Phương trình và bất phương trình mũ−logarit 1... Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_LogaritĐịnh lý Rôn: Nếu hàm số y=fx lồi hoặc lõm trên miền D thì phương tr
Trang 1Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1
−∞
y +∞
1
−∞
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
y=3 x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -3 -1 1 2
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
x
y=
3
II Hàm số lgarit
• y=log a x, ĐK:
≠
<
>
1 0
0
a
x
; D=(0;+∞)
1
−∞
1
−∞
f(x)=ln(x)/ln(3)
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 2 4
x y
y=x
y=3 x y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x y
x
y 3
x y
3 log
= y=x
III Các công thức
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
m
n
a a
a = − ;( n
a
1
=a−m ; a0=1; a− 1=
a
1 );
n
b
a b
a
=
n
m
a
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
Trang 2Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
1
x
x
= loga x1−loga x2;
x
aloga x = ; loga xα=αloga x;
x
log
α
a
x
b
b
log
log
;(loga b=
a
b
log
1 )
b x =xlog
b
IV Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1 Phương trình mũ−logarit
Đưa về cùng cơ số
( )
=
>
b x
f
b
a
log
0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7±4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta
có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x
Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1
b P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+loga f(x)=g(x)⇔
( ) ( )
=
≠
<
x g
a x f
a 1
0
+loga f(x)= log a g(x)⇔ ( ) [ ( ) ]
( ) ( )
=
>
>
≠
<
x g x f
x g x
f
a
0 0
1 0
Đặt ẩn phụ
2 Bất phương trình mũ−logarit
a Bất phương trình mũ :
af(x) >a g(x) ⇔
( ) ( ) ( ) [ ]
>
−
−
>
0 1
0
x g x f a
a
; af(x)≥a g(x) ⇔
( ) ( ) ( ) [ ]
≥
−
−
>
0 1
0
x g x f a
a
Đặt biệt:
a f(x)≥a g(x)⇔ f(x)≥g(x).
a f(x)≥a g(x)⇔ f(x)≤g(x).
b Bất phương trình logarit :
loga f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( )
>
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,0
1 0
x g x f a
x g x f
a
≥
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,0
1 0
x g x f a
x g x
f
a
Đặt biệt:
Trang 3Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
( )
>
>
0
x g
x g x
f
;
( )
>
<
0
x f
x g x
f
*
* *
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I Biến đổi thành tích
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
(2x2 −x −1 2) ( 2x −4) =0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3 x−2 log3( 2x+ −1 1 log) 3x=0
Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f u( )= f v( ) ⇔ =u v
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃c∈(a;b):
F
−
−
=
( ); : '( ) 0 '( ) 0
Trang 4Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D
Hướng dẫn: x+2.3log 2x = ⇔3 2.3log 2x = −3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
trình có nghiêm α Khi đó: 6α −5α =3α −2α
Xét hàm số f( ) (t = t+1)α −tα, với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho: f c'( ) = ⇔0 α(c+1)α−1−cα−1= ⇔ =0 α 0,α =1, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình
, xét hàm số f( )t =2t +t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình được viết dưới dạng:
không còn nghiệm nào khác
Xét hàm số f x( ) =3x +2x −3x− ⇒2 f ''( )x =3 ln 3 2 ln 2 0x 2 + x 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm
2
2
2007
1 2007
1
x
y
y e
y x e
x
có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
1
x
Nếu x < −1 thì f( )x <e− 1−2007<0suy ra hệ phương trình vô nghiệm
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
HD: BĐT
Xét hàm số
( )
1
ln 2
2
x x
f x
x
=
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a≥b>0ta có f (a)≤ f( )b (Đpcm)
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
3
+ ÷
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
5 6
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log6(t+ =1) log5t
3
2
t
÷
Trang 5Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
s
Ph
ương pháp: Đặt ay b+ =log (s dx e+ )rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b+ +acx s= ay b+ +acy Xét f t( ) =s at b+ +act
7
7x− =6log (6x− +5) 1 Đặt y− =1 log 67( x−5) Khi đó chuyển thành hệ
1 7
y
−
đó: 7x−1−6x+ =5 0 Xét hàm sốg( )x =7x− 1 −6x+5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm
của phương trình là: x = 1, x = 2.
x
x− + x = x− −x
Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:
u v u v
+ =
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1
x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
Bài 3: Giải các phương trình sau:
c 2x2− +5x 6+ 21−x2 = 2.26 5− x+ 1 d 3x + − =x 4 0
x
3
8
x
4 1
152 + =
Trang 6Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
Bài 4: Giải các phương trình sau:
x y
+
− −
=
x y
x y
+
b
2
5
x y
+ =
2
2
với m, n > 1.
Bài 5: Giải và biện luận phương trình:
Bài 6: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm: ( m−4).9x −2(m−2).3x + − =m 1 0
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
c.1 5x2−x 25
x x
− +
1x x 1
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
Bài 9: Giải bất phương trình sau: 21 1 2 0
x
Bài 10: Cho bất phương trình 4x−1−m 2( x + >1) 0 a Giải bất phương trình khi m=16
Bài 11: a Giải bất phương trình :
2
b Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: 2x2 +(m+2) x+ −2 3m<0
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1
x
x
+
−
Bài13: Giải các phương trình sau:
e.log 16 logx2 + 2x64 3= .
Bài 14: Giải các phương trình sau:
Trang 7Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
2
x
2
1
8
3
Bài 15: Giải các phương trình sau:
x+ x+ + x+ x+ − = d.2log 5(x+3) =x
5 6
g 6x =3log6(5x+1)+2x+1
Bài 16: Giải các phương trình sau:
29
5
x y
+ =
x y
y x
+
f
2 2log
y
x
Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau:
a lgmx2 +(2m−3) x m+ −3=lg 2( −x)
2
a x
a a
a x− =
−
Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3
lg
2
ax
+
Bài 19: Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2 log32x− log3x + =a 0
Bài 20: Giải bất phương trình:
8
3
5
3
5
3
x+ ≥
8
2
3
2
l log5 3x+4.log 5 1x >
Trang 8Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
m
2
3 2
4 3
5
− +
≥
2
log x+log x>1
2
q
2
2
3
1
5
2
x
x
+
3
1
2
x
+
2 16
1
−
1 2
log x+4 log x < 2 4 log− x
Bài 21: Giải bất phương trình:
x
x
2
2
0
x x
≥
Bài 22: Giải hệ bất phương trình:
a
2
2
4
0
x
− +
1
x
x x
+
2
4
x
y
y x
−
−
Bài 23: Giải và biện luận bất phương trình( 0< ≠a 1):
1 log
a a
x x
+
>
+
5 loga x+1 loga x<
1 log 100 log 100 0
2
Bài 24: Cho bất phương trình: loga(x2− − >x 2) loga(− +x2 2x+3) thỏa mãn với: 9
4
Bài 25: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: lg2 lg 3 0
1
x m x m x
>
Bài 26: Cho bất phương trình: 2 ( ) ( )
1 2
a Giải bất phương trình khi m = 2.
b Giải và biện luân bất phương trình
Bài 27: Giải và biện luân bất phương trình: log 1 8a( − a−x)≥2 1( −x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−