nguyên hàm-tích phân

sin .Sau đó dùng đồng nhất thức... Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau .* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận

TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :

1 1

1

−

≠ +

dx a

1 1

2 2

∫ x2 +a dx= x x2 +a+alnx+ x2 +a +C

2 2

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm là F (x)

Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β] và có miền giá trị là

1

x x

e

dx e

x

dx x I

1 3

ln 1

Bài làm :

xdx xdx

dt x

1

0

t x

t x

2

1 ln 2

1 2

1 1

2

1 2

1

2

1 2

xdx I

http://kinhhoa.violet.vn

1

2

e t x

e t x

0

2

2 2

dx e I

e

e

e

e x

x

x tdt x

t x

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : =∫β

α

nxdx mx

cos sin Cách làm :

1

1 cos 1

2 sin 2

tan

t

t x t

t x x t

Dạng 4 : =∫β ++

α

dx x d x c

x b x a

cos sin

cos sin Cách làm :

x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

+

− +

= +

+

) 1 2 2 ( 3

2 3

2 ln

1

x

dx x I

e

Sau đó dùng đồng nhất thức

Dạng 5: =∫β ++ ++

α

dx n x d x c

m x b x a

cos sin

cos sin Cách làm :

Đặt :

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a

+ +

+ + +

− +

= + +

+ +

cos sin cos

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin Sau đó dùng đồng nhất thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

a) =∫2 +

0

4 1

) 1 (sin

1 0

t x

1 )

1 (sin

1 3 2

1 4 2

0 0

t x

2 5

2 1

1 cos

1

0

1

0 3 5

2 2

0

5 2

dt t t dt

t xdx

0 0

t x

t

x

π

http://kinhhoa.violet.vn

Vậy :

4 15

13 3

5

1

1 1 1

tan

4 0 1

0

3 5

1 0

1 0

2 2

4 2

6 4

0

6 3

π

π π

−

= +

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

.

cos sin

π

dx x b

x a

x x

0 2

2 cos 2 cos

π

dx x

x I

2

0

b t x

a t

b a t

a b

t

dt a b

dx x b x a

x x I

1 1

2

1 cos

sin

.

cos sin

2 2 2

2

2

0

2 2 2

2 1

2 2

2 2

xdx a

a

xdx x

dx x b

x a

x x I

2

1 2

cos 4

1 2

sin 2

1

cos sin cos

sin

.

cos sin

2 0

2 0

2 0

π π

0 0

t x

t x

π

2 3

1 2

3 2

cos 2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I

π

2

3 cos

3 2 0

π

π

u t

u t

2 4 2

1 2

1

cos 1 2 3

sin 2 3 2

1 2

3 2 1

2

π π

π

π

π

π π

u

udu t

dt I

4

1

π

dx x x

0 2

5 cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

π

dx x x

x x

x dt

x t

0 0

t x

1 5

1

1 3 1

2 4

1 2

1

0

1

0 2 1

0

2

2 2

2 1

= +

−

=

+

= + +

− + +

t

t t

t

t I

b)Đặt : 4sinsin 73coscos 65 4sin4cos 3cos3sin 5+4sin +3cos +5

+ +

− +

= + +

+ +

x x

C x

x

x x

B A x

x

x x

Dùng đồng nhất thức ta được: A= 1 , B= 1 , C= 1

http://kinhhoa.violet.vn

Vậy :

6

1 8

9 ln 2 5

cos 3 sin 4 ln

5 cos 3 sin 4

1 5

cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 1 5

cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

1 2 0

2 0

2

0

2

+ +

= + + +

+ + +

− +

= + +

+ +

π

π

π π

I x

x x

dx x x

x x

x x

dx x x

x x

0 3

2 sin

π

x

dx I

c) =∫2 +

0

3 3

1 cos

sin

4

π

dx x

x

0 5

3 cos 2 sin

1

π

dx x x

0 6

3 cos 2 sin

1 cos sin

π

dx x x

x x

1

với ( )a,n ∈C×(N −{ }0 , 1) ta có : Nếu n= 1 , a∈R ta có : x C

a x

x

2

β α

, , ,

,

2 ac b

R c b a

β α

* Giai đoạn 1 : α ≠ 0,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax2 +bx+c, sai khác một số :

