A mở đầuCác bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của
Trang 1A mở đầu
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số ngời làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng
đơn giản đến các dạng phức tạp Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
Các bài toán cực trị đại số ở chơng trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phơng trình và hệ phơng trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số
Về mặt t tởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc
đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất
Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng t duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dỡng học sinh giỏi Bồi dõng HS thi vào các trờng chuyên , thi vào cấp 3
B nội dung:
I Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách
đ-a về dạng Ax 0 hoặc Ax 0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0
Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 -7
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x +
5
2
)2 +
5 9
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
5
2
)2
0 Vậy Mx
5
9
(dấu = xảy ra khi x
=
-5
2
Ta có GTLN của Mx =
5
9
với x =
-5
2
II Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách
đa về dạng 2 0
k
Ax
hoặc 2 0
k Ax
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax =
x
x x
3
16 15
2
Vói x là các số thực dơng
Trang 2Lời giải: Ta có Ax =
x
x x
3
16 15
2
=
3
23 3
) 4
x
x với mọi x >0 thì
3
23 3
) 4
x x
3
23 Vậy GTNN của Ax =
3
23 với x= 4
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx=
3 2
10 6 3 2 2
x x
x
x với x thuộc tập hợp số thực.
Lời giải:Ta có Mx=
3 2
10 6 3 2 2
x x
x
2 ) 1 (
1
2
x Vì
2 ) 1 (
1
2
1
nên ta có
Mx = 3 + ( 11)2 2
x 3 + 0,5 = 3,5 Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Fx,y =
2 2
1 ) (
2 4 4 2
2 2 2
x y y x
x y y xy
với x, y là các số thực
Lời giải:Ta có Fx,y =
2 2
1 ) (
2 4 4 2
2 2 2
x y y x
x y y xy
=
) 2 )(
1 (
1
2 4
4
x y
y
vì y4 +1 0 với mọi giá trị
của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y =
2
1 2
x vì x
2 0 với mọi x nên
x2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y =
2
1 2
1
Vậy Fx,y dật GTLN =
2
1
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý
III Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b
a + b+ c 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c
2 Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax =
x
8 2 với x > 0
Lời giải:Ta có Ax =
x
8 2
= 8x +
x
2
Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lợng lấy giá trị dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và
x
2
ta có:
8x +
x
2
8 16 2 2 8
x
x dấu = xẩy ra khi 8x =
x
2
= > x =
2
1
Vậy GTNN Ax = 8 với x =
2
1
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
Trang 3Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16
(*)
ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lợng dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
d-ơng x3 và 16- x3 ta có 2 3 ( 16 3 ) 3 16 3 16
x x x
x suy ra x3( 16 – x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *) GTLN của Bx = 64 , với x=2
IV Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
Px =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
x x
x x
x x
đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải: Ta có : Px =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
x x
x x
x x
= 4x2 + 8x+ 20 +
5 2
256 2
x
Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt
y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + 256y với y > 0 , ta thấy 4y và 256y là hai đại lợng luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và 256y ta có :
4y + 256y 2 4 256 2 2 16 64
y
y Dấu = xẩy ra khi 4y = 256y => y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1 Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 Vậy Qx = y ( 6- 2y)
Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y
ta có : 2y + 6-2y 2 2y( 6 2y) => 3 2y( 6 2y) => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
2
2 hoặc x= 1
-2 2
.Vậy GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+
2
2 hoặc x= 1
-2
2
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+
2
1
)2 +
4
31
>0 với mọi giá trị của x
*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4
Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4)
Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lợng dơng 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :
(8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) 2 ( 8 x2 x)( 20 x2 x)
14 ( 8 x2 x)( 20 x2 x) => 196 (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3
Hay Hx 196 Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3
V Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng
Ví dụ 11 :
Trang 4Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2
Ta thấy (X+5) 2
0 ; (p-1)2
0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0
Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3
Ví dụ 13 :
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 Ta thấy (x+2y)2 0 ;
(3y – 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z
Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 Giải hệ phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0
VI Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
( a1b1 + a2b2 + .anbn)2 (a1 + a2 + +an )(b1 + b2 bn )
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a b
a b
a
2
2 1 1
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
P = x2 + y2 +z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
(x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) Từ đó ta có :
P = x2 + y2 + z2
3
1995 3
)
y z
x ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P =
3
1995 2
dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =
1995 Ta có x= y =z =665
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q = 2x 4y 5 z Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện
x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có :
(2x + 4y + 5z)2 { 22 + 42 + ( 5)2}( x2 + y2 + z2)
Hay Q2 { 22 + 42 + ( )2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169
Trang 5Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi
5 4 2
z y x
và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm
đ-ợc x =
5
26
;
5
26
5
52
; 5
52
z =
5
5 13
; 5
5 13
VII Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q =
5 4 4
3 2
x
Bài 2: Biểu thức : P =
2
1 2 2
x
x
có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình
Bài 3: Cho biểu thức : A =
1 2
1 2
2
x x
x x
Với x -1 , x >0 Hãy tìm GTNN của A
Bài 4: Cho biểu thức : B=
12 6
14 6 2 2
x x
x
x Tìm GTLN của B.
