Chứng minh phương trình xx 1+ =x 1+ x có nghiệm dương duy nhất... Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2... BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 27... BẤT ðẲNG THỨC VÀ
Trang 1A BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1 Cho PT log x23 + log x 1 2m 1 0.32 + − − =
a) Giải PT khi m = 2
b) Tìm m ñể PT ñã cho có nghiệm trên 1;3 3
2 Tìm m ñể PT sau có nghiệm
9+ − −(m+2).3+ − +2m 1+ =0
3 Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên (0; 1)
2
2
4 log x−log x+ =m 0
4 Chứng minh phương trình xx 1+ =(x 1)+ x có
nghiệm dương duy nhất
5 Giải các phương trình sau
3
2
8
2
2 (3x) (27x )
5 2
x 2x 1 x
1) log (x 3) log (x 1) log 4x
2) 16 log x 3log x 0
3) 2 2 3 4) log (5 4) 1 x
ln x 5) f '(x) 0 khi f (x) 6) 2 3 1
x
8)
3
2
2
2 4.2 2 4 0 9) 3 4 5
10) log 2 2 log 4 log 8
11) 4 2 2(2 1) sin(2 y 1) 2 0
1 12) 2(log x 1) log x log 0
4 13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0
14) 9 10.3 1 0 15)
+
x x
2 co
3 2 1
16) 4 2.4 4 0 17) 3 4.3 3
18) 1 log (9 6) log (4.3 6)
19) log (x 8) log (x 26) 2 0
20) 125 50 2 21) 8 18 2.27
22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1
23) 6.9
+
+
=
2
s x cos x 1 2 cos x cos x 1
2 cos x cos x 1
13.6 6.4 0
2
2
x x 2x 1
24) 3 2 3x 2 25) 3 5 6x 2
26) ln(2x 3) ln(4 x ) l n(2x 3) ln(4 x ) 27) log x 14.log x 40.log x 0
28) log (x 5x 6) log log (x 3)
29) log (4 4) x log (2 3)
30) 9 6 2
+ +
−
2
x x x x 2
2
2
2
2 2
x
1 log x 1 log x
1 log x 1 log x 32) log (125x).log x 1
1 34) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) 2
35) log (e 2) log (e 3) 3
36) log (x 1) 6 log x 1 2 0
3 37) log 3 4
=
−
2x 1
3.log x 2 log x
1 38) log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
41) log (2x x 1) log (2x 1) 4
42) 3.8 4.12 18 2.27 0
log 4 2 44)
+
=
−
2
3
2
x 3
2
log (x 1) log (2x 1) 2
4 45) (2 log x) log 3 1
1 log x 46) e e 2 ln(x 1 x )
2 1 47) log 1 x 2 48) e tan x
| x | 49) 2 7.2 7.2 2 0
50) 3 log (9x )
51) 2 log 2x 2 log (9x 1
−
π
− +
−
+ + − )=log3x 1− (3x 1).−
Trang 22
5 log (3x)
log (2x) log 6 log (4x )
3
52) 5.3 7.3 1 6.3 9 0
53) 12.3 3.15 5 20 54) x 36 x 0
55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4
57) log x 2log x 2 l og x.log x
58) log
+
2
2 2
2
2
x x 3
2x 4x 5
59) log x log x log x log x
60) (log 2x log 2x ) log x
(log log ) log x 2
61) log (x x 1).log (x x 1)
2 20
3
log x log 3
log (x x 1)
62) log (9 5.3 ) 4 63) log (log (9 6)) 1
64) 3 2 9 2 0 65) 3 2 3
66) log (9 4.3 2) 3x 1
67) 6.4 13.6 6.9 0 68) 27 x 30
68
+
+
( 6 35 ) ( 6 35 )
) log (2 4) x log (2 12) 3
69) ( 3 8 ) ( 3 8 ) 6 70) 3.4 2.9 5.6
6 Cho phương trình
2
(x 1).log (x+ + −3) 2m 2x+2.log (x+ + + =3) m 1 0
a) Giải phương trình khi m = -1
b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên [ ]−1;1
7 Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy
nhất: m( 5 1)+ x+(m+2)( 5 1)− x =(2m 1).2 + x
8 Cho phương trình 4x −4m.(2x− =1) 0
a) Giải PT khi m = 1
b) Tìm m ñể PT có 2 nghiệm trái dấu
9 Chứng minh PT 4 (4xx 2+ =1) 1 có ñúng 3 nghiệm
thực phân biệt
10 Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên [32;+∞):
2 log x+log x − =3 m(log x −3)
11 Gải biện luận theo m phương trình
x 2mx 2 2x 4mx m 2 2
a) 5 + + −5 + + + =x +2mx+m
2
b) log m log m log m 0
12 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2<x1≤x2 <4 :
2
(m 1) log (x− − −2) (m 5) log (x− − + − =2) m 1 0
13 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2
thoả mãn x12+x22 >1:
2
2 log (2x − +x 2m 4m ) log (x− + +mx−2m )=0
14 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
log + (x +mx+ + +m 1) log − x=0
15 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
(m 1).4+ +(3m 2).2− + −3m 1+ =0
B BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
16 Giải các bất phương trình
log x log x
x
1) log (4 4) log (2 3.2 ) 2) log x log 3
3) 15.2 1 2 1 2 4) log x log (x 1) 5) log x 2.log (x 1) log 6 0 6) log ( 2x) 2
7) f '(x) 0 khi f (x) x log 2 8) 2x 2 9
+
+
3 2
4
) log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1)
10) 8 2 4 2 5 11) 5 5 24 12) log x 4 log x 2(4 log x )
