Mot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ich Mot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ichMot so ky thuat su dung BDT cauchyp2 rât hay va bo ich
Trang 1A MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
3 Kỹ thuật chọn điểm rơi
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
•Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
•Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực a≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1
a a
A= +
Sai lầm thường gặp là: = + 1≥2 1 =2
a
a a a
A Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 ⇔ = 1 ⇔a=1
a
a vô lý vì theo giả thuyết thì a≥ 2
Lời giải đúng:
2
5 4
2 3 1 4
3 1 4
2 4
3 1 4
1
= +
≥ +
≥ + +
= +
a
a a
a
a a a A
Dấu “=” xảy ra 1 hay 2
a
a
Vậy GTNN của A là
2
5
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt
GTNN khi a=2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2” Ta không thể
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số avà 1
a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì
vậy ta phải tách a hoặc 1
a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc
Trang 2dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số
a
a 1
,
α sao cho tại
“Điểm rơi a=2” thì
a
a = 1
α , ta có sơ đồ sau:
4
2
1 2 2
1 1
2
=
=
⇒
α
α α
a
a
Khi đó:
a
a a a a
4
3 4
1 = + + +
= và ta có lời giải như trên
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số
a
a 1
,
α ta có thể chọn các
các cặp số sau:
a
a,1
α hoặc
a
a,α
hoặc
a
a
α
1 , .
Bài toán 2: Cho số thực a≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 12
a a
A= +
Sơ đồ điểm rơi:
8
4
1 2 4
1 1
2 2
2
=
⇒
=
⇒
=
=
⇒
α
α α
a
a a
Sai lầm thường gặp là:
4
9 8
2 7 2 2
1 8
7 2
1 8
7 1 8
2 8
7 1
a
a a
a a
a
a
2
=
⇔a
Vậy GTNN của A là
4 9
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là
4
9
là đáp số đúng nhưng cách giải
trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “
2 2
1 2
1
≥
a
Lời giải đúng:
4
9 8
2 6 4
3 8
6 1 8
8 3 8
6 1 8
a
a a a
a
a a A
Dấu “=” xảy ra ⇔a= 2
Trang 3Vậy GTNN của A là
4
9
Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤ 1 Tìm GTNN của 1
ab ab
A= +
Phân tích:
Ta có:
4
1 2
2
≤
+
ab
Sơ đồ điểm rơi:
16
1 4
4
1 4
1 4 1 4
=
=
⇒
α
α α
ab
ab ab
Giải:
Ta có:
4 1 4
1 2
2
−
≥
−
⇒
≤
+
≤
ab
b a ab
4
17 4
1 15 8 15
1 16 2 15
1
ab ab ab
ab ab A
Dấu “=” xảy ra
2
1 4
1 ⇔ = =
=
Vậy GTNN của A là
4 17
Bài 2: Cho số thực a≥6 Tìm GTNN của 2 18
a a
A= +
Phân tích:
Ta có
a a
a a a
A= 2 +18= 2 +9 +9
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a = 6 Ta có sơ
đồ điểm rơi:
Trang 424
2
3 36 2
3 6
9 9
36 6
2
=
⇒
=
⇒
=
=
=
⇒
α
α α
a
a a
Giải:
Ta có:
39 24
36 23 2 9
24
23 9
9 24
3 24
23 9 9 24
2 3
2 2
2
= +
≥
+
≥ +
+ +
a a
a a
a a
a A
Dấu “=” xảy ra 9 6
24
2
=
⇔
=
a a
Vậy GTNN của A là 39
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+2b+3c≥20 Tìm GTNN của 4
2
9 3
c b a c b a
A= + + + + +
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi a+2b+3c=20 ,tại điểm rơi a=2,b=3,c=4
Sơ đồ điểm rơi:
2 23 34
2
3 3
2
=
=
⇒
α
α α
a
a a
2
2
3 3 2
3 2 9
3
=
=
⇒
β
β β
b
b b
4 1 4
1 4
4
=
=
⇒
γ
γ γ
c
c c
Giải:
Trang 5
13 5 2 3 3
4
3 2 4
4
2 2
9 2 2
3 4