Bài 5: Cho biểu thức: F =
x
x x
3
16 15
2 Với x >0 Hãy tìm GTNN của F
Bài 6: Cho biểu thức: A = 2 4
1 x
x
Hãy tìm GTLN của A
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
x
x
x 2 )( 8 )
Với x > 0 Hãy tìm GTNN của Y
Bài 8: Cho biểu thức: Y =
1
1 2
2 2 3
x
x x
VIII Hớng dẫn giải và đáp số :
Bài 1:Ta có : Q =
4
3 4 ) 1 2 (
3
4
3
, với x= 0,5
Bài 2: Ta có P = 1 -
2
) 1 ( 2 2
x
2
) 1 ( 2 2
x
x
0 với mọi x nên P 1 Vậy GTLN của P= 1
khi x=1
Bài 3:Ta có : A= 1 - 1 2
1
x
x Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi 1 2
1
x
x đạt GTLN muốn vậy x+
x
1
+ 2 phải đạt GTNN Mà x> 0 nên
x
1
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai
số dơng x và
x
1
ta có : x +
x
1
x
x.1 2
= 2 Dấu = xẩy ra khi
x =
x
1
=> x= 1; x = -1 (Loại )
Vậy GTNN của A = 1 -
4
3 4
1
, với x= 1
Bài 4: Ta có : B=
12 6
14 6 2 2
x x
x
3 ) 3 (
2
2
x Ta thấy B có GTLN thì
3 ) 3 (
2
2
x
phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x Vậy GTLN của B =
3 5
, với x = 3
Trang 6Bài 5: Ta có F =
x
x x
3
16 15
2 Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = 5
3
16
3 x
x
vì x > 0 Nên
3
x
> 0;
x
3
16
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
3
x
+
x
3
16
x
x
3
16 3 2
3
8
; Dấu = xẩy ra khi x = 4 Vậy GTNN của F = 5 +
3
8
=
3
23
; với x = 4
Bài 6: Ta có : A = 2 4
1 x
x
với x 0 thì A = 2
2 1
1
x
x
A đạt GTLN khi 12
x + x
2 nhỏ
nhất , ta thấy x2 và 12
x là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
x2 + 12
2
x x
= 2 Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1
Vậy GTLN của A =
2
1
, với x= 1; x = -1
Bài 7: Ta có : Y =
x
x
x 2 )( 8 )
Với x > 0 Y = x +
x
16
+ 10
x
x.16 2
+ 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và
x
16
) Dấu = xẩy ra khi x = 4
Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4
Bài 8: Ta có : Y =
1
1 2
2 2 3
x
x x x
( với x 1) Y = ( x +
2
3
)2 -
4
5
4
5
Dấu = xẩy ra khi x = -
2
3
Vậy GTNN của Y =
-4
5
; với x = -
2
3
c kết luận :
Các bài toán về tìm GTLN; GTNN là một dạng toán không thể thiếu trong chơng trình toán cấp 2 Các bài toán này là một trong những chủ đề quan trọng để bồi dỡng học sinh giỏi và luyện thi vào cấp 3; luyện thi vào trờng chuyên Với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy tôi đã suy tầm các bài toán về tìm GTLN; GTNN và các phơng pháp cơ bản để giải các bài toán này Đó chính là nội dung tôi thể hiện trong chuyên đề Do kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót rất mong sự đóng góp của các thầy cô giáo ; của các em học sinh để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn Mọi góp ý xin liên hệ số điện thoại 0982 172 094 Tôi xin chân thành cảm ơn
Vĩnh Tờng tháng 2 năm 2008
Cao Quốc Cờng