* BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
BÀI 1: Giải bất phương trình: ( ) ( 4 )
2
1
GIẢI : điều kiện: -2 < x ≤ 18
2
1
Đặt t = 418 x − => 2 + x = 20 – t4 , 0 ≤ t < 4 20 Bất phương trình ( 1 ) tương đương:
4
4 4
4
t
t
+ − − ≥
p
p
<=>
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: -2 < x ≤ 2
BÀI 2: Giải bất phương trình: 2
4
1 log x − 4 x + 3 < 4( )
1
GIẢI:
Điều kiện:
2 2
3
4
3 0
3 1
x
x x
x x
− + > >
Bất phương trình đã cho tương đươngvới: ( ) 2
<=> ( )
2
2
log4 x2 − 4 x + 3 > 0 <=> x < 2 - 2 V x > 2 + 2
log4 ( x – 3 ) > 0 <=> x > 4
* Ta xét các trường hợp:
TH 1: x > 4, bpt ( 1 ) <=> log4 x2 − 4 x + 3 > log4 ( x – 3 )
<=> x2 − 4 x + 3 > x – 3 <=> x2 – 4x + 3 > ( x – 3 )2 <=> x > 3 => ta nhận các nghiệm
x > 4
TH 2: 2 + 2 < x < 4, log4 x2− 4 x + 3 > 0 và log4 ( x – 3 ) < 0 => bpt vô nghiệm
Trang 2TH 3: 3 < x < 2 + 2, bpt ( 1 ) <=> log4 x2− 4 x + 3 > log4 ( x – 3 )
<=> x2 − 4 x + 3 > ( x – 3 ) <=> x2 – 4x + 3 > ( x – 3 )2 <=> x > 3, đúng với mọi x thuộc ( 3; 2 + 2)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = ( 3; 2 + 2) U ( 4; + ∞)
BÀI 3: Giải bất phương trình: ( 2 ) ( 2 )
GIẢI:
<=>
5
5
1
2 5
5
2 5 2
2
−
+ < −
+ > −
2
2
1 5
1
x
x
x
x
− >
+ < − ⇔ + < − ⇔ <
− ≤
≥
+ > − ⇔ − > ⇔ < < ⇔ >
+ > −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( 0; 12
5 )
Trang 3BÀI 4: Giải bất phương trình: 2 ( )
1 1
3 3
+
GIẢI: Điều kiện:
2 2
1
2
3 1
1 0
2
2
x
x x
x
x
− + >
+ > < <
2 2
1
2 3
1
3
1 0
3
2
1 0
1 1
x
x
x
− + <
+ >
+ > ⇔ + < ⇔ − < <
Ta xét các trường hợp:
TH 1: -1 < x < 0, bất phương trịnh vô nghiệm vì VT ( 1 ) < 0, VP ( 1 ) > 0
TH 2: 0 < x < 1
2 V 1 <x <
3
2 bấtphương trình nghiệm đúng vì VT ( 1 ) > 0, VP ( 1 ) < 0
TH 3: x > 3
2, bất phương trình ( 1 ) tương đương:
2
2
2
2
<=> x2 -5x > 0 <=> x < 0 V x > 5, kết hợp với điều kiện x > 3
2 ta được: x > 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (0; 1 ) (1; ) 3 ( 5; )
Trang 4BÀI 5: Giải bất phương trình: ( )2 ( )3
2
0
>
GIẢI: ĐK: 2 1 0 1
+ > > −
⇔
3 3
3
3 3
3
log 4
6
x x
x
x
do x x
+
+
−
x – 6 > 0 <=> x > 6; log3(x + 1) > 0 <=> x + 1 > 1 <=> x > 0, ta xét các trường hợp:
* -1 < x < 0 => x – 6 < 0 và log3(x + 1) < 0 => bpt vô nghiệm
* 0 < x < 6 => x – 6 < 0 và log3(x + 1) > 0 => bpt nghiệm đúng
* x > 6 => x – 6 > 0 và log3(x + 1) > 0 => bpt vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của bpt là: S = ( 0; 6 )
BÀI 6: Giải bất phương trình: 2 4 2 1
log
x
x x
≥
GIẢI: ĐK:
1 2 1 2
x x x
>
≠
≠
Với đk này, ta xét các trường hợp:
TH 1: x > 1 và x ≠2, bpt ( 1 ) <=> 4 2
2
x
−
2
2
< < < <
Trang 5TH 2: 1
2 < x < 1, bpt ( 1 ) tương đương với:
2
2
1
2
x
x
− ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ −
−
⇔ + − ≤ ⇔ < ≤ − +
