nguyên hàm tích phân

TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường

TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ

1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm

các hàm số thường gặp để tính

2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành

tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x)

là hằng số

Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số

*2 Tính các nguyên hàm I = Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số

+ Dạng I: với a (Đổi biến số - đặt U = ax+b)

I1 = = = ln + C

+ Dạng II: với a (Đổi biến số - đặt U = ax+b )

I2 = = = + C

+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số

I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c Ta chỉ

cần xét với a = 1 Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 =

Xét I3 =

a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

cho : = +

Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C

b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 (x0 là nghiệm kép của mẫu thức )

Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C

(Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)

*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0)

Biến đổi: = = + Do đó ta có:

I3 = = + (q - ) = + ( - q) + C

c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có:

I = = = = + C

+ Dạng IV : I4 = Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số

a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + +

Do đó :

I4 = = A + B + C = A.ln +B.ln + C.ln + D

b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)

Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

= A.ln + ln + (Bx0-C) + D (Đổi dấu rồi,yên tâm)

c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) trong đó x2

+px+q = 0 vô nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

= A.ln(x-x1) + .ln(x2+px+q) + (C - ) + D

Trong đó: J = = (Đã nói rõ ở Dạng III: c -Nếu mẫu thức vô nghiệm)

Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =

Bài tập: Tính nguyên hàm

1 I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

2 I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

3 I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

4 a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

b/ I =

2

1

3

x x

dx

; Chú ý:

c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3)

g/ I= Chú ý: = (x-2)(x2+4x+4)

5 a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x2-x+1)

8 I =

II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác

1.Nguyên hàm hàm hợp

3/ I = = = tan(ax+b) + C

4/ I = = = - cot(ax+b) + C

2 Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos m x.sin n x Hoặc f(x) = , f(x) = (Với m,n N)

-Đổi biến số ,đưa về nguyên hàm của hàm số hữu tỷ

1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ

(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được)

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:

= = - cos3x - cosx + C

Ví dụ 2 : I =

- Đặt sinx = t Ta có I = = I = = =

Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I =

= = t2 - ln +C

Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t)

2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn)

*Nếu f(x) = cos m x.sin n x Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đưa về nguyên hàm hàm hợp

= x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C

= x + sin2x - sin4x - sin6x + C

*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = , đặt cotx=t (với m và n đều là sỗ chẵn )

Ví dụ 5 : I =

= - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t)

Ví dụ 6 : I = (Vì mẫu thức là sin2x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t)

-Ta có : I = = I = = - d(cotx) = - cot3x + C

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)

Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t)

= tanx + sin2x - x + C

3 Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t -Có những bài dùng phương pháp liên kết

1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t

= - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ)

2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t

3/Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t

Ví dụ 9 : I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = )

(Dạng Với u = 1 + tanx)

4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan Ta có dt = (1+ tan2 ).dx

Nên dx = , và có sinx = , cosx =

Ví dụ 10 : Tính nguyên hàm I =

Đặt t = tan Ta có : dt = (1+ tan2

).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx =

Do đó :

5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng, có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức :

I = = I = dx

Tính : J = .dx xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên Nếu không thỏa mãn dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan

4 Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :

-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp

=

= - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C

******************************************************************************

Bài tập : 1/ x 4 xdx

2

0

2

cos sin

2

0

3 2

cos

2

0

5 4

cos sin

2

0

3 3

) cos

2/

2

0

4 4

) cos (sin

2

2

0

2 2

) cos cos

sin sin

2

2

02 sin

1

dx

x ;

2

3

sin

1

dx x

4

0

2 2

cos cos

sin 2

01 cos

cos

dx x

x

;

2

02 cos

cos

dx x

x

;

2

0 2 sin

sin

dx x x

4/

2

0

4 4 10

10

) sin cos cos

2

0 2 cosx

dx

;