13) log x log x 0 14) 25 15 2.9 15) log (2 1) log (2 2) 2
16) log log
−
+ π
2
2 2
x 1
x 2x
x x
x x x x 2
(x 2x x ) 0
x 2
log x log (2x 1)
log (2x 1) log x 23) 8 3.2 16 0 24)
−
−
−
−
+
+
2
log (2 − − ≤ −1) x 1
Trang 35
x 1 2
1
2
x
3
3 2
x
25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0
x 3x 2
26) log 0 27) ( 5 2) ( 5 2)
x
2x 3 28) log (log (9 72)) 1 29) log (log ) 0
x 1 30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2
31) ln ln(x x 1) 0 32) log (
2
−
+
+
+ − − + >
2
5
2
3 2x 4x 2 2x x 1
2
x x 2 log x log x
x x
x 2 ) 1
x 2
33) log 2x 3x 1 log (x 1)
34) 3 2 5.6 0 35) log (3x) log x 11
37) (log 8 log x ).log 2x 0
2.3 2
3 2 40)
+
+ >
+
−
−
2
2
2 3
2
2 x 1 x x x 2 3
x log (log ( 2log x 1) 3)
2
2 x
logx.(log x log x 3) 0
41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0
1
3 1
3
x x 44) log (log (3 9)) 1 45) log log 0
x 4 46) x 8.e x(x
+ − +
−
+ >
≥
+
− >
2
x 1
2
x 2x x x 2x x 1
x
2 0,5
.e 8)
47) log ( x 3 x 1) 2log x 0
48) 3x 5x 2 2x
3 2x 3x 5x 2 (2x) 3
49) ( ) 3.( ) 12 50) x 32
31 52) log log (2
16
−
−
x 2
) 2 53)log (2x) 1
54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0
17 Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x:
2 m
a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0
b) log (x 2x m 1) 0
+
− + + >
18 Cho bất PT m.4x+(m 1).2− x 2+ + − >m 1 0 a) Giải bất phương trình khi m 5
6
=
b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x
19 Giải biện luận theo m bất phương trình
2 1 2
1 a) log (log x) log (log x) log 2
2 b) log (x mx 1) 1
+ + <
20 Tìm m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với
∀ ∈ −∞ ∪ +∞
m.4 − +(m 1).10+ − −25+ − >0
21 Cho bất PT m.9x+4(m 1).3− x+ >m 1
a) Giải BPT khi m = 2
b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x
22 Tìm tập xác ñịnh của hàm số
2 5
2
a) y 1 log (x 5.x 2)
b) y log (x 2).log 2 2
:
−
23 Tìm m ñể hệ
3
x 1 3x m 0
log x log (x 1) 1
− − − <
có nghiệm
24 Tìm m ñể bất PT sau nghiệm ñúng với mọi x≤0 :
m.2 + +(2m 1).(3+ − 5) + +(3 5) <0
25 Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm
log − (x − >1) log − (x + −x 2)
26 Tìm x > 1 ñể BPT 2
2(x x) m log + (x m 1) 1+ − < nghiệm
ñúng với mọi 0 m< ≤4
C BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
27 Chứng minh với mọi a > 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất
e e ln(1 x) ln(1 y)
y x a
− =
28 Chứng minh HPT sau có nghiệm dương duy nhất
x
2
y
2
y
e 2007
y 1 x
e 2007
x 1
−
−
Trang 429 Giải các hệ phương trình
x x 1
x
− +
−
x
x y
y
log (x 2x 3x 5y) 3
log (y 2y 3y 5x) 3
6 3 12
=
4
1 log (y x) log 1 2 3.2 2 0
y
y 1 x y 1
5 2
2 log y 2 log y 5 3 2 1152
log (x y) 2
4 log y 5
−
+ =
x
log (6x 4y) 2
log (6y 4x) 2 3log (9x ) log y 3
2
ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 5
x y x 1
ln(1 x) ln(1 y) x y
x 12xy 2y 0
2 + 2 − x y
17)
log (3x y) log (3x y) 1
log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1
19)
2x y
log(3x y) log(y x) 4 log 2 0
−
−
20)
2 2 (y x)(xy 2)
ln x ln y (y x)(xy 2011)
2 − 2 − (2x y 1)
22)
x y
e e (log y log x)(xy 1)
23)
2 log (x 16) log (x 16)
3x 1
x 4
+ <
D BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT
30 Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng
3 +3 +3 ≥ 3 +3 +3
31 Cho a, b, c dương và thoả mãn a + b = c CMR: a) Nếu x > 1 thì ax+bx <c x
b) Nếu x < 1 thì ax +bx >c x
32 So sánh hai số eπ và e
π
33 Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, chứng minh rằng
(a +b ) <(a +b )
34 Chứng minh rằng
1
1 sin x cos x 2
3x
1 2sin x tan x 2
2 x
2 x
b) 2 2 2 , x (0; )
2 x
c) e 1 x , x 0
2
x d) e cos x 2 x , x
2
− +
π
> + + ∀ >
ℝ
ℝ
35 Tìm GTLN, NN của hàm số
x a) y=2 trên ñoạn [ ]−1;1 b) y=x ln x trên ñoạn 1;1
e
2
c) f (x)=x −ln(1 2x)− trên ñoạn [−2; 0 ] d) f (x)= −x ln x+3 trên khoảng (0;+∞)
2
ln x e) g(x)
x
= trên ñoạn 1; e3
36 Cho hàm số
2x 1 2x 1
a
f (x)
1 a
−
−
= + với a là hằng số
dương Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt
n
A f ( ) f ( ) f ( )
Chứng minh rằng
2 n
n 2n 2
2
37 Chứng minh rằng
a) a ln b−b ln a >ln a−ln b, với 0 < a < b < 1
b) (2 +2− ) ≤(2 +2− ) , với a≥ >b 0
c) 27 +27 +27 ≥3 + +3 3 , với a + b + c = 0