+

+

= +

+

− + +

c bx ax

dx b

a a

dx c bx ax

b ax a

dx c bx ax

b

a b ax a

I

2 2

2

2 2

2 2

2 2

β α

* Giai đoạn 2 :

∆

− +

+

=

b ax t

n n

n

t

dt a

a dx

c bx ax

dx I

2

1 2

4

x P I

b x b x

b

a x a x

a x

Q

x

P

n n

m m n

m

+ + +

+ + +

=

Nếu : deg( )P ≥ deg( )Q thì ta thực hiện phép chia ( )

x Q

x R x A x Q

x P

n

r n

m n

a x

A a

x

A a

x

A a

i

i i

m

a x

A a

x

x P

1 1

2

) )(

)(

D c

x

C b x

B a x

A c

x b x a x

n n

n m

c bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

B x A c

bx ax

x P

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + +

+

= +

−

−

2 1 2

1 1 2

1 1

+ +

−

= + +

−

m i

n

i i

i n

m

t

c bx ax

B x A x

A c

bx ax x

x P

A c bx ax x

x

P t

+ +

+ +

−

= + +

1 1 2

C x B c bx ax

C x B x

A c

bx ax x

x

P t

+ +

+ +

+ +

+ +

−

= + +

BÀI TẬPTính các tích phân sau :

2 2

= + +

= + +

1 2

1 2

dx x

− +

+ +

= +

+

0

2 2

1

0

2 2

2

2 1

2 2

1 1

1 2

1 1

1

http://kinhhoa.violet.vn

ln 2 ln 1

ln + − + 10 =

Tính các tích phân sau :

a) =∫1 + +

0

2 4

2 1

2 4

dx x

a x

dx

I0 2 2 1arctan với a> 0

x x

x x

dx x

= + +

= + +

2 2 1

1 2

1 3 1 3

3

(9 2 3)

2 3

arctan 3

1 arctan

1 2

1 2

2 4

2

2 2

+ + + + +

= +

+ + +

= + +

−

x x

A C C B x B A x x

C Bx x

A x

2

0 2

4 2

0

C B

A AC CB BA

−

= +

2

1

2 2

2 2

dx x

x

x I

ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 2 ln

0

+ +

x

x

I b) =∫ + −

5 2 2 2

3

2x

x

dx I

x x

3

2 4 3

B x

A x

x

x

b) 2 +12 −3= −1+x+3

B x

A x

x

c)  ( + )( − )

− +

=

−

−

1 2 1 2

4 1

x

x x

x

x

d) 4 −3 2 +2= −1+ +1+ + 2 +x− 2

D x

C x

B x

A x

x x

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

1

0

t x

t x

Bài làm :

( ) ( ) ( )1 )

t f dx x

x f I

0

2

http://kinhhoa.violet.vn

Cho a> 0 và f( )x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R.

Chứng minh rằng : ∫ ( ) ∫ ( )

−

= +

α α

α

dx x f dx a

x f

t t

t f a dt a

t f dx a

= +

α α

x f a dx a

x f

x x

t

x

π π

Vậy : ∫π ( ) =∫π(π − ) [ (π − )] =∫π(π − ) ( )

0

sin sin

sin

( x)dx f( x)dx f

x

dx x f dx

x f x

π π

π π

0 0

0 0

sin 2

sin

sin sin

2

• Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

Nếu hàm số f( )x liên tục trên [a, b] và f(a+b−x)= f( )x Thì ta luôn có :

∫b ( ) = + ∫ ( )

a

dx x f b a dx x f

x

π

0

2

Cho hàm số f( )x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T

Chứng minh rằng : a∫+T ( ) =∫ ( )

a

T

dx x f dx x f

= +

x

f

0 0

Vậy ta cần chứng minh ∫a ( ) =a∫+T ( )

T

dx x f dx x f

T t

T dt t f dt T t

0

(đpcm)

• Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số f( )x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T , thì ta luôn

=

1 1

2 2

2 sin x cosxln x x 1dx I

c) =π∫ +

0

2 3

cos 4

9

sin

.

dx x

x x

I d) =∫π +

0

2 4

cos 1

sin

dx x

x x I

sin

π

π

dx x x

1

sin

dx x

x x

I

http://kinhhoa.violet.vn

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u= lnxhay u = loga x

e xdx I

dx du x

u

0 1

0

1 0 1

xdx du x

u

sin cos

2

2

4 sin

2 cos

.

