Đó chính là nội dung của bất đẳng thức mang tên ông.. Bất đẳng thức này có ứng dụng rất rộng lớn để giải quyết nhiều bài toán.. Phân tích : Nhiều bạn nghĩ rằng “tổng hai số” là 5.. Hãm l
Trang 1ĐẠI SỐ - BÀI 13 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
(Dành cho các bạn từ lớp 9 trở lên)
Nhà toán học Pháp Côsi đã phát biểu một kết quả : “Nếu , , ,
là các số không âm thì :
1
a a2 an
1a a2 an n 1 2 n
a a a n
+ + + ≥
Côsi còn chỉ ra rằng bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức khi và chỉ khi a1= a2= = an Đó chính là nội dung của bất đẳng thức mang tên ông
Bất đẳng thức này có ứng dụng rất rộng lớn để giải quyết nhiều bài toán Các bạn hãy lưu ý đến những kỹ thuật chính sau đây :
1 Tách các số hạng của tổng :
Thí dụ 1 : Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 5 Chứng minh :
2 3
a b ≤ 108.
Phân tích : Nhiều bạn nghĩ rằng “tổng hai số” là 5 Nhìn vào điều phải chứng
minh lại có a2 và b3, như vậy làm sao xuất hiện được chúng ? Các bạn phải nhìn a là a a
2 2 + và b là b b b
3 3 3 + + thì xong ngay
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương ta có :
2 3
a b
1
108 ≤ ⇒ a b2 3≤ 108.
Hãm làm thêm các bài tương tự :
giá trị lớn nhất
2 3
F A.B C =
2
π
∈
và p, q là các số nguyên dương Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sin x = p .cos xq
(ĐHBK Hà Nội - 1997)
2 Nhân thêm hệ số cho các thừa số :
Thí dụ 2 : Cho a ∈ [0 ; 2] ; b ∈ [0 ; 4] Tìm giá trị lớn nhất của F = (2 − a)(4 − b)(3a + 2b)
Trang 2Phân tích : Ta có (2 − a) + (4 − b) + (3a + 2b) = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a, b nên không thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng này Nếu được thêm các hệ số vào chúng thì ta có thể được những thừa số mới mà tổng không đổi Chú ý là đã có 3a + 2b rồi nên để khử a các bạn hãy dùng 3(2 − a) và để khử b hãy dùng 2(4 − b)!
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm : 3(2 −a) ; 2(4 − b) và 3a + 2b ta có :
3(2 a).2(4 b)(3a 2b) [3(2 a) 2(4 b) 3a 2b]
3
14
6F
3
≤
⇒
1372 F
81
≤
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3(2 − a) = 2(4 − b) = 3a + 2b = 14
3 ⇔
4 a 9
= và 5
b
3
=
Khi đó F lớn nhất là 1372
81
Hãy làm các bài tương tự :
1 Cho x ∈ [0 ; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của y (1 x) (1 4x0 = − 2 +
2 Tìm giá trị lớn nhất của y x (1 x) = −
3 Tìm cách thêm các số hạng thích hợp
Thí dụ 3 : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :
x y z
x y z
y + z + x ≥ + +
Phân tích : Làm sao để khử mẫu của
3 2
x
y ? Tất nhiên là cần nhân với Đó là khi nhân với nhau, còn ở phía tổng thì đó chính là y và y.Vậy để đạt được lời giải ta cần thê y và y !
2 y
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có :
Trang 33 3
3
3
≤ + +
3 2
x 3x 2y y
3 2
y 3y 2z z
≤ +
và
3
2
z
3z 2x
x
ta có đpcm
Thí dụ 4 : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :
x y z 1 1
x y z
y + z + x ≥ + + 1
Phân tích : Để khử tử của
2 3
x
y sẽ phải tìm đến
1
x và
1
x
Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có :
3
2 3
1 x 1
thức tương tự, cộng từng vế của 3 bất đẳng thức này và ước lược cho gọn ta có đpcm
Hãy làm các bài tương tự
1 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh :
a b c d 1 1 1 1
b + c + d + a ≥ a + b + c + d
(ĐH Thủy lợi - 1997)
2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh :
a b c
a b c2
b + c + a ≥ + +
Dạng tổng nghịch đảo của các số dương :
Các bạn có thể dễ dàng chứng minh được : “Nếu x, y, z > 0 thì
1 1 1
1 1
đẳng thức :
1 1 1 9
x + + ≥ y z x y z
+ + và
1 1 4
x + ≥ y x y
+
Ta có thể áp dụng những điều này để giải quyết nhiều bài toán :
Trang 4Thí dụ 5 : Chứng minh rằng trong một tam giác ta có : ha+ hb+ hc > 9 r
Phân tích : Hãy nghĩ đến
1 1 1
h + h + h
c
và dễ dàng chứng minh được biểu
thức này chính là 1
r
ah bh ch
Giải : Sau khi chứng minh được
1 1 1
h + h + h = 1
r
ta dùng 2 lần bất đẳng thức Côsi sẽ được
1 1 1
h h h
+ + + + ≥
1
h h ) 9
r
⇒ ha+ hb+ hc≥ 9 r
c
2S = 2S = 2S
⇔ a = b = c ⇔ tam giác là tam giác đều
Thí dụ 6 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
2
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
1
Gợi ý : 1 1 4
p a p b + ≥ (p a) (p b) = c
4
c
Hãy làm bài tương tự :
1 Chứng minh rằng : Trong mọi tam giác ta có
r + + > r r h + h + h
2 Chứng minh rằng : trong mọi tam giác ta có :
tg tg tg 9 tg tg tg
2 + 2 + 2 ≥ 2 2 C
2
3 “Người ta đo chu vi một mảnh vườn hình vuông và một mảnh vườn hình tam giác thì thấy như nhau Bạn có thể biết mảnh vườn nào có diện tích lớn hơn không ?”