PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ... Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.. ● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.. ● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình..
Trang 1Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương trình mũ cơ bản cĩ dạng : a x =m, trong đĩ a > 0, a ≠ 1 và m là sốđã cho.
● Nếu m≤0, thì phương trình ax = m vơ nghiệm
● Nếu m>0, thì phương trình ax = m cĩ nghiệm duy nhất x =logam
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) 5x 1+ +6.5x −3.5x 1− =52 2) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x+5x 1+ +5x 2+
3) x x 1
3 + −2.3 − =25
5) x 1 x 2 x x 2
3.2 + +2.5 − = +5 2 − 6)
x 3x 1
0
−
− =
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình logarit cơ bản cĩ dạng : loga x = m, m là số đã cho
● ðiều kiện : 0
x a
<
< ≠
● Phương trình cĩ nghiệm : m
x=a
Bài 2 Giải các phương trình sau :
log x − −3 log 6x 10− + =1 0
3) log x 15( + )+log 2x 5( − =) 2 4) ( x 1 )
2
log 2 + − =5 x
5) 2 2( )( )
x 1
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Sử dụng cơng thức : a α = a β ⇔ α β =
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x
3
3
−
+
=
x 1 2x 1
4.9 − =3 2 +
MŨ – LOGARIT
Trang 2trang 2
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
b c
> >
Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) ( 2 ) ( 2 )
log x +3x+ +2 log x +7x 12+ = +3 log 3
2) ( )
x 3
1
log + 2
3) ( 2 )2
−
4) ( 2 ) ( )2
log x − −1 log x 1− =log x−2
5) ( )2 ( )3
log x 1+ + =2 log 4 x− +log 4+x
6) ( ) ( )8 ( )
2
DẠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương trình dạng : α a2x+ β ax+ = γ 0
● ðặt : t=a x >0
● Khi đĩ ta được phương trình bậc hai : α t2+ + = β γ t 0
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1) 4x+ x2−2−5.2x 1− + x2−2 − =6 0
2) 3 2cos x 1 cos x
4+ −7.4+ − =2 0
3) 23x 83x 6 2x 1x 1 0
Phương trình dạng : α.a x+β.a−x+ =γ 0
● ðặt : t = ax >0 Suy ra : x 1 1 0
x a
− = = >
t
α β+ + =γ ⇔ α + + =γ β
Trang 3Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) ( ) (x ) (x )x
26 15 3+ +2 7+4 3 −2 2− 3 =1 2) 9sin x2 +9cos x2 =10
Phương trình dạng : α.a x+β.b x+ =γ 0 Với a b = 1
● ðặt : t = ax >0 Suy ra : b x 1
t
=
t
α β+ + =γ ⇔ α + + =γ β
Bài 3 Giải các phương trình sau :
1) ( ) (x )x
2− 3 + +2 3 =4
2) ( ) (x )x
4− 15 + 4+ 15 =8 Phương trình dạng : α.a2x+β.( )ab x+γb2x =0
● Chia hai vế phương trình cho : a2x ( hoặc b2x)
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai :
2
0
α β γ
x b t a
= >
Bài 4 Giải các phương trình sau :
1) 15.25x2 −34.15x2+15.9x2 =0
2)
6.9 −13.6 +6.4 =0
3) 27x +12x =2.8x
Phương trình dạng : . f x( ) . g x( ) h x( )
a
α + β − = αβ Với h x( )= f x( ) ( )+g x
● ðặt :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
0 0
f x
u a
v a
+
= >
Trang 4trang 4
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : α u + β v uv − = αβ ⇔ ( α − v u ) = β α ( − v )
v
β
=
Bài 5 Giải các phương trình sau :
1) x2 x x2 x 2x
2 + −4.2 − −2 + =4 0 2) 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5 =42x2+ +3x 7+1
3) 2 2 ( ) 2
x 1
x x 1 x
4 + +2− =2 + +1 4) 8.3x+ 3.2x =24 6+ x
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình có chứa : loga x , logk a x, logx a
● ðặt : t=loga x Suy ra : , 1
logk k log
x a t x a
t
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) log 3 log xx 3 log x3 log3 x 1
2
3
4
1 log x
−
3) log2(x 1+ =) logx 1+ 16 4) ( x 1 ) ( x )
log 4 + +4 log 4 + =1 3
5) log x.log (4x )22 x 2 =12 6) ( ) 2
log 125x log x=1 Phương trình dạng : loga( logbx ) = logb( logax )
● ðặt : loga( logb x ) = logb( loga x ) = A
● Khi ñó : ( )
( ) ( )
1 2
log log log
A A
a a
b
x b
⇔
=
log log
A A
A
b a
a b
x a
x b
= =
1
log
a
x
A
a
b
a
b
● Từ (1) suy ra :
log log
.
