Thứ ngày thỏng năm 2010báo cáo chuyên đề tháng 4 Ng ời báo cáo : Phan Thị Hài Hoa Chuyên đề: Một phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất I.. Đặt vấn đề: Trong bài viết này
Trang 1Thứ ngày thỏng năm 2010
báo cáo chuyên đề tháng 4
Ng
ời báo cáo : Phan Thị Hài Hoa
Chuyên đề:
Một phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
I Đặt vấn đề:
Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phơng trình hoặc bất phơng trình cho trớc
Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phơng trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN
II Nội dung:
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phơng trình
x4 + y4 - 3 = xy (1 - 2xy)
Lời giải:
Ta có: x4 + y4 - 3 = xy (1 - 2xy) <=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2
<=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1)
Do ( x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2)
Từ (1) và (2) ta có: xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy)
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 <=> 3
4
−
≤ t ≤ 1 Vậy: t = xy đạt giá trị lớn nhất bằng 1 <=> x2 = y2 <=> x = y = ±1
xy = 1
t = xy đạt GTNN bằng - 3
4 <=> x2 = y2 <=> x = - y = ± 3
2
xy = 3
4
−
Bài toán 2: Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz ≥ x + y + z + 2
Tìm GTNN của x + y + z
Lời giải:
áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dơng x, y, z ta có:
x + y + z ≥ 3 3 xyz <=> ( x + y + z)3 ≥ (3 3 xyz )3 = 27xyz
=> ( x + y + z)3 ≥ 27 (x + y + z + 2) <=> t3 - 27t - 54 ≥ 0 ( với t = x + y + z > 0)
<=> (t - 6) (t + 3)2 ≥ 0 <=> t ≥ 6
Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 <=> x = y = z = 2
Bài toán 3: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 Tìm GTLN
và GTNN của A = xyz
Lời giải:
x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 <=> (x2 + y2z2 ) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = 9 (1)
áp dụng BĐT m2 + n2 ≥ 2 | mn | với mọi m, n ta có:
x2 + y2z2 ≥ 2 | xyz | ; y2 + x2z2 ≥ 2 | xyz | (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2| xyz | + 4 | xyz | + 3 (xyz)2 ≤ 9
<=> 3A2 + 6 | A | - 9 ≤ 0 <=> A2 + 2 | A | - 3 ≤ 0
<=> ( | A | - 1) ( | A | + 3 ) ≤ 0 <=> | A | ≤ 1 <=> - 1 ≤ A ≤ 1
Trang 2Vậy: A đạt GTLN bằng 1 x = ±yz (x; y; z ) = ( 1; 1 ; 1)
<=> y = ±xz <=>
xyz = -1 (x; y; z ) = ( 1; -1; -1) Vậy: A đạt GTLN bằng -1 x = ±yz (x; y; z ) = ( -1; 1 ; 1)
<=> y = ±xz <=>
xyz = -1 (x; y; z ) = ( -1; -1; -1)
Bài toán 4: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2 (1 - x2) Tìm GTLN và GTNN của x2 + y2
Lời giải:
Ta có: x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2 (1 - x2) <=> (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - 3 = -3x2 ≤ 0
=> t2 - 2t - 3 ≤ 0 ( với t = x2 + y2 ≥ 0 )
=> (t + 1) (t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3
Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN bằng 3 <=> x = 0 ; y = ± 3
Ta lại có: x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2 (1 - x2) <=> (x2 + y2)2 + x2 + y2 - 3 = 3y2 ≥ 0 = > t2 + t - 3 ≥ 0 ( Với t = x2 + y2 ≥ 0) <=> (t + 1 13
2
+ ) (t + 1 13
2
− ) ≥ 0
<=> t ≥ 13 1
2
−
Vậy t = x2 + y2 Đạt GTNN bằng 13 1
2
− <=> y = 0 ; x = 13 1
2
−
±
III K ết luận :
Trờn đõy là một số bài toỏn cũng như phương phỏp mà bản thõn tụi tớch lũy được qua quỏ trỡnh giảng dạy, rất mong được sự gúp ý của cỏc bạn đồng nghiệp để tụi hoàn thiện hơn.Xin chõn thành cảm ơn