Một số PP tìm GTLN - GTNN

Bước 3: Khẳng định fx có GTLN là b... ta giả sử y là một giá trị nào đó của fx.. Từ đó tìm ra x Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng tương

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

CHUYÊN ĐỀ 1 TÌM CỰC TRỊ ( TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT)

CỦA BIỂU THỨC

I Các kiến thức thường dùng:

+ Với mọi x thuộc R

* x2  0, tổng quát: [f(x)]2k  0 (k  Z)

* [f(x)]2k + m  m (k  R)

+ Với mọi x thuộc R

 -x2  0, tổng quát: -[f(x)]2k  0 (k  Z)

 m - [f(x)]2k  m + Các bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối thường dùng: với mọi x, y thuộc R ta có:

* x  0

* x b  b xb (b  0)

* x  y  xy dấu "=" xãy ra x.y  0

* x  y  xy dấu "=" xãy ra x.y  0 + Bất đẳng thức cô-si

 a + b  2 ab ( với a 0,b 0) dấu "=" xãy ra a = b

 a b 2

ba  ( với a.b > 0) dấu "=" xãy ra a = b + Với a  0, b  0, a + b = k ( k là số không đổi ) thì tích a.b lớn nhất  a = b

+ Với a  0, b  0, a b = k ( k là số không đổi ) thì tổng a + b nhỏ nhất a = b

II Phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất

(GTNN) của biểu thức f(x) ( hoặc f(y) ):

1 Tìm GTNN (Min) của f(x)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x) Bước 2: Biến đổi f(x)  a ( a là hằng số ) Bước 3: khẳng định f(x) có GTNN là a Từ đó chỉ ra được x = x0 thỏa mãn điều kiện ở bước 1 sao cho f(x0) = a

2 Tìm GTLN (Max) của f(x) :

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x) Bước 2: Biến đồi f(x)  b ( b là hằng số )

Bước 3: Khẳng định f(x) có GTLN là b Từ đó chỉ ra được x0 thỏa mãn điều kiện ở bước 1 sao cho f(x0) = b

III Một số dạng toán tìm GTLN - GTNN thường gặp:

1.Dạng đa thức 1 biến:

Cách giải:

- Sử dụng bất đẳng thức A2m  0 hoặc A2m + k  k (k hằng số)

- Biến đổi để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức (a + b)2 hoặc (a - b)2

- Nếu f(x) là đa thức bậc 2 dạng f(x) = ax2 + bx + c ta có thể biến đổi như sau:

f(x) = ax2 + bx + c =

2

2 .

=

4

a x



Nếu a > 0

2

4 ( )

4

ac b

f x

a



  hay GTNN của f(x) =

2

4 4

ac b a



Nếu a < 0

2

4 ( )

4

ac b

f x

a



  hay GTLN của f(x) =

2

4 4

ac b a



Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức sau:

a -x2 -3x + 4

b -2x2 + 4x - 3

2 Giải: a ĐK: x  R -x2 -3x + 4 = -(x2 + 3x) + 4 = -(x2 + 2.x.3

2 + 9

4) + 4 + 9

4 = -(x + 3

2)2 + 25

4

Vì -(x + 3

2)2  0 nên -(x + 3

2)2 + 25

4 

25 4 Suy ra -(x + 3

2)2 + 25

4 có GTLN là 25

4 khi -(x + 3

2)2 = 0 x + 3

2 = 0

x = -3

2 Vậy -x2 -3x + 4 có GTLN là 25

4 khi x = -3

2

b ĐK: x  R -2x2 + 4x - 3

2 = -2(x2 - 2x) -3

2 = -2(x2-2x + 1) - 3

2 + 2 = -2(x - 1)2 + 1

2

1 2

 vì -2(x - 1)2  0

Suy ra GTLN của -2(x - 1)2 + 1

2 là 1

2 khi -2(x - 1)2  x - 1 = 0 x = 1

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

Vậy -2x2 + 4x - 3

2 có GTLN là 1

2 khi x = 1

2.Dạng biểu thức f(x) là phân thức một biến:

2.1.Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f(x) =

( )

m

A x (với m là hằng số) Cách giải:

