Phương trình và bất phương trình siêu việtA.. Ph ươ ng trình và bất ph ươ ng trình mũ, lôgarit.. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa.. Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.. 14
Trang 1Phương trình và bất phương trình siêu việt
A Ph ươ ng trình và bất ph ươ ng trình mũ, lôgarit.
I Các kiến thức c ơ bản.
1 Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa.
2 Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
3 Các ph ươ ng trình và bất ph ươ ng trình c ơ bản:
Với mọi số dương m thì:
+ a x m x loga m( 0 a 1 );
1 0
log
1 log
a khi m x
a khi m x
m
a
a
a x
Với mọi số th ực m thì:
a xm xa
log
1 0
1 log
a khi a x
a khi a x m
m a
Trường hợp a x m a x m
; log xét tương tự.
II Một số ph ươ ng pháp giải:
1 Ph ươ ng pháp đ ư a về cùng c ơ số :
Bài 1: Giải các phương trình:
1 2 1 5 2 10 2 5
x
x
3
1 log ) 1 2
(
log
3 1
3
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1 log ( 4 144 ) 4 log 2 4 log ( 2 2 1 )
5 5
1
) 2 5 ( ) 2
5
x
L
ư u ý: Cần nhớ:
+ a f(x) a g(x) f(x) g(x);
+ loga f(x) loga g(x) f(x) g(x) 0 ;
1 0
) ( ) (
; 1 )
( ) (
) ( )
(
a khi x g x f
a khi x g x f a
a f x g x
1 0
) ( ) (
; 1 )
( ) ( )
( log ) (
log
a khi x g x f
a khi x g x f x
g x
a
2 Ph ươ ng pháp đặt ẩn số phụ:
Bài 1: Giải các phương trình, và bất phương trình::
1 ( 4 15 )x ( 4 15 )x 62
2
4 2
log
6
x
x
3 3 49x 2 14x 4x 0
L
ư u ý: Mục đích của phương pháp đặt ẩn số phụ là chuyển các bài toán đã cho về phương trình hoặc bất phương trình đẫ biết cách giải.
Trang 2+ Dạng a b f x a b f x c
) ) ( ) ) ( (hoặc > c) với (a b)(a b) m ( m là hằng số) ta nên dặt t (a b)f(x)
+ Dạng a.u2f(x) b(uv)f(x) c.v2f(x) 0 thì nên chia cho v2f(x)rồi đặt
)
( x f
v
u
+ Dạng a.f(x)2+b.f(x)+c=0 (hoặc >0) với f(x)=mg(x) hoặc f(x)=logmg(x) ta đặt t=f(x) để đưa phương trình hoặc bất phương trình bậc hai ẩn t
3 Ph ươ ng pháp lôgarit hoá:
L
ư u ý: Phương pháp lôgarit hoá có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tíchcác luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ Cần nhớ:
+ ( ) ( ) log ( 0 1 , 0 )
b f x b a b
a x
f a x
g x
Bài 1: Giải các phương trình:
1 2 2 4 3 2
x
x
2 3 .8x 2 6
x x
4 Ph ươ ng pháp sử dụng tính chất của hàm số:
L
ư u ý: nếu PT có nghiệm x 0 , một vế của PT là hàm số đồng biến , vế kia là hàm số nghịch biến hoặc là hàm số hằng thì nghiệm x 0 là duy nhất.
Bài 1: Giải các PT :
5
log 3
3 (ĐS x=1)
2 2 32 1
x
x (ĐS x=2)
5 Hệ ph ươ ng trình mũ và lôgarit:
L
ư u ý: Để giải hệ phương trình mũ và lôgarít ta cũng dùng các phương pháp thế, cộng đại số , phương pháp đặt ẩn số phụ… như hpt đã biết.
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1
18 2 3
12 3 2
y x
y x
(ĐS: (x;y)=(2;1)).
2
3 log
3 ) 9 ( log
3
1 2
1
3 3
2
y x
(ĐS: (1;1), (2;2))
3
9 log
log 10
8 log
3 log
5
4
2 2
4 2
y x
y x
(HD: đặt u=log 2 x; v=log 4 y)
4
2 ) 2 3 ( log
2 ) 2 3 ( log
x y
y x
y
x
(HD: đây là hpt đối xứng loại 2 nên tìm được (x;y)=(5;5))
Bài 2:
Bài tập
1. 2x+4=42x-1
2. 3 3 4 9 2 2
x
3. 7x+2- 71 7x+1-14.7x-1+2.7x=48
Trang 34. 73x+9.52x=52x+9.73x.
5. 9x- 2
1
3
2x -32x-1.