2

0

2 3

cos 1

sin

dx x

6

4

cos

dx

5/

2

0

3

cos

1

cos

dx

x

x

2

0sin cos 1

1

dx x

2

3

2

) cos 1 (

cos

x

xdx

4

0

3

xdx

4

6

3

3

4

4

xdx tg

6/

4

01

1

dx

tgx

4

4 cos(

dx

2

0

sin

1 x dx

4

02sinx 3cosx 13

0

4 3

cos 1

sin 4

dx x x

7/

2

01 cos

3

sin

dx

x

4

sin 2

0

3 2

) sin 1 ( 2

8/

0

sin

cosx x dx

3

4

3

3 3

sin

sin sin

dx xtgx

x

01 sinx cosx

0

2 2 2

cos sin

2 sin

x b x a

0 2 3

cos

sin

dx x x

9/

2

02sinx 1

0 1 cos2

cos

x

0 3 sin2

cos sin

dx x

x

4

5 3

sin cos x xdx

4

0

2

cos 1

4 sin

x

xdx

2

0 5sinx 3

dx

10/

6

6

4

cos

6 sin(

sinx x

4 cos(

sinx x

4 6 2

cos

sin

x

xdx

dx x

6 (

3

6

11/

3

0

3

) cos

(sin

sin

4

x x

2

2

) sin 2 (

2 sin

x

0

3

sin x dx

2

0

2

cos xdx

x

2

0

1 2

2 sin x e x dx

2

0

2 2

cos x

xdx

x

x x

2

01 cos

sin

1

4

6

2 cot

4 sin 3 sin

dx x g tgx

x

0 2

6 sin 5 sin

2 sin

x x

1

)

cos(ln dx x

3

6

sin 2 1

cos

dx x x

13/

2

0

sin 1

3

6

2

cos

) ln(sin

dx x

x

dx x x

2

0

2

cos ) 1 2 (

0

2

cos sinx xdx x

4

0

2

xdx xtg

4

0

5

xdx tg

14/

0

2

2

sin xdx

e x

2

0

3 sin

cos sin 2

xdx x

4

0

2

) cos 2

0

) 1 ln( tgx dx I=

15/

2

0

2

) cos 2 )(

sin

1

(

cos ) sin 1

(

dx x x

x

0

3 cos 2 sin

4

0 1 2cos5

7 cos 8

cos

dx x

x x

Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây

1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức :

-Thông thường : Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t

- Đặt = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t2 – 1).t

Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1)

Do đó : I = – = = - + C

Ví dụ 2 : I =

-Đặt = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và =

-Do đó : I = 2 = 2 = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ)

2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n

…mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n …

Đặt = t ,ta có x + 1 = t nên dx = 6 t dt, = t , = t

Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và

a,b,c R , a 0:Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên)

Hai trường hợp :

2/Nếu < 0 : = (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa ) Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :

*1 Hàm số chứa u và , đặt u = tant

*2 Hàm số chứa u và , đặt u =

Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên

Một số trường hợp riêng :

1/ Tính I1= .Đặt t = x + + (không quan tâm dương ,âm )

-Ta sẽ có : I = =

Cách 2 : Tính : I =

Đặt x +1 = 2.tant Ta có : dx = 2.(1 + tan2

Do đó ta có :

I = = (Mở dấu gttđ rồi đổi biến số , đặt u= sint )

2/Tính I2 = =

(Trong đó: I1= .Đặt t = x + + nói ở trên )

(Tính Ví dụ 5 ngay phía trên)

3/Tính I3 = Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1nói trên

Ví dụ 7 : Tính : I =

Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)

(Tính Ví dụ 5 ở phía trên)

4/ Tính I4 = Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n

Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x) + I1

Giả sử : I4 = = Qn-1(x) + (*)

Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực

Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 =

(đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên )

Ví dụ 8 :

Tính tích phân I = (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b ) Lời giải:

Gỉa sử : = (ax+b) +

- Ta phải tìm các hệ số: a, b,

- Lấy vi phân hai vế …… (Đã nói ở trên)

Ví dụ : Tính : I = dx

Ta viết :

Vì Pn(x) = x2 + 2x + 4 (n = 2) nên Qn-1(x) = ax + b (Bậc của nó là 1)

-Ta tìm các số thực a, b, sao cho : dx = (ax+b) +

Lấy đạo hàm hai vế Chú ý đến: đạo hàm của nguyên hàm thì bằng hàm số dưới dấu tích phân, nhớ các công thức :đạo hàm của một tích và đạo hàm của .Tìm được a, b, để thay vào (*).Cuối cùng là tính , đặt t = x + 1+ Hoặc đặt (x+1) =

Xem phần trên đã trình bày

BÀI TẬP :

******************************************************************************

Chúc các bạn thành công trong sự nghiệp