3 2
4
3 2 4
4 4 2
9 2
3 4 3
= + + +
≥
+ + + +
+
≥
+ + +
+ +
+ +
=
c b a c
c b
b a
a
c b a c
c b
b a
a A
Dấu “=” xảy ra ⇔ a=2,b=3,c=4
Vậy GTNN của A là 13
Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa
≥
≥
8
12
bc
ab
Chứng minh rằng:
12
121 8
1 1 1
+ + +
abc ca
bc ab c
b a
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi
=
=
8
12
bc
ab
,tại điểm rơi a=3,b=4,c=2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
2 6
9 3
2 6
9
2
1 2 24
18 3
2 24 18
3
3
=
≥ + +
=
≥ + +
ca
c a ca
c
a
ab
b a ab
b a
3
4 8 12
6
9 4
8 12 6
9
4
3 2 8
16 3
2 8 16
4
3
=
≥ + + +
=
≥ + +
abc
b c a abc
b c
a
bc
c b bc
c b
4
13 8 24
13 48
13 2 24
13 48
13 2 24
13 48
13
3
13 12 24
13 18
13 2 24
13 18
13 2 24
13 18
13
=
≥
≥ +
=
≥
≥ +
c b c
b
b a b
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
( )
12
121 8
1 1 1
+ + +
abc ca
bc ab c
b
3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của
Trang 6b a b a
A= + +1 +1
Sai lầm thường gặp là: = + + 1+1≥44 1.1 =4
b a b a b a b a A
Vậy GTNN của A là 4.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 ⇔ = = 1 = 1⇔a=b=1
b a b
1
2≥
=
+b
a trái giả thuyết
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2
1
=
=b a
Sơ đồ điểm rơi:
4
1 2
2
1 2
1 1
2 1 2
=
=
=
=
⇒
=
α
α α α
b a
b a b
a
Lời giải đúng: 4 4 1 1−3 −3 ≥44 4 4 1.1 −3( + )≥8−3=5
b a b a b
a b a b a A
Dấu “=” xảy ra
2
1
=
=
⇔a b
Vậy GTNN của A là 5
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
2
3
≤ + +b c
a Tìm GTNN của
c b a c b a
A= + + + 1+1+1
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2
1
=
=
=b c a
Sơ đồ điểm rơi:
Trang 7
4
1 2
2
1 2
1 1 1
2 1 2
=
=
=
=
=
=
⇒
=
=
α
α α α α
c b a
c b a c
b a
Giải:
2
13 2
9 12
3
1
1
1 4 4 4 6
3 3 3 1 1 1 4 4 4
6
=
−
≥
+ +
−
≥
−
−
−
=
c b a c b a c b a
c b a c b a c b a A
Dấu “=” xảy ra
2
1
=
=
=
Vậy GTNN của A là
2 13
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
2
3
≤ + +b c
a Tìm GTNN của
c b a c b a
A= 2 + 2 + 2 + 1+1+1
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2
1
=
=
=b c a
Sơ đồ điểm rơi:
4
1 2 1 1 1
4 1 2
1
2 2 2
=
⇒
=
⇒
=
=
=
=
=
=
⇒
=
=
α α
α α
c b a c
b a
Giải:
4
27 2 4
9 4 9 3
1 4
9 4
9 1 9 4 9
1 1 1 4
3 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 9
4
3 4
3 4
3 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8 1
3
9 2 2 2
2 2 2
= +
≥ + + +
≥ +
≥
+
≥
+ + +
=
c b a abc
c b a c
b a c b a c b a
c b a c b a c b a c b a A
Trang 8Dấu “=” xảy ra
2
1
=
=
=
Vậy GTNN của A là
4 27
Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của
b a
ab ab
b a A
+ +
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
a=b
Sơ đồ điểm rơi:
2
1 2 2
1 2
2 2
=
⇒
=
⇒
=
= +
=
= +
⇒
α
α α α
a
a b a ab
a
a ab
b a b
a
Giải:
2
5 2
3 1 4
2 3
4
2 4
3
+
+
≥
+ +
+ +
+
=
ab
ab b
a
ab ab
b a ab
b a b
a
ab ab
b a A
Dấu “=” xảy ra ⇔a=
Vậy GTNN của A là
2 5
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của
c
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
a=b=c
Sơ đồ điểm rơi:
2
1 2 2
1
=
⇒
=
⇒
=
+
=
+
= +
= +
= +
= +
⇒
=
α α
α α
b a b
a c a
c b
b a
c a c
b c b
a c
b a
Giải:
Trang 9
+ + + + + + +
≥
+
+
+ +
+ +
=
c
b c
a b
a b
c a
c a
b c
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c b a