2 0

2 0

2 2

1

0

π π

x x dx e x

Ta đi tính tích phân ∫2

0

sin

π

xdx x

xdx dv

dx du x

u

cos sin

2 0 2 2

0

= +

−

= +

−

π π π

x x xdx x

x xdx x

Thế vào (1) ta được : . 24 8

1

0 1

dx x

du x

1

1 1

x x x dx x

x xdx I

π

dx x

xdx dv

dx e du e

cos sin

0 0 0

dx e du e

sin cos

Vậy : J =∫πe x xdx=e x xπ −∫πe x xdx= −I

0 0 0

sin sin

cos

.

Thế vào (1) ta được :

2

1 1

2 1= + ⇒ 1= π +

I e

I

http://kinhhoa.violet.vn

dx x dv

dx du x

u

tan cos

ln 4 tan

tan

4 0

4 0 4

0

2

π π π

x xdx

x x dx x

x I

dv

dx

x x

du x

Vậy : I ( )x dx x ( )x ( )x dx (e ) J

e e e

+ +

−

= +

=

= ∫cos ln cos ln ∫sin ln 1

1

1 1

π π π

dv

dx

x x

du x

1

1 1

3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I

I

e e e

1

e

dx x x

e

dx x I

I h) ∗ =∫2 ++

0

7

cos 1

sin 1

π

dx e x

x

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính =∫ ( )

b

a

dx x f

I ta đi xét dấu f( )x trên đoạn [a, b], khử trị tuyệt đối

Muốn tính =∫b [ ( ) ( )]

a

dx x g x f

I max , ta đi xét dấu f( )x −g( )x trên đoạn [a, b]

Muốn tính =∫b [ ( ) ( )]

a

dx x g x f

I min , ta đi xét dấu f( )x −g( )x trên đoạn [a, b]

1

2 4

2 2

1 4

1

2 2

2 2

0 2 2

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx a x x

I a

Nếu 0 <a< 1

http://kinhhoa.violet.vn

4 3

3 3

3

2

1

3 2 1

0

3 2

− +

0

2 2 3

1 3 2 3

2

3 2 1

3 2

− +

1

1 2

3

a ax

x dx ax x dx

a x x

1 1

0 2 2

max

3

1

3 1

0

2 3

1 2 1

0 3

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel Dạng 1: ∫R(x, ax2 +bx+c)dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

∆−=

+ +

a

c bx

c bx ax a

R

b ax t

a

c bx ax a

R

b ax

bx ax x

= + +

−

= + +

>

±

= + +

0

;

2 2

a t

x a c bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

∫  m ++ 

d cx

b ax

b ax

Tính : =∫ (x2 +4x+ 7)3

dx I

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

2

cos 3

1 1 tan 3 3

1 tan 3

http://kinhhoa.violet.vn

C x x

x C

t

t C

+ +

+

= + +

= +

=

7 4

2 3

1 1 3

1 sin

3

1

2 2

x x

dx I

+

3 1

2

1 3 2

1 4

3 2 1

t

dt t

t x

xdx x

x

xdx

C x

x x

x

x

C t

t t

dt t

t I

+

=

+ + +

− +

= +

−

= ∫+

=

1 2

1 ln 2

1 1

1 ln

2

1 1 2

3 1

1 3

2

1

2 2

2 2

t t

dt x

+

+

−

= +

2 1

2

C

x C

1 1

−

= +

= + + +

1 1 6

6 1

dt t x

x

dx I

C x

x x

x

C t

t t t

+ + +

− + + +

− +

=

+ +

− +

−

=

1 1 ln 6 1 6 1 3 1

2

1 ln 6 6 3 2

6 6

3

2 3

= +

− +

= + + +

x

x dx

x dx

x

x x x

2

1 2

1 1

1 1

2 1

( )1

1 2

1 2

1

dx x

x x

t

x x

x

2 2

1

2 1

1 1

=

Vậy : (t ) OK

dt t dx

x

x

x

x t

=

−

−

= +

1 2

t x t

x

2 2

2

2

9 2

x x

x

C t t t

dt t t t

dt t

t dt

t

t t

t t

t I

−

− +

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

2 1

9 4

6561 9

ln 162 4

9 16

1

4

6561 ln

162 4 16

1 6561

162 16

1

81 16

1 4

9 2

9

2 9

t

t dx t

t x t

x

2 2

2

2

4 2

x x

x

C t t t

dt t t

t

dt t

t dt t

t t

t t

− +

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

2

4

64 4

ln 36 4

4

64 ln 36 4

256 36

16 4

4 2

4

1 x dx x

2 1

dx x

1

http://kinhhoa.violet.vn

0 2

1

π

t x

t x

0

2 0

1 2

cos 1 8

1 cos

4

π π

2

3

t x

t x

−

−

3 2 2 3

2 2 8

3

2

1

2 1

2

dt t

t

tdt dx

x x

dx I

Bạn đọc tự làm :