b
a b
a A
Trang 5Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 2 Giải các phương trình sau :
1) log2x=log x3 2) log2(log3x)=log3(log2x)
3) log x7 =log ( x3 +2) 4) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2
Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x
Bài 3 Giải các phương trình sau :
1) ( 2 ) ( 2 )
log x− x − +1 3log x+ x − =1 2 2) 32 lgx− = −1 lgx 1−
3 log+ x −4x+ +5 2 5 log− x −4x+5 =6
DẠNG 4 PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 : ( )
( )
log
f x
a
< ≠ >
= ⇔
=
● Dạng 2 : f x( ) g x( ) log f x( ) log g x( ) ( ) ( ) .lo g
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1) log x 2 4 3 log x 1 ( 4 )
+ + =
−
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1) 6 log 5 x 5
x =1000x
3) 23x =32x 3) 2x2−2x.3x =1, 5
5) 5 3x x2 =1 6)
x
x x 2
3 8 + =6
DẠNG 5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Phương pháp : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
Ta thường sử dụng các tính chất sau :
Trang 6trang 6
● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng ( ) a b ; thì phương trình :
( )
f x = C có không quá một nghiệm trong khoảng ( ) a b Do ; ñó nếu tồn tại x0∈ ( ) a b ; sao cho f x ( )0 = C thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình : f x ( ) = C
● Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng ( )a b; và hàm g là hàm một hàm giảm
trong khoảng ( )a b thì phương trình ; f x( )= g x( ) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng ( )a b Do ñó nếu tồn tại ; x0∈( )a b; sao cho f x( )0 =g x( )0 thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình : f x( )=g x( )
Bài 1 Giải các phương trình sau :
1) 3x+4x =5x
2) x x
4 − =3 1
3) ( ) (x )x
x
2− 3 + +2 3 =4
Bài 2 Giải các phương trình sau :
3
2 = −2 log x
3) x
x+2.3 =3
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) log x 2 3log x 8
4 + + +2 =4+ + +2 + −
3) ( 2 ) ( 2 )
log x +5x+ +6 log x +9x+20 = +1 log 8 4) log x2 −log4(x 3− =) 2
5) ( ) ( 2 )
4
2 log 2x log x 2x 1
3
7) 2 2
x
1 log+ 9 − =6 log 4.3 −6
9) ( )2 ( )3 ( )3
3
log 4x log x
log 2x =log 8x
11) x( ) 1( )
x
log cos x sin x− +log cos x+cos 2x =0 12) log5x 5 log x25 1
Trang 7Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
13)
2
2
2 1
2
3
2
log x 1
2 log x 1
log 2.log 2=log 2
15) ( )2 ( )3
1
3
2 3x
27 x
16 log x 3log− x =0
17) 4{ 3 2( 2 ) }
1 log 2log 1 log 1 3log x
2
log x+2 log x 1− +log 6=0
19) ( ) ( )3
2
2
log x 1 log+ − 3 x− −log x 1− =0 20) log 2 2 logx + 2x4= log 2x8
21) 2 3 1
2
3
2x 1
log + 4 2
log 8 log x+ log 2x =0
25) ( 2 ) ( )2
log − 2x + − +x 1 log + 2x 1− =4 26) 2 1
2
2 log 2x+ +2 log 9x 1 1− =
27) ( x x )
1
4.2 3
log log x +log log x − =2 0
29) 2 ( )2
2
log 2x 3x 1 log x 1
log x 1− +log 2x 1− =2
31) ( ) ( )2
2
lg x−lgxlog 4x +2log x=0
33) ( )2 ( 2 )
log x x 1− +log xlog x − − =x 2 0 34) 4 3 2
lg x+lg x−2lg x 9lgx 9− − =0
35) 2
log x−log x+log x−log xlog x=0 36) 3( ) 1( )
3
2log 4x 3− +log 2x+ =3 2
- HẾT -
Trang 8trang 1
DẠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● 0< <a 1
( ) ( ) ( ) ( )
● a>1
g x
f x
Ví dụ 1 Giải bất phương trình : 2
x x 1
x 2x 1 3
3
− −
≥
x 2x 0
x 2
≤
≥
- Bất phương trình ⇔ 3 x2−2x ≥3x x 1− − ⇔ x2−2x ≥ − −x x 1 (1)
+ Nếu x≤0 thì x 1− = −1 x, khi đĩ ( ) 2
1 ⇔ x −2x ≥2x 1− (luơng đúng vì x≤0)
+ Nếu x≥2 thì x 1− = −x 1, khi đĩ ( ) 2 2
1 ⇔ x −2x≥ ⇔1 x −2x 1 0 − ≥
( )
x 1 2 loai
x 1 2 chon
⇔
≥ +
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −∞( ; 0]∪ +1 2;+∞)
