2z= +6 2i 2) 3z 9+ =2iz 11i+
3) z+2z= −2 4i 4) z2+ =z 0
2 i z 3 i iz 0
2i
− + + + =
6) ( ) (2 ) ( )
1 i+ 2 i z− = + + +8 i 1 2i z
7)
4
z i
1
z i
+
=
−
2 i 1 3i z
1 i 2 i
+ =− +
9) z3 = +18 26i
Bài 2. Tìm số phức z biết rằng :
1)
z 1 1
z i
z 3i
1
z i
− =
−
−
+
2)
z 12 5
z 8i 3
z 4
1
z 8
−
−
−
3) z 2i [z)
z i z 1
− = −
2 z i z z 2i
z z 4
− = − +
Bài 3 Giải phương trình sau trên tập số phức :
1) 4 3 2
z − +z 6z − − =8z 16 0 2) 4 3 1 2
z z z z 1 0
2
3) z4+2z3− +z2 2z 1+ =0 4) z4−2z3− −z2 2z 1+ =0
5) 4 ( ) (3 ) (2 )
z − +1 2 z + +2 2 z − +1 2 z 1+ =0
6) z4−4z3+6z2−4z 15− =0 7) 4 ( ) 2
z +6 1 i z+ + + =5 6i 0
8) ( 2 ) (2 2 )
z +z +4 z + − =z 12 0 9) z4− =1 0
10) z4+ =1 0 11) z5− =1 0
12) 6 5 4 3 2
z + −z 13z −14z −13z + + =z 1 0
Bài 4 1) Tìm các số thực a, b sao cho : 4 2 ( 2 )( 2 )
z −4z −16z 16− = z − −2z 4 z + +az b ∀ z ∈C 2) Giải phương trình : 4 2
z −4z −16z 16− =0
Bài 5* Giải phương trình : 3 2 ( )
2z −5z + + +3z 3 2z 1 i+ =0, biết phương trình cĩ nghiệm thực
Bài 6*. Giải phương trình : 3 ( ) 2 ( )
z − −1 2i z + −1 i z 2i− =0, biết phương trình cĩ nghiệm thuần ảo
Bài 7 Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức :
Trang 51) 12 22 1 2
1 2
z z z z 8
z z 1
+ = −
1 2
2 2
1 2
z z 4 i
z z 5 2i
+ = +
+ = −
3) 12 2 2
1 2
z z 5 5i
z z 5 2i
= − −
+ = − +
2
1 2 2
2 1
z z 1 0
z z 1 0
− + =
− + =
5) 11 22
2 2
z z 3i
z z 3 2i
− =
+ = − −
( ) ( )
1 2
3 3
2 2
z z 3 1 i
z z 9 1 i
+ = − +
Bài 8 Cho z , z1 2∈C, sao cho : z1+z2 = 3; z1 = z1 =1 Tính : z1−z2
DẠNG 4 TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 1 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời :
1) z 1 1
z i− =
− và
z 3i
1
z i
− = + 2) z− + =(2 i) 10 và z.z=25
3) z = 2 và z là một số thuần ảo 2 4) z =1 và ( )2
2
z + z =1
5) z+2i = − +z 1 i và z 1 i
z 2i
+ − + là một số thuần ảo
6) z 5; z 7i
z z
+
= + là một số thực 7) z =1 và
z z
1 z
z+ =
8) z 1 2i+ + = − +z 2 i và z i− = 5 9) z2+ =z 2 và z =2
Bài 2 Tìm số phức z thỏa mãn : z2 =z
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : (z 1 z− ) ( +2i) là số thực và z nhỏ nhất
Bài 4 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 2i− + =1
1) Tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất
2) Tìm số phức z sao cho z lớn nhất
Bài 5 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 4i− − = −z 2i Tìm số phức z sao cho z nhỏ
nhất
Trang 6DẠNG 5 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
Cho số phức : z= +a bi ; , a b∈ℝ
1 a=0 Tập hợp số phức cần tìm là trục ảo
2 b = 0 Tập hợp số phức cần tìm là trục thực
3 Aa+ Bb = C , với , , A B C ∈ ℝ Tập hợp số phức z cần tìm là đường thẳng cĩ phương trình : Aa+Bb=C
4 ( ) (2 )2 2
a−x + −b y =R Tập hợp số phức z cần tìm là đường trịn tâm I (biểu diễn số
phức x0+ y i0 ), bán kính R
5 ( ) (2 )2 2
a − x + − b y ≤ R Tập hợp số phức z cần tìm là hình trịn tâm I (biểu diễn số
phức x0+ y i0 ), bán kính R
6 ( ) (2 )2 2
a − x + − b y < R Tập hợp số phức z cần tìm là phần bên trong hình trịn tâm I
(biểu diễn số phức x0+ y i0 ), bán kính R
7 2 ( ) (2 )2 2
r < a − x + − b y < R Tập hợp số phức z cần tìm là hình vành khăn được giới
hạn bởi hai hình trịn
Bài 1 Tìm số thực k, để bình phương của số phức : z k 9i
1 i
+
=
− là số thực
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn điều kiện:
1) z+2i là số thực 2) z 2 i− + là số thuần ảo
3) z k
z i =
− , k là 1 số thực dương 4) z− −(3 4i) =2
5) z.z=9 6) ω= −(z 2 z i) ( )+ là số thực
7) z 1
z
z
+ =
9) z z 1 i
2
2
1
2 z i
+ − 12) z i 1− + + + − =z i 1 9
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn điều kiện:
1) z 2− − + >z 2 3 2) Re z≥c
3) Im z<0 4) z =Re z 1+
5) z− +2 i u2−2 z 2 i u 1 0, u− + + > ∀ ∈ℝ 6) z 1− ≥2 z i−
Bài 4 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức của số phức : ω = +(1 i 3)z+2 biết
rằng số phức z thỏa mãn : z − ≤ 1 2