- Kiểm tra

( )

m

A x  0

- f(x) có GTLN khi A(x) có GTNN và ngược lại f(x) có GTNN khi A(x)

có GTLN

Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức:

a A = 2 1

4x  8x 7 Giải:

a Ta có: x2 -2x + 2 = x2 - 2x + 1 + 1 = (x-1)2 + 1 > 0

2

1 (x 1) 1



  > 0

 A có GTLN (x - 1)2 + 1 có GTNN mà (x - 1)2 + 1  1

 Min (x - 1)2 + 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1

 Max A = 1

1 = 1 khi và chỉ khi x = 1

b Ta có: 4x2 - 8x + 7 = 4x2 - 8x + 4 + 3 = (2x - 2)2 + 3  3

 B > 0 Vậy B có GTLN  (2x - 2)2 + 3 có GTNN

Mà (2x - 2)2 + 3  3  Min(4x2 - 8x + 7) = 3  2x - 2 = 0  x = 1

 Max B = 5

3  x = 1

2.2 Trường hợp 2: f(x) có dạng f(x) = ( )

( )

B x

A x

Cách giải: Nếu bậc của đa thức B(x) lớn hơn bậc của đa thức A(x) ta chia đa

thức B(x) cho đa thức A(x), thực hiện phép chia có dạng:

+ f(x) = m +

2

( ) ( )

Q x

P x

  Suy ra Min f(x) = m  ( )

( )

Q x

P x = 0 + Hoặc dạng f(x) =

-2

( ) ( )

Q x

P x

+ n

Suy ra Max f(x) = n  ( )

( )

Q x

P x = 0 (với m, n là hằng số)

Nếu B(x) là đa thức bậc 1 và Q(x) là đa thức bậc 2 ta giả sử y là một giá trị nào

đó của f(x) Khi đó ta có phương trình:

y = ( ) ( )

B x

A x  y.A(x) - B(x) = 0 (*) Xét trường hợp y = 0  B(x) = 0 ta tìm được x Xét trường hợp y  0 thì (*) có nghiệm    0 Từ đó tìm ra x

Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng tương tự như trên

+ Nếu f(x) = c - A(x) (c là hằng số )  f(x) có GTLN  A(x) có GTNN

Ví dụ 1 Cho biểu thức A = 3 ( 2) 2( )

a a b b a b

     (a b)

a Rút gọn A

b Với giá trị nào của a và b thì A đạt GTLN

Giải:

a Rút gọn tử thức và phân tích mẫu thức thành nhân tử ta được:

A =

  

2

1





b A = 2 1

Ta có: a2 + 2a + 3 = (a + 1)2 + 2  2

 A > 0

 A có GTLN a2 + 2a + 3 có GTNN

Mà Min(a2 + 2a + 3) = Min[ (a + 1)2 + 2] = 2  a = -1

 Max A = 1

2  a = -1

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:

B =

2

2

2

x

Giải:

ĐK: x 2

B =

2

2

2

x

2

2

5( 4 4) 6( 2) 9

( 2)

x



=

2

=

2

5

    =

2

2 .1 1 4

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

=

2

3

2

x



 Min B = 4 3 1 0 3 2 0

x

 vậy Min B = 4 x = 5

Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:

C = 42 3

1

x x



 Giải: x2 +1  1  C có nghĩa với mọi x  R Gọi y là một giá trị của C = 42 3

1

x x





 phương trình y = 42 3

1

x x



 có nghiệm

 (x2 + 1)y = 4x + 3  yx2 - 4x + y - 3 = 0 (*)

Nếu y = 0 thì (*) 0.x2 - 4.x + 0 - 3 = 0 4x - 3 = 0 x = 3

4

 (1) Nếu y  0 thì (*) có nghiệm  '  0 4 - y(y - 3)  0

-y2 + 3y + 4  0 (y - 4)(-y - 1)  0



4 0 ( )

1 0

4 0 ( )

1 0

y

I y

y

II y

   





  





  



  





Giải hệ (I) vô nghiệm Giải hệ (II) có nghiệm: -1  y  4 Với y = -1 thay vào phương trình (*) ta có -x2 - 4x -1 - 3 = 0 -x2 - 4x - 4 = 0 Giải phương trình -x2 - 4x - 4 = 0 ta được x = -2 (2)