c
b a b
a c a
c b c
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c b
a A
4
3 4
4
4 6
4
3 4
4 4
6
2
15 2
9 3 6 4
3
≥
c
b c
a b
a b
c a
c a b
Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c
Vậy GTNN của A là
2 15
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤ 1 Tìm GTNN của :
ab b
a
A
2
1 1
2
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2
1
=
=b a
Sơ đồ điểm rơi:
2 2 1
2 2
2 1
2
=
⇒
=
⇒
=
= +
⇒
=
α
α
ab
b a b
a
Giải:
2 2
1
2 2
1 2
2
1 1
2 2
2 2
2 2
+
= + +
≥ +
≥ + +
=
b a ab b
a ab
b a ab
b a A
Dấu “=” xảy ra
2
1 1
2
2 2
=
=
⇔
= +
= +
b a
ab b
a
Vậy GTNN của A là 4
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của
ab b
a
A
2
1 1
1
2
+ +
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Trang 10
2
1
=
=b a
Sơ đồ điểm rơi:
3
2 2
2 1
3
2 1
1 2
=
⇒
=
⇒
=
= + +
⇒
=
α α
αab
b a b
a
Giải:
( )
(a b) ab ab ab
ab b
a
ab ab
b a
ab ab b
a A
3
1 4
1
4 3
1 2
6 1
1
2
3
1 6
1
1 2
3
1 6
1 1
1
2 2
2
2 2
2 2
+ + + +
= + + + +
≥
+ +
+
≥
+ + + +
=
+
≤
+
+
+ + + +
2
Do 2
3
1 2
4 1
2 2
2
b a ab b
a b
a b
a
( ) 3( )
4 1
2
4
2
b
a+ + + +
≥
3
8 1 3
4 1 1
2
4
= + +
≥
Dấu “=” xảy ra
2
1 1
6
1 2 2
=
=
⇔
= +
=
= + +
b a
b a
ab b
a
Vậy GTNN của A là
3 8
Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤ 1 Tìm GTNN của
ab ab b a
A 21 2 + 1 +4
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Trang 11
2
1
=
=b a
Sơ đồ điểm rơi:
2 4 2
4 1
2 1
2
=
⇒
=
⇒
=
= +
⇒
=
α α
αab
b a b
a
1 4 1 4 4
1 4 2
=
=
⇒
=
β β
βab
ab b
a
Giải:
( )
ab ab
b a
ab ab
ab ab
b a
ab ab
ab ab b
a A
4
1 2
4 4
1 2 2
2
1
2
4
1 4
1 4 2 2
1 2
4
1 4
1 4
2
1 1
2 2
2
2 2
2 2
+ + +
= + + + +
≥
+ +
+
≥
+ + + + +
=
+
≤
+ + + +
2
Do 2
4
1 2
2 2
b a ab b
a b
a
( )
7 2 1 5
2
5
2
= +
≥
+ +
≥
b a
Dấu “=” xảy ra
2 1 1
4
1 4
2
2 2
=
=
⇔
= +
=
=
= +
b a
b a
ab ab
ab b
a
Vậy GTNN của A là 7
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤ 1 Tìm GTNN của
2 2
3 3
1 1 1
ab b a b a
+
=
Phân tích:
Trang 12Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
2
1
=
=b a
Sơ đồ điểm rơi:
4 1 1
2 1
2 1
2 2
3 3
=
⇒
=
⇒
=
=
= +
⇒
=
α α
α
αa b ab
b a b
a
Giải:
5
2 2
2 2
1 5
2
1 2
1 2
1 2
1
1 5
2
1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
2 2
3 3
5
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
3 3
ab b a ab b a b a
ab b a ab b a b a
ab b a ab b a b a A
+ + +
+ +
≥
+
≥
+ +
+ +
+
=
( ) ( )
25
3
b a ab b
a+ + +
≥
20 4
1 1 25
2
Do 4
) (
25
2 3
3
= +
≥
+
≤ +
+ +
b a b a
Dấu “=” xảy ra
2
1 1
2
1 2
1 1
2 2
3 3
=
=
⇔
= +
=
=
= +
b a
b a
ab b a b a
Vậy GTNN của A là 20
Bài 9: Cho ba số thực dương x ,,y z thỏa 1+1+1=4
z y
x Tìm GTLN của
z y x z y x z y x
P
2
1 2
1 2
1
+ +
+ + +
+ + +
=
Trang 13Đề thi Đại học khối A năm 2005
Giải:
x+y+z = x+x+ y+z ≤ x x y z = x x y z ≤ x + x+ y + z
1 1 1 1 16
1 1
1
1
1 4
1 4
1 1
2
1
4 4
Tương tự:
≤ +
x
1 1 1 1 16
1 2
1
≤ +
x
1 1 1 1 16
1 2 1
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
1 4 4 4 16
1 2
1 2
1 2
≤ + +
+ + +
+ + +
=
z y x z
y x z y x z y x
P
Dấu “=” xảy ra
4
3 3
4 1 1 1
=
=
=
⇔
=
=
=
z y x
Vậy GTLN của P là 1
4 Kỹ thuật nhân thêm hệ số
Bài 1: Tìm GTLN của : A=a2( )1-a ,a∈( )0,1
Giải:
Do a ,1-a>0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
27 4
27
8 2
1 3
2 2 2
1 2 2 2
1 2 2 2
≤
⇒
=
≤
=
=
A
a -a a a
-a.a a
-a A
Dấu “=” xảy ra
3
2 2
2− =
=
Vậy GTLN của A là
27 4
Bài 2: Tìm GTLN của : A=a3( )2-a ,a∈( )0,2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Trang 14( )
16
27 4
3 6 3
1 3 6
3
≤
−
A
Dấu “=” xảy ra
2
3 3
6− =
=
Vậy GTLN của A là
16 27
Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa
≤
≤
4
3
b
a
Tìm GTLN của ( a)( b)( a b)
A= 3− 4− 2 +3
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3 2 3 12 2 6 6
1 3 2 3 12 2 6
6
≤ +
−
−
A
Dấu “=” xảy ra
=
=
⇔
= +
=
−
=
−
⇔
2
0 6
3 2 3 12 2 6
b
a b
a b a
Vậy GTLN của A là 36
Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa
≥
≥
≥
12 6 2
c b
a
Tìm GTLN của:
abc
c ab b
ca a
bc
A= −2+ 3 −6+ 4 −12
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 8 64 4 4
4 4 4 12 64 4
4 4 12 64
12
9 3 3
3 3 6 9 3 3 6 9
6
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 4
4 4 4
3 3
3 3 3
abc abc
c ab c
ab c
ab
abc b
ca b
ca b
ca
abc a
bc a
bc a
bc
=
= + + +
−
≤
−
=
−
= + +
−
≤
−
=
−
= +
−
≤
−
=
−
Khi đó ta có:
9 3
1 2 8
5 2 8
1 9 3
1 2 2
1 12 6
−
=
abc
c ab b
ca a
bc
A
Trang 15Dấu “=” xảy ra
=
=
=
⇔
=
−
=
−
=
−
⇔
16 9 4 4
12
3 6
2 2
c b a c
b a
Vậy GTLN của A là 3
9 3
1 2 8
5 +
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c= 1 Tìm GTLN của:
a c c b b a
A= + + + + +
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
= +
= +
= +
⇒
=
=
=
3 2 3 2 3 2
3 1
a c
c b
b a c
b a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(3) (2) (1)
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3 3
2 2
3
+
+
≤
+
+
+
≤
+
+
+
≤ +
=
+
a c a
c
c b c
b
b a b
a b
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
6 2
3
2 3 2
2
≤ + + + +
+
A
Dấu “=” xảy ra
3 1
3 2 3 2 3 2
=
=
=
⇔
= +
= +
= +
a c
c b
b a
Vậy GTLN của A là 6
Trang 16Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn
điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp.
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c= 3 Chứng minh rằng:
3 3
3
3 a+2b + b+2c + c+2a ≤3 3
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:
= +
= +
= +
⇒
=
=
=
3 2
3 2
3 2
a c
c b
b a c
b a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(3) (2)
(1)
9
3
2 6
2
9
3
2 6
2
9 3
2 6
3
3 3 2 9
1 3 3 2 9
1 2
3 3
3 3
3 3
3 3
3
a c a
c
c b c
b
b a b
a b
a b
a
+ +
≤
+
+ +
≤
+
+ +
= + + +
≤ +
=
+
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 3
3
9 3
3 18 2 2
Bài 7: Cho a, b, c ∈[−2;2] thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng:
3 3 4
4
4−a2 + −b2 + −c2 ≤
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy
ra khi:
=
−
=
−
=
−
⇒
=
=
=
3 4
3 4
3 4
2 2 2
c b
a c
b a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Trang 17( ) ( )
(3) (2)
(1)
3 2
7
4
3 2
7
4
3 2
7 2
3 4
3
1 3 4 3
1
4
2 2
2 2
2 2
2 2
c c
b b
a a
a a
−
≤
−
−
≤
−
−
= +
−
≤
−
=
−
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3 2
21 4
4
c b
a + − + − ≤ − + +
−
Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có
3
1 1 1
2 2
2
2
2 2 2 2
c b a c
b
a
c b a c
b
a
+ +
≥ +
+
⇔
+ + +
+
≤
+
+
3 3 3
2 3
21 4
4 4
2 2
2
+ +
−
≤
− +
− +
−
c b a c
b