2
BÀI 7: Giải bất phương trình: 22 2
4
x x
− ÷
GIẢI: 22 2
4
x x
− ÷
2
2
Bpt ( 1 )
−
x x
x
−
−
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = 4 4 8 16
Trang 6BÀI 8: Giải bất phương trình: 2 2 ( 2 )
log x − log x − > 3 5 log x − 3
GIẢI: Đặt t = log2x ( t ≠ 3 ), bpt được viết:
2
2
2
3 0
3 0
1
t t
t
t
− − > −
+ ≤
− − > − − + > −
≤ −
⇔ < <
2
x ≤ − ⇔ < ≤ x
Với 3< t < 4, ta có: 3< log2x <4 <=> 8 < x < 16
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( 0; 1 ( 8;16 )
2
U
BÀI 9: Giải bất phương trình: ( )
2
2 log
2
log x x − 10 x + 22 > 0 ( 1 )
GIẢI: ĐK:
2
2
2
x
x x
x x
− + > < < −
< ≠
( * )
Ta xét 2 trường hợp sau:
⇔ < < ⇔ < < <
Bpt ( 1 ) <=> x2 -10x + 22< 1 <=> x2 – 10x + 21 < 0 <=> 3 < x < 7, kết hợp điều kiện ( * ) ta được: 2 < x < 5 - 3
TH 2: x > 5 + 3 => log2 1
2
x >
Bpt ( 1 ) <=> x2 -10x + 22 > 1 <=> x2 -10x + 21 > 0 <=> x < 3 V x > 7, kết hợp điều kiện ( * ) ta được: x > 7
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: 2 < x < 5 - 3 V x > 7
Trang 7BÀI 10: Giải bất phương trình: ( 2 )2 ( )
1
GIẢI: ĐK: 02 1 1 1
< + ≠ > −
x 2 + x – 6 > 0 <=> x < -3 V x > 2
Ta xét 3 trường hợp sau:
TH 1: - 1 < x < 0 => x 2 + x – 6 < 0 và 0 < x + 1 < 1, lúc đó bpt (*)<=>- (x 2 + x – 6) ≤( x +1)2
<=> 2x 2 + 3x – 5≥ 0 <=> x ≤ - 5
2 V x ≥ 1 (VN )
TH 2: 0 < x <2 => x 2 + x – 6 < 0 và x + 1 > 1, , lúc đó bpt (*)<=>- (x 2 + x – 6) ≥ ( x +1)2
<=> 2x 2 + 3x – 5 ≤ 0 <=> - 5
2 ≤ x ≤ 1 => 0 < x ≤ 1
TH 3: x > 2, bpt (*)<=> x 2 + x – 6 ≥ ( x +1)2 <=> x ≤ - 7 ( VN )
Vậy bất phương trình có nghiệm: 0 < x ≤ 1
BÀI 11: Giải bất phương trình: 2
log
x
x
−
HD: Giải tương tự bài 6, với đk: x > 5
4 và x ≠ 2
Nếu: x > 2 => 2 < x ≤ 5
Nếu: 5
4< x <2 => 6 1 − ≤ x < 2
Vậy: 6 1 − ≤ x < 2 V 2 < x ≤ 5
1
GIẢI: ĐK: 22 1 0 0
− ≠ <
⇔
− > >
Bpt ( 1 ) <=> 2 x − ≥ 1 x2 − 2 x ( 2 )
Ta xét 2 trường hợp:
TH 1: x < 0, bpt ( 2 ) <=> - ( 2x – 1 ) ≥ x 2 – 2x <=> -1 ≤ x < 0
TH 2: x > 2, bpt ( 2 ) <=> 2x – 1 ≥ x 2 – 2x <=> x 2 – 4x + 1 ≤ 0 <=> 2 < x ≤ 2 + 3
Vậy bất phương trình có nghiệm: -1 ≤ x < 0 V 2 < x ≤ 2 + 3
Trang 8BÀI 13: Giải bất phương trình:
GIẢI: ĐK: x > 0 và 6 + x – x 2 ≥ 0 => 0 < x ≤ 3 , bpt ( 1 ) tương đương với:
2
2 2
2
1
x
+ − − + > ⇔ + − > −
< ≤
< <
+ − > − − − <
Xét: 0 < x ≤ 1, lúc này: log 2 x ≤ 0 => x log 2 x ≤ 0 => x log 2 x – 5 < 0 => bpt ( 2 ) vô nghiệm Xét: 1 < x ≤3 => 0 < log 2 x ≤ log 2 3
1 < x ≤3
=> x.log 2 x ≤ 3 log 2 3 => x.log 2 x - 5 ≤ log 2 27 – 5 < 0, do đó bpt ( 2 ) tương đương:
2
x
< ≤
+ − − + <
5
2 < x ≤ 3 Vậy bất phương trình có nghiệm: 5
2 < x ≤ 3
BÀI 14: Giải bất phương trình: 2 ( )
1
2
x − x + + x − > x +
HD: đk: x > 3, đưa bpt đã cho về dạng: ( x – 2 ) ( x – 3 ) > 2
3
x x
− + <=> x
2 – 9 > 1 ĐS: x > 10