Ví dụ 2. Giải bất phương trình : ( ) 2
log x log x
3 +x ≤6
- ðiều kiện : x>0
- Ta cĩ : ( ) 2 ( ) 3
log x log x log x
- Khi đĩ bất phương trình log x 3 log x 3 log x 3 ( log x 3 )
1 log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3
3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1;3
3
=
CHUYÊN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Trang 9Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
BÀI TẬP
1) 3
x 2
log
x
−
( )
2 log2x 1
3 1
2 3
x log log 2 3
2
1
1 3
−
≥
3)
log x
log x log x
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● 0< <a 1
log log 0 log log 0
≥ ⇔ < ≤ (nghịch biến)
● a>1
Ví dụ Giải bất phương trình : 1 2
3
1 2x
1 x
+
>
2
> >
< <
x 0
< − ∨ >
> −
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=(0;+∞)
BÀI TẬP
1)
2 0,7 6
x 4
+
4
log log x+ 2x −x <0
1
2
− + + − > − 4) log3 2x 3 1
1 x
−
<
5) ( x ) ( x 2 )
log 4 +144 −4 log 2 1 log< + 2 − +1 6) ( x x)
2
log 7.10 −5.25 >2x 1+
7) 25( ) 5 1( )
5
1
2x 1 1
− −
8) log 64 log 162x + x2 ≥3
Trang 10trang 3
Bất phương trình dạng : log ( ) ( )
x
f g x > a , ta xét hai trường hợp của cơ số :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
1
a
a
x
f
g x
g x
f x
f x
<
<
<
>
>
< <
> ⇔
Ví dụ Giải bất phương trình : ( 2 )
x
log 5x −8x+ >3 2
- Bpt
2
2
0 x 1
x 1
< < < <
− + < − + < < <
⇔ ⇔ < ∨ > ⇔ < ∨ > ⇔
− + >
− + >
< ∨ >
2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1 3; 3;
= ∪ +∞
BÀI TẬP
1) log3x x− 2(3 x− )>1 2) logx 1+ (−2x)>2
3) logx x 1 2
4
− ≥
log log 9 −72 ≤1
5) ( 2 )
x 3
2 2 2
log x 9x 8
2 log 3 x
− +
<
−
7) ( 2 )
log x 3x 2
2 log x log 2
− +
>
3 a
a
log 35 x
3
log 5 x
−
>
−
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1 Giải bất phương trình :
x x 2
2.3 2
1
+
- ðiều kiện : x x
3 −2 ≠ ⇔ ≠0 x 0
Trang 11Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
- Chia cả tử và mẫu cho x
2 , ta ñược :
x
x x 2
x
x x
3
1 2
+
−
−
(*)
2
= < ≠
- Khi ñó (*) trở thành 2t 4 1 0 t 3 0 1 t 3
− − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ < ≤
- Với
x
3 2
3
2
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S 0; log 3
Ví dụ 2. Giải bất phương trình : 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 − − − −4.5 − <5+ −
u=5 − 0, v> =5 − >0
4u 5v u 4uv 5v vi v 0
u 4uv 5v 0 u v u 5v 0 u 5v 0 u 5v
⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ <
x 5 1 3 x 2
5 − 5+ − x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
- Bpt (*)
x 2 0
2 x 6
x 6 0
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
⇔ − ≥
− > − − + < < <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=[2;18)
Ví dụ 3 Giải bất phương trình : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤2 0
- Ta có : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤ ⇔2 0 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− + −2 1 2− ≤2 0
( 2 ) ( 2 )
2 x 2 x 1 x 2 x 1
2 − − 4.2− − − 2 0
- ðặt : t =2x2− −2 x 1, t >0
t
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2
- Với t≤2 ⇔ 2x2− −2x 1 ≤2 ⇔ x2 −2x 1 1 − ≤ ⇔ x2 −2x− ≤2 0 ⇔ − 1 3≤ ≤ +x 1 3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −1 3;1+ 3
Trang 12trang 5
Ví dụ 4 Giải bất phương trình : 32x 1+ −22x 1+ −5.6x ≤0
- Ta có :
- ðặt :
x
3
2
= >
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn : 0< ≤t 2
- Với
x
3 2
2 x log 2 2
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S ; log 2
= −∞
BÀI TẬP
1) 8 2+ 1 x+ −4x +21 x+ >5 2)
1
+
+ >
3) 2.14x+3.49x−4x ≥0 4) 32x−8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ ≥0