6. 9 2 1 36 9 2 3 3 0
7 10
10
8. 5 .2 1 50
1 2
x
x
x ĐS: x=2; x=log510
9. x2lgx=10x ĐS: x=10; x=10-2
lg 5
1 10 1
ĐS: x=1; x=100
2 4
2 8
x
x x
ĐS: x=1;x=log23 29
12 4 15x4 15x 62 ĐS: x=-2; x=2
13. 25 3.101 21 2 0
2 1 1
x x
x ĐS: x=-1
x x
ĐS: x=3; x=-3
15. 3.16x+2.81x=5.36x ĐS: x=0; x= 21
16. 5x+12x=13x ĐS: x=2
17. 6x-2x=32 ĐS: x=2
18. 3.4x+(3x-10).2x+3-x=0 ĐS: x=1; x=-log23
19. 1+( 3)x=2x ĐS: x=2
20. 9.7x+1= x
8
2 (Tính đơn điệu) ĐS: x=1
21. 2 3 x 2 3 x 2x ĐS: x=2
22. 9x+2(x-2).3x+2x-5=0 ĐS: x=1
23.
B Ph ươ ng trình l ư ợng giác:
I Các kiến thức c ơ bản:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
s in2 + cos2
= 1
1 + tan2 =
2
1 cos
1 +cot 2 =
2
1 sin
tan = sin
cos
cot = cos
sin
tan cot = 1
cos(- ) = cos sin(- ) = - sin tan(-) = - tan cot(-) = - cot
sin(- ) = sin cos(-) = -cos
tan(-) = - tan cot(-) = -cot
Trang 4sin(/2 - ) = cos
cos(/2 - ) = sin
tan(/2 - ) =
cot cot(/2 -)
= tan
sin( +/2 ) = cos
cos( +/2) =- sin tan(+/2)
=- cot
cot( +/2) = -tan
sin( +) = -sin cos( +) = -cos tan( +) = tan cot( +) = cot
sin( +k2) = sin
cos( +k2) = cos tan( +k)
= tan cot( +k
) = tan
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a - b) = sina.cosb – sinb.cosa
tan(a + b) = tan tan
1 tan tan
tan( a - b) = tan tan
1 tan tan
cos2a=cos2a sin2a
=2cos2a -1 = 1 - 2sin2a sin2a = 2sina.cosa tan2a = 2
2 tan
1 tan
a a
cos2a =1 os2a
2
c
sin2a =1 os2a
2
c
tan2a =1 os2a
c c
cosa + cosb = 2cos
2
a b
.cos
2
a b
cosa – cosb = -2sin
2
a b
.sin
2
a b
sina + sinb = 2sin
2
a b
.sin
2
a b
sina – sinb = 2cos
2
a b
.sin
2
a b
tana + tanb = sin( )
cos cos
a b
tana – tanb = sin( )
cos cos
a b
cosa.cosb = 1
2 cos(a b ) cos( a b ) sina.sinb = 1cos( ) cos( )
2 a b a b sina.cosb = 1sin( ) sin( )
2 a b a b
Hệ quả
cosx + sinx = 2cos(x -/4) cosx – sinx = 2cos(x +/4) sinx +cosx = 2sin(x +/4) sinx –cosx = 2sin(x -/4)
Công thức nhân ba
cos3a = 4cos3a –
3cosa sin3a = 3sina – 4sin3a tan3a =
3 2
1 3tan
a
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I Phương trình cơ bản
sinx = a (-1 a 1) cosx = a (-1 a 1) tanx = a (aR) cotx = a (aR)
sinx = sin
2
cosx = cos
x = +k2
tanx = tan
x = +k
cotx = cot
x = +k
II Phương trình lượng giác thường gặp
Trang 51 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng : asin2x +b sinx + c =0
acos2x +bcosx + c = 0
cách giải:
Đặt t = sinx , t = cosx (-1t1)
Dạng : atan2x + btanx + c = 0 acot2x + bcotx + c = 0 cách giải:
Đặt t = tanx , t = cotx ,(tR)
cosx
Dạng : acosx + bsinx = c
cách giải:
+Điều kiện có nghiệm: a2+b2 c2
+Chia cả hai vế cho a2b2 ta có:
a
c
cos(x - ) = 2c 2
a b
(với cos = 2a 2
a b , sin = 2b 2
a b )
Dạng : asin2x +bsinx.cosx +cos2x= d cách giải:
+Xét cosx =0 +Xét cosx0 Chia cả hai vế cho cos2x, đưa về pt bậc hai theo tanx
4.Pt đối xứng đối với sinx và cosx
Dạng : a(sinx +cosx) +bsinx.cosx =c cách giải:
Đặt t =sinx + cosx 2sin(x+/4) (đk - 2 t 2)
Đưa pt về bậc hai theo t Chú ý: Pt phản xứng:
a(sinx - cosx) +bsinx.cosx = c vẩn giải tương tự
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT
0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6
sin 0 1/2 2/ 2 3/ 2 1 3/ 2 2/2 1/ 2 0
cos 1 3/ 2 2/ 2 1/ 2 0 - 1/ 2 - 2/
2
- 3/ 2
-1
3
II.Một số baì tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
24.cotx + sinx(1+tanx.tan 2x ) =4
2
3 ) 4 3 sin(
).
4 (x x
26.tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6
Trang 627.sin3x-cos3x=cos2x.tan
4
tan 4
x x
28.3sin2x-cos2x-sin2x+cos2x=1
