nguyên hàm và tích phân

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bảng các nguyên hàm :

𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶; 𝑥∝𝑑𝑥 = 𝑥

∝+𝟏

∝+1 + 𝐶(∝≠ −1) ; 𝑑𝑥

𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ; 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 ;

𝑑𝑥 𝒄𝒐𝒔2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ; 𝑑𝑥

𝒔𝒊𝒏2𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 ; 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 1

𝑎𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶;

(𝑎𝑥 + 𝑏)∝𝑑𝑥 = (𝑎 𝑥 + 𝒃)∝+𝟏

𝑎(∝ +1) + 𝐶(∝≠ −1) ; cos⁡ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =

1

𝑎 sin⁡ (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

2



I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

1/

(1 )

5 7

sin x sin x sin xcos xdx sin x sin x dsinx  C

2/

(1 ) cos

9 7 11

cos x cos x cos x sin xcos xdx  cos x cos xd x   C

3/

2

(1 2 )(1 2 )

cos x cos x sin xcos xdx     dx cos x cos x dx

3

8 8 (3cos 3 ) 3( 9 7 ) 11 5

cos xsin xdx sin x xcos x dx sin xsin x sin xsin x dx

1 9 3 7 11 5

cos x cos x cos x cos x

C

ln ln tan( / 2) sin 1 2 cos 1 cos 1 2 1



6

ln 3 4

25x sinx cosx C

7/ cos 1 ( ) ( ) 1 

ln







2

( / 4) ( )

tan x  sinx cosx  C

3 5 3 6 ( / 2) 10 ( / 2) ( / 2) ( / 2)(3 5 ( / 2))

( / 2) 1

ln 3 5 ( / 2)

3 5 ( / 2) 5

dtan x



7 6 9 16 ( / 2) 12 ( / 2) 2 ( / 2) ( / 2) 6 ( / 2) 8

( / 2) ln

2 ( / 2) 4 ( / 2) 2 2 ( / 2) 2

tan x

11/

2

3

12/ tan xdx3 (tan x tanx tanx dx3   ) tanx tan x( 2 1)dxsinxdx cosx/ (tan x2 ) / 2 ln cosx C 13/ cot xdx4 (cot x4 cot x cot x2  2  1 1)dxcot x cot x2 ( 2 1)dx(cot x2 1)dxdx

3

(cotx) / 3 cotx x C

14/

2

( / 2 / 8)

2 2 2 ( / 4) 2 2 ( / 2 / 8) 2

C





15/

3

3 3

3 8

sin x sinx sin x sinx cotx

16/

4

2

tanxcos x sin xcos x



3

3

2

sinx cosx

dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx C sinx cosx







18/

2

( 2) 1

( 2) 2 ( 2) 2

d t

t sinx cosx

2 1 1

t

19/

2 4 2 6 8 2 2 3/ 4

C sinx sinu

20/ 1 22 2 2 2

2ln



21/



22/ 3 2 4 2 3 2 4 2 3 ( 3 2 ) 1 1

2

2

sinx

t C cosx tant sinx



( 0; / 2 ) 2 / 3

cosx cos xdx x     cosxdcosx  cos x C

24/

2 3 2

3

sinx cosx







1

ln 2 3 2 ( / 3)

8 2

t

25/

2 2

2 2

( )

a cos x b sin x





26/

4 2

cost



2 ( (0; / 4)) ( ) ln 2

2

cos x

sin x



1 3 1 3

4 1 3

sin xdx sinxdsinx

cos x sin x sin x

sin x a x b dx dx

a b k cos x a cos x b     sin a b cos x a cos x b  

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

cos x a x b dx dx

BÀI TẬP :

1/ ; 2 / ;3/ ; 4 / ;5 / ;6 / ;7 / ;

dx cosx cosx sinx cos x cosx tanxcot x cos x cosx cosx

1 2 2

8 / ;9 / ;10 / ;11/ ;12 / ;13/ ;

4

14 / ;15 / ;16 / ;17 / ;18 / ;19 / ;

sin xcos x cosx sinxcos x cos x sin x sinx cosx

20 / ; 21/ ; 22 / ; 23/ 1 sin

( ) ( )

cos x a cos x b



24 / ;25 / ( ) ;26 / ;27 /

2 2

tanxtan a x dx

sinx cosx





II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ:

( 1)(2 1) 1 2 1 1 2 1 2 1



𝑥𝑑𝑥 2𝑥 − 1 (3𝑥 + 4) ;

𝑑𝑥

𝑥2 2𝑥 + 3 ; 𝑑𝑥

2𝑥 − 3 (3𝑥 + 2)

2/

1 1 1 1

ln ( 2) 2 ( 2) 4 2 4 2

3/

10

( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1)

 

10

4/

ln

1 1/ ( 1/ ) 2 2 2 2 2 2 2 2

4′) 𝑥2+ 1

𝑥𝟒 + 1 𝑑𝑥 ; 4")