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 1. Giải bất phương trình : ( 2)
log 8 log x+ log 2x ≥0
- ðiều kiện : 0< ≠x 1
- ðặt : t=log x2
t 0
≤ −
2
1 log x 1
2
x 1
≤ −
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1
< ≤
>
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 ( )
2
= ∪ +∞
Trang 13Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 6
Ví dụ 2 Giải bất phương trình : 4( ) 2 3 2 ( )
− + <
- ðiều kiện : x>0
3
2
2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
log x 3log x 3 9 5 2 log x 4 log x
- ðặt : t=log x2
2
3 log x 2
t 13t 36 0 4 t 9
− < < −
− < < −
− + < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
x
4 x 8
< <
⇔
< <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 1 ( )
8 4
= ∪
BÀI TẬP
1+ log 2x +3x+2 >log 2x +3x+2 2) ( ) x
x
log 3 + +2 2.log + 2 3− >0
DẠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Dạng : loga u<logb v, ta thường giải như sau : ðặt t=loga u ( hoặc t=logb v) để đưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số
Ví dụ : Giải bất phương trình : log5(3+ x)>log x4
- ðiều kiện : x>0
4
t=log x ⇔ = x 4
5
+ > ⇔ + > ⇔ + >
- Hàm số ( ) 1 t 2 t
x 3
= +
nghịch biến trên ℝ và f ( )1 =1
- Bpt (*)⇔ f( )t > f ( )1 ⇔ < t 1
- Với t< ⇔1 log x4 < ⇔ < <1 0 x 4
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )0; 4
Trang 14trang 7
loga u > logb v , ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của loga u và log b v trong tập xác ñịnh của phương trình
● Trong TXð, nếu loga u và log b v cùng dấu thì : 1 1 og og
loga u > logb v ⇔ l a u<l b v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
log x 1 >log 3 2x
- ðiều kiện :
2 3
x 0;1 2
− < ≠
< − ≠ ≠ <
● log2(x + 1)> ⇔ + > ⇔ >0 x 1 1 x 0
● log2(3 2x− )> ⇔ −0 3 2x> ⇔ <1 x 1
- Ta có bảng xét dấu :
- Từ ñó ta có các trường hợp sau :
1) Với 1− < <x 0 thì VT<0, VP>0, suy ra bpt vô nghiệm
2) Với 0< <x 1 thì VT>0, VP>0 Khi ñó bpt ⇔ log2(x 1+ <) log2(3 2x− )
2
3 2x x 1 x
3
⇔ − > + ⇔ <
3) Với 1 x 3
2
< < thì VT>0, VP<0, suy ra bpt vô nghiệm
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 0 x 2
3
= < <
BÀI TẬP
1)
2
1 1
3 3
log x 1 log 2x 3x 1>
+
− + 2) log(− −3x 5)4 log− (− −6x 2)16≥0
Dạng : loga u v u loga u u loga v v
v < − ⇔ + < + , ta thường giải như sau : Xét hàm số
f t = t t+ ñồng biến khi t >0, suy ra f u( )< f v( ) ⇔ <u v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
3 2
+ + > − +
u=x + +x 1; v=2x −2x+3 u>0, v>0 Suy ra : v− =u x2−3x+2
Trang 15Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 8
- Bpt trở thành : log3 u v u log u3 log v3 v u log u3 u log v3 v
- Xét hàm số : f ( )t =log t3 +t, ta có : ( ) 1
t ln 3
f = + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi
t>0 Do ñó (*)⇔ f ( )u > f ( )v ⇔ > u v
- Với u> ⇔v x2+ + >x 1 2x2−2x+ ⇔3 x2−3x+ < ⇔ < <2 0 1 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )1; 2
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
Ví dụ : Giải bất phương trình : 2( ) 3
1
x 1
−
- ðiều kiện : x≥2
- Ta có : ● x− + ≥ ⇔2 4 4 log2( x− + ≥ ⇔2 4) 2 VT≥2
x 1
−
1 8 9 log 3 1 8 2 VP 2
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi VT 2 x 2 0 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S={ }2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1)
2 2
2x x
x 2x 1
3
−
− ≤
2) ( ) (x 1 )x 3
− < +
3) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 3
4) 2 ( )
2 2
2
x 3
2 + − < +12 64
5)
1
x
3
>
2
log x+log x − >3 5 log x −3
8) 25( ) 5 1( )
5
1
2x 1 1
− −
- HẾT -