tự luyện bất đẳng thức

DẠNG SỬ DỤNG CAUCHY KẾT HỢP CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC1.ĐH-A-2007.. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.. mục đích để đơn giản hĩa mẫu thức và tách t

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC :

1 DẠNG SỬ DỤNG CAUCHY KẾT HỢP CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC1.(ĐH-A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1

Tìm GTNN của biểu thức :P= x y z2( )

y y 2z z

++ + y z x2( )

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =x y z 1 Vậy Min P = 2

Chú ý: *Đặt a= x x 2y y+ , b = y y 2z z+ mục đích để đơn giản hĩa mẫu thức và tách thành các biểu thức để áp dụng CS sao cho sau khi đánh giá thì Vế phải là hằng số

*cĩ thể đặt a = x , b = y , c= ngay từ đầu để khử vơ tỷ

2 (ĐH-B-2007) Cho x>0,y>0,z>0 thay đổi Tìm GTNN của:P=xx2 yz+ 1 ÷

Hướng 2: Xét hàm số f(t) = t2 1

2 t+ với t>0 Từ BBT của f(t) suy ra f t( ) 3, t 0

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Do đó 34 x( 3 + y 3) +34 y( 3 + z 3) +34 z( 3 + x 3) ≥ 2 x y z( + + ≥) 6 xyz3

6x

zz

yy

1xyz

⇔x = y = z = 1Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1

5 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có: ÷ + ÷ + ÷ ≥ + +

y

y2x4

4x3

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Vì dự đoán dấu “=” xảy ra khi x = y = 2 và khi x = 2 thì 4x =1x

7.A05Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có ( ) 256

y

91x

y1x1

x − ≤ Khi nào đẳng thức xảy ra?

10.B05.Cho a, b, c là các số dương thoả mãn

4

3cb

a+ + = Chứng minh rằng:

.3a3cc3bb

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

zz1

yy1

≥+

++

++

b

n a a

a n

n a b

a b

a

+++

+++

≥+++

21

2)

21(

2

2

2212

ễN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

12.Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả món điều kiện x + y = 54 Tỡm GTNN biểu thức: S = 4x 4y+ 1

x y 4

⇔  = =

x 1 1 y 4

0 x

4

⇔ x = 1Lập bảng xột dấu f′(x), suy ra minS = 5

x y 4

3

93

3

93

3

y z z

z x

z y

y z

+

14.Cho x, y, z > 0 thỏa món xy + yz + zx =1 Tỡm GTNN của biểu thức P =

x z

z z y

y y x

x

+

+ +

+ +

2 2

2

15.Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm GTLN của biểu thức P = a4 + b4 + c4

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có

)1(.2009

20091

a a a a

a a

20091

b b b b

b b

20091

c c c c

c c

Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤3.Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.

16.Cho x, y, z >o thoả món 1 1 1 2009

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Dấu bằng xảy ra khi : a b c = = (Kỷ thuật ghép thêm)

21.Cho a,b,c >0 và abc=1 CM:

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Tìm max: y = sin 5 x + 3 cosx ≤ sin 4 x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin 4 x + 3 cosx ≤ 3 , ∀ x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin 4 x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos 2 x) 2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx) [ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) 2 ] ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤   = ÷ <

 

3

Vậy BĐT (3) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ y ≤ 3 , ∀ x Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 ⇔ x = k2 π Vậy maxy = 3

• Tìm min: Ta có y = sin 5 x + 3 cosx ≥ – sin 4 x + 3 cosx.

Tương tự như trên, ta được miny = – 3, đạt được khi x = π + k2π.

24.Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng :

A = (x 1 − )2+ y2+ (x 1 + )2+ y2+ − y 2

Áp dụng: a2+b2 + c2+d2 ≥ (a c+ )2+ +(b d)2 Ta có :

(x 1 − )2+ y2+ (x 1 + )2+ y2 ≥ 4 4y + 2 = 2 1 y + 2

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

• Với y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2 1 y + 2 ≥ 2 5 > 2 + 3.Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 13 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3.⇒ 3 + 3 + 3 ≥ 3 3

9 ⇒Q(t) giảm trên  

1 0;

1 1 1

x y z – 80(x + y + z)2 ≥ 162 – 80 = 82Vậy P ≥ 82 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 31

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

3.A02Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ∆ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA,

11x

22

y

x x

ễN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

6.Cho a, b, c > 0 CMR:

2

22

b a

c a c

b c b

+

++

+

7.Cho xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4+y4+z4

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

±

8.Cho ba soỏ a,b,c>0 Thoỷa maừn

abc ca bc

ab + + =

CMR: 2 +2 2 + 2+2 2 + 2 +2 2 ≥ 3

ca

c a bc

b c ab

1 a

1 + + =

⇔

( )* ⇔ 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 ≥ 3

a a c c c b b b

a aựp duùng baỏt ủaỳng thửực Bunhiacoõpxki ta coự

2 2 2 2 2

+

b

1 b

1 a

1 3

1 b

c

1 c

1 b

1 3

1 c

1 c

1 b

1

2 2

a

1 a

1 c

1 3

1 a

1 a

1 c

1

2 2 2

Coọng veỏ theo veỏ ta ủửụùc

+

c

1 b

1 a

1 3 3

1 cb

c 2 a bc

b c ab

b c ab

a 2

b 2 2 2 2 2 2

≥ + + + + +

9.Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.

ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng

11.Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

=2 2+ +1 3 2+ +16 2+36

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ KẾT HỢP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ghi nhớ: Đã đổi biến thì phải tìm “miền giá trị” của biến nếu cĩ

1.

2

3

≥+

++

+

c a

1

2 2

y x

y x

++

− vµ b =

)1)(

1(

1

2 2

2 2

y x

y x

++

−

=> ab = 2 222 22 22

)1()1(

)1

)(

(

y x

y x y

x

++

(4

1

b a ab b

Mµ : (a - b)2 = 2

2 1

21

Chú ý: cĩ thể sử dụng phương pháp LƯỢNG GIÁC HĨA

3.Giả sử y x, là những số dương thỏa mãn điều kiện :x + y = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy +xy1

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 1 = x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤14

đặt

4

1 t 0

1 xy 4

17 P

=

⇔

=

4.B10Cho các số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị NN của biểu thức

M=3(a2b2+b2c2+c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2+ +b2 c2

Đặt t = ab + bc + ca, ta cĩ: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca⇒ 1 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab+ bc + ca)⇒ a2 + b2 + c2 = 1 – 2t và 0 1

ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng

(1 2 )t

−

− < 0, ∀t ∈

10,3

  ⇒ f’(t) là hàm giảm

1 11'( ) '( ) 2 3

5.A2009:Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz,

ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3

Cĩ thể đặt: a = x+y, b = x+z, và c = y + z thay vào và chứng minh.

6.B09.Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ

7.D09).Cho các số thực khơng âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy =16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 ,Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ ¼ Khi đĩ S

4

2 3 y

4

2 3 y

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2

9.Cho x, y, z 0≥ thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

316

Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

11.Cho x > 0, y > 0, x y + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

2

x = a y = a ⇒ ∈ a   π  ÷  khi đó

  Kết hợp (*) ta có.ậy maxA=5 khi x=0;y=1;z=2

13.Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2)=xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểuthức

7'

2 2 1

t t P

t

− −

=

+ , ' 0P = ⇔ =t 0( ),th t= −1(kth)

ễN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

ab bc ca+ + − abc≤ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

15,Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác tìm GTNN của:

c b a

c b

c a

b a

c b

a A

−+

+

−+

+

−+

2

++

+++

++

c a

c b

b c

b a

a

Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:

x; y; z là các số dơng và:

3x – (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c.

17.Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: x y z

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

13

1

a c c b b a

P

+

++

++

=

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

zyx

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

≥++

9a

3c

1c

3b

1b

a

1P

+++++

≥+

++

++

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a=b=c=1/4

8.Cho x, y, z >0 tháa m·n xyz=1 CM 1 1 1 1

x y + y z +z x ≤

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab≥ab

ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng

b b

1

a A

+

+ +

+ +

2 1

1 c

b 1

a 1

c b

b a

hay a = b = c = 1

2.Cho a , b , c > 0và a + b + c = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2

a 1

c 1 c 1

b 1 b 1

a 1 A

+

+ + +

+ + +

( 1)

( 1) 1

( 1)

2 1

b a

a a

b a a

c b

b 1

a 1

c b

b a

hay a = b = c = 1

3.Chứng minh rằng ∀số dương a ,,b c , d ta luôn có.

2

d c b a a d

d d

c

c c

3 2

2

3 2

2

3 2

2

+

+ +

+ +

ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng

2

d c b a a d

d d

c

c c

3 2

2

3 2

+ +

+

+

4.Chứng minh rằng ∀số dương a ,,b c ,ta luôn có.

32

2

3 2

2

3 2

2

a ca c

c c

bc b

b b

ab

a

++

+++

1 abc

c b

1 abc

b a

1

3 3 3

3 3

+ +

+ + +

+ + +

6.Cho a,b,c,>0Chứng minh aabb bbcc ccaa ≤ a+2b+c

+

+ +

+ +

ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Mỗi giá trị của biến làm cho dấu đẳng thức xảy ra gọi là điểm rơi của BĐT

1 Cho x,y,>0và x 2 + y 2 = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất A = x 3 + y 3

Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là

2

1 y

x = = )áp dụng Cauchy cho 3 số dương.

Min

2 Cho x,y,z >0và x 2 + y 2 + z 2 = 3Tìm giá trị nhỏ nhất A = x 4 + y 4 + z 4

Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là x= y =1)

áp dụng Cauchy cho 4 số dương

c b a c b

a+ + + + +

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ

a

1

;4

1

;4

b a

a+ + + + + − + + Ta cã : 4 + 1 ≥2 4 .1 =4

a

a a

2

x

y y

256

1(

y x y

x y

5.Cho x ; y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n : x+y≥6 T×m GTNN cña:D =

y x y

2

62

3)(2

A

++

b a ab

B

++

ab b a

+

=

(Còn nữa !!!!!! )