1

2 1

d)I =∫ +x2dx

4 1 d) ∗ =∫ −+ −− dx

x

x I

1 1

1 1

1

2 6

+ +

1 ln 1

1 ln

≤∫ dx x

x

c)∫1( + + − ) ≤

0

2 1

1 1

1 1

1

1

2 2 2

x

x x

f

x

x x

f

Ta có :

( ) ( )

1 1

f f

Vậy :

[ ]

2

1 1

5 2

2

1 1

5 2

2 , 1 2

1 1 5

2

2 1 2

2 1

2 1 2 2

1 2

≤ +

≤

⇒

≤ +

x

dx dx

x

x dx

x x

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

2 1

1 1 1 1

Chứng minh rằng :

e

dx x

x

e x

12 1

sin

3 1 2

π

<

+

∫ −Bài làm :

http://kinhhoa.violet.vn

[ ] x e e

1 3

1

1 1

sin

dx x

e

dx x

t x

π

≤ +

≤∫ dx x b)

2

1 sin

x

c)

8

2 4

6

3

6

3 2

π π

2 1

0

.g x dx f x dx g x dx x

x

e x

2)Tính thể tích :

• Nếu diện tích S( )x của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ ,

là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể được tính :

( )x dx f V

y

b x a

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay Lúc đó thể tích được tính :

( )

[f x ] dx V

i i

x x

1

n

i f n

n

i n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y=f( )x thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

( )y dx l

b

a

= 1 2 với a, b là hoành độ các điểm đầu cung

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân

http://kinhhoa.violet.vn

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬPTính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường tròn có dạng :

2 2 2

4Đặt : x=Rsint ⇒ dx=Rcostdt

t x

t x

Vậy :

(dvdt)

R t

x R

dt t R

tdt R t R

S

2 2

0 2

2

0 2 2

0

2 2

2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 cos sin

4

π π

π π

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol y=x2 , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và hệ số góc là k Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất

1

4 2

3 4

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

2

2 3 2

2

1 2

−

=∫

k x

x k x

x x x x

x

x k x

k x dx x x

k S

4 4

4

4

2 1 2

2 1

2 2 2 2 1 2

1 2

1 2

k k x x x

x x x

k x x

k x x

Thế vào ( ) * ta được :

( 4 16)

16 4 6

1

4 2

1 4 4 3

1 16 4

2 2

2 2

2

+

− +

k k

k k k

≥ +

−

= +

−

Vậy : minS = 4 3 khi k= 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2 2

2

a

x ay

ay xy x a

n ax a

x

ay

yx

0 0

2

Với x+y+a= 0 ta được :

() ()

xay

aaxx a

xay

ayx

0 0

0 0

0

2

2 2

22

2

a a

x y

ax y

a

xay

yax

Vậy diện tích cần tính là :

a a

x x a

dx a

x x a dx

a

x ax S

a

a a

2

0

3 2 3

0

2 2 1

0

2

3

1 3

2

y

x y

x y

=

y

y x

y x

0 ,

1

2

2 2 2

b a b

y a

5 5

.

1

3 2 1

n n

0 =x0 <x1 <x2 < x n−1 <x n = và chiều dài phân hoạch l=x i −x i−1 =1nChọn ξi =x i = n i ta có ( ) ( ) 5

1 1

i

6

1 lim

+ +

+ +

3

1 2

1 1 1Tính limn S→n∞.

+ +

+ +

1 3

1 1 2

1 1

n n

Ta lập phân hoạch đều trên [0 , 1] với các điểm chia :

1

0 =x0 <x1 <x2 < x n−1 <x n = và chiều dài phân hoạch l=x i −x i−1 =1n

1 lim

1 1

1

n

i n f

x

i

n i

i i i

2 ln 1 ln 1 lim

0 1

0 0

= +

= +

S

n n

l n