𝑑𝑥

𝑥𝟒 + 1

5/

2

( 0)

6/

1 4 4 1 1 1 4

( 2 3 ) (2 3 ) 27 27 2 7 9

7/

3

( ) / 3

8/

ln

4 4 1 1/ 4( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1) 2 1

C

BÀI TẬP:

Tìm các nguyên hàm sau:

1/ ; 2 / ;3/ ; 4 / ;5 / ;6 /

3 ( ) 1 ( 1) ( 5 1)( 3 1) (1 )

dx

III Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức:

1/

3

1 ( 1) / 3 1 1 1

( 2 ) ( 3 1)

3 1

t x

2/

( 1) 1 1

2(1 ) 2 2 3 2

1 2 1

t x





3/

2 2

( 2)

2 ( 2) 3

2

t C t x t

x





4/

4 3 4

3

(3 ) / 4 3 1 1 3 1 3

1 1

x

( 1) ( 1)

1 1

6/

3 2 3

1

7/

2

2

( 1) 2 1 1 2 1 2

ln ( 1) 2 1 1 2 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2

9/

1

sinx cosx sinx cosx

C

11/

1

(1 )

3 5

12/

2

2

(1/ )

2 1 2 / 1

1 2 1 2 1 2

t

t t t



13/

2

2

4 /( 1) 1

1 2 1 2 4 1 ( 1) 3 2

x

t

 



2 4 2 2 8 2 2 ( 4 2 2 1)

1 2 1

dx dcos t tant cos t sin tdt sin tcos tdt cos t cos t dt

cos t x





0,5sin t4 2sin t2 2t C

BÀI TẬP:

Tìm các nguyên hàm sau:

2 2

2 3 / 2

1 1/ 4 ; 2 / ;3/ ; 4 / ;5 / ;5'/

(1 )

x

 





2 3

6 / ;7 / ;8 / ;9 / (1 ) ;10 / ;11/

x dx



IV Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít:

x

( 3)

x

x

e dx

e



3/

2

1

1 ln( 1)

4/

2

ln

x

( 2) 2 2 ( 1) 1

x

x

6/

2

( 1) ( 3 1 1)

e  dx e d   te dt e t  C e  x  C

7/

2 2 ln ( / 4 / 2) ( )

x

cost



x

e e dx t tdt

9/

2

(1 )

x



10/

4 2

ln 3ln 1 1 2 2 2

x

x

V Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần:

1/ Các nguyên hàm dạng: xdf x( ), ví dụ: 2 2

ln xdx; ln(x x k dx) ; ln (x x k dx) ;

3/ sinxln(1cosx dx)  ln(1cosx d) (1cosx) (1 cosx) 1 ln(1  cosx)C

4/ cosxln(1cosx dx) ln(1cosx dsinx)  sinxln(1cosx) x sinx C

5/ F sin(ln )x dx xsin(ln )x cos(ln )x dx xsin(ln )x  xcos(ln )x  F

 F x sin (ln )x cos(ln ) / 2x  C

6/

2

7/

2

1/

tanx

8/ e cosxdx x e sinx x( cosx) / 2C;e sinxdx x  e sinx cosx x(  ) / 2 C



10/

2

2

ln( )



ln ln ln ln ln ln ln ln

1 2 ( / 2)

x



BÀI TẬP:

Tìm các nguyên hàm sau:

ln( ) 1/ ; 2 / (ln ) ;3/ ; 4 / ;5 / ;6 / ;7 /

x

VI Một số tích phân đặc biệt:

1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0; thì:

( ) ( )

2

xf sinx dx f sinx dx

VD:

1

1

arctant

2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0;1 thì:

( ) ( )

f sinx dx f cosx dx



Áp dụng:

;

4

n

cosxdx

sinx cosx dx sin x cos x dx sinx cosx



3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn a a;  thì: ( ) 0

a

a

f x dx





Áp dụng:

/ 3

/ 3





1

1







4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn a a;  thì:

0

( )

( ) 1

x a

f x dx

f x dx b







Áp dụng:

a/

(1 ) 2 / 3

1 2x

cos xdx

cos xdx sin x dsinx







b/

1

( ) ( ) 1/

1 3

e e







c/

(1 ) 1/ 9 2 / 7 1/ 5 8 / 315

1 x

sin xcos x

dx sin xcos xdx t t dt e







5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì:

0

( ) ( )

a

f x dx f x dx





Áp dụng:

1 cosxdx 100 1 cosxdx 100 2 cos x( / 2)dx 200 2 cost dt

/ 2

200 2 costdt costdt 200 2(1 1) 400 2



VII.Một số bài toán lẻ:

/ 2

(1 ) 1/ ; 2 / ;3/ ( ) ; 4 / ;5 /

p p