Với y = 4 thay vào phương trình (*) ta có 4x2 - 4x + 1 = 0 Giải phương trình 4x2 - 4x + 1 = 0 ta được x = 1

Từ (1), (2), (3) ta có:

Max C = 4 khi x = 1

2 Min C = -1 khi x = -2

3 Dạng 3: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Cách giải:

Cách 1: Sử dụng các bất đẳng thức:

A B  AB dấu bằng xãy ra A.B  0

A B  A B dấu bằng xãy ra A.B  0 Bất đẳng thức Cô-si:

   dấu bằng xãy ra A = 1 ( 0)

Cách 2: Lập bảng xét dấu:

VD: f(x) = ax + b  0

Cách 3: Xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, từ đó tìm được

GTNN, GTLN

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:

a A = x  8 x b B = x 5  x 2 Giải:

a Áp dụng bất đẳng thức A B  AB Ta có:

8

 x  8 x  8 Biểu thức x  8 x có GTNN  x  8 x  8 xãy ra dấu "="

x(8-x)  0 Lập bảng xét dấu:

8 - x + + 0 - x(8 - x) - 0 + 0 - Dựa vào bảng xét dấu ta có:

Min A = 8 0  x  8

b Cách 1: Giải như bài a Cách 2: Ta xét trong từng khoảng các giá trị của x để bỏ dấu :

B = x 5  x 2 =

  





  



   



x f(x)

b a



0 Trái dấu

với a

Cùng dấu với a

nếu x > 5 nếu 5x  -2 nếu x < -2

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

B =

2 3 7

x

x









 



Trường hợp B = 2x - 3 nếu x > 5 nên B > 2.5 - 3 = 7

 B > 7 Trường hợp B = -2x + 3 nếu x < -2 nên B = -2x + 3 > -2.(-2) + 3 = 7

 B > 7 Vậy Min B = 7 

Chú ý: - Nên giải theo cách 2 khi số dấu phải xét trong biểu thức là 2 hoặc 3 dấu Trường hợp số dấu nhiều hơn 3 ta nên giải theo cách 1 thì lời giải ngắn gọn hơn

- Ta có thể chuyển dạng B = M  N thành B = 2 2

chứa căn bậc hai để giải

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức

x  x  x  x Giải:

Nhận xét: Biểu thức trong dấu đều chứa x2 + 2x nên ta áp dụng A  A

được:

x  x  x  x  x2 2x  3 15 x2 2x = 18 = 18 Dấu "=" xãy ra  (x2 + 2x + 3)(15 - x2 -2x)  0

Mà x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0

 15 - x2 - 2x  0

 -(x + 1)2 +16  0  -4  x + 1  4

 -5  x  3 Vậy Min C = 18  -5  x  3

4 Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức:

Cách giải: - Vận dụng bất đẳng thức cô-si

a + b 2 ab với a 0,b 0

- A có nghĩa  A0 Dấu "=" xãy ra  A = 0 ( n  N* )

Ví dụ :1 Tìm GTNN của biểu thức

a A = x + x b B = 2

x  x c C = x - x 2 + 5 Giải:

a A = x + x , A có nghĩa  x  0

nếu x > 5 nếu 5x  -2 nếu x < -2

nếu 5x  -2

2n

 A = x + x  0 Vậy Min A = 0  x = 0

b B = 2

B có nghĩa  (x - 2)2 - 1  0

 B có GTNN  (x - 2)2 - 1 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0 Vậy Min B = 0  x = 3 hoặc x = 1

c ĐK: x + 2  0  x  -2

C = x - x 2 + 5 = x + 2 - x 2 + 3 = 22 2 2.1 1

2 4

4 =

2

2

x

 GTNN của C = 11

4

1 2 2

x

   = 0  x + 2 = 1

4

7 4

  ( thỏa mãn ĐK )

Vậy Min C = 11

4

7 4

2 Tìm GTLN của biểu thức A = 2

8 7

Giải:

A = 2

   = x 1 7 x

A có nghĩa  (x -1)(7 - x)  0

1 0

1 0

x x x x

   





 







  



 





  1 x 7

Với 1 x  7   x 1 0, 7  x 0

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm x - 1 và 7 - x ta có:

A = x 1 7 x 1 7 3

2

x  x

 A có GTLN là 3  x - 1 = 7 - x  x = 4 ( dấu "=" xãy ra  x - 1 = 7 - x ) Vậy Max A = 3  x = 4

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau:

B = x 2 x  1 x 2 x 1 Giải: ĐK: x -1  0 x 1

B = x 2 x  1 x 2 x 1 = x  1 2 x   1 1 x  1 2 x  1 1 =  x  1 12   x  1 12

= x   1 1 x  1 1

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

= x    1 1 1 x 1

Áp dụng bất đẳng thức a b  ab ta có:

B = x    1 1 1 x 1  x    1 1 1 x 1 = 2 Vậy Min B = 2  x  1 1 1  x 1 0

1 1 0

1 1 0

x x

x x

x

   



    

   













( thỏa mãn ĐK )

Vậy với 1  x  2 thì B có GTNN là 2

5 Dạng biểu thức là đa thức nhiều biến:

Cách giải: Với dạng này ta thường biến đổi về dạng tổng các bình phương và

chủ yếu là 2 phép biến đổi sau:

- Thêm bớt hạng tử để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức

- Tách hạng tử để phân thành từng nhóm có chứa hằng đẳng thức

Ví dụ: 1 Tìm GTNN của biểu thức sau:

a A = x2 - 2x + y2 - 4y + 6 b B = x - 2 xy + 3y - 2 x + 1 Giải:

a A = x2 - 2x + y2 - 4y + 6 = x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 + 1 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + 1  1

Vậy Min A = 1 1

2

x y





 





b ĐK: 0

0

x y











B = x - 2 xy + 3y - 2 x + 1 = x - 2 xy + y + 2y - 2 x + 1 =  x y2 2 x y  1 2 y 2y

=  12 2 2 2 

2



2

=  12 12 12 1 1

 B có GTNN là

3

1 0

1

4

x





 



Vậy Min B =

3

1 2

4

x y







  

 



2 Tìm GTLN của biểu thức sau:

C = -x2 - 5y2 + 4xy - 6x + 14y -15 Giải:

C = -x2 - 5y2 + 4xy - 6x + 14y -15 = -(x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15) = -[x2 - 2x(2y - 3) + (2y - 3)2 + 5y2 - (2y - 3)2 - 14y +15]

= -{[x - (2y - 3)]2 + (y2 -2y + 1) + 5}

= - (x - 2y + 3)2 - (y - 1)2 + 5  5

Vậy Max C = 5 1

1

x y

 



 





6 Biểu thức có dạng: [f(x) + a][f(x) + b]

Cách giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ t = f(x) +

2

a b

Bước 2: Thay ẩn phụ vào biểu thức và tiến hành tìm cực trị ( GTNN - GTLN ) theo ẩn phụ t

Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 3)2 + (x + 7)2 Giải:

Đặt t = x + 3 7

2

  = x + 2

Ta có A = (t - 5)4 + (t + 5)4 = t4 - 20t3 + 150t2 - 500t + 625 + t4 + 20t3 150t2 + 500t + 625 = 2t4 + 300t2 + 1250  1250

 A có GTNN là 1250  t = 0  x + 2 = 0  x = -2 Vậy Min A = 1250  x = -2

IV Bài tập áp dụng:

1 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ

a 4x2 + 4x + 11 b 3y2 - 6y - 1

c (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) d 2x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y +12

e 2 1

4x 20x 29

   f x2 + 5y2 + 3z2 - 4xy + 2xz - 2yz -6z +

2014

k

2

1 2

x x



 với x  0 l x  1 x 2  xa theo tham số a

m

2 2

2 2000

x

n

    

2 Tìm GTLN của biểu thức sau:

a -x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y - 3 b 2 1

9x  12x 11

c 3 x 6 x d x  1 y 1

e 3 3 2 3

1

x



1

x x

g

 20002

x

x  với x > 0 h (x - 3)4 + (x + 7)4

3 Cho biểu thức A =

2

2

x



a Rút gọn biểu thức A

b Tìm GTLN của A

4 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

a

2

8x 6xy



5 Cho x, y là hai số thỏa mãn x + 2y = 3 Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + 2y2