toán bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiakôpxki 1 bất đẳng thức Cauchy.. Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thị , phương pháp tương đương ,

Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiakôpxki

1) bất đẳng thức Cauchy

Với a1, a2, a3, , anlà những sôù dương , ta luôn có

n

n 3 2 1 n 3

2

n

a

a a a











Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n a a

a

a1  2  3 

2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ

Với mọi a1, a2, a3, , an,b1, b2, b2, , bnta luôn có

2 n 2 3 2 2 2 1 2 n 2 3 2

2

2

1

n n 3

3 2

2

1

1

a

b b b a

a

a

a

b a

b a b

a

b

a























Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n n 3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a









Đặc biệt

  

































































0 b , a

b a

4 b

1 a 1 0

b

,

a

ab 4 b a

b

a

0 b , a

ab 4 b a 0

b

,

a

0

b

Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thị việc chứng minh có thể dễ hơn một ít

Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thị , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm ……

I.Cauchy ngược dấu

Bài 1

Cho a,b,c0và a  b  c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2

a 1

c c 1

b b 1

a A













Giải

(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là

1





b c

Ta có

2

ab a b 1 a ab

2 b

1

b 1

ab a b

1

a

2 2

2 2

























Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được : ( ab bc ca )  1

2

1 c b a

Mà: 3(abbcca)a b c2 abbcca3  2

3

Đẳng thức xảy ra khi :

















c 1

b 1

a 1

và

















a c

c b

b a

hay a  b  c  1

Bài 2

Chứng minh rằng số dương a ,,b c,dta luôn có:

2

d c b a a d

d d

c

c c

b

b b

a

a

2 2 3 2

2 3 2

2 3 2

2

















Giải

Ta có

3

2

a



 







  



;

b c   c d   ;

2

a d a d

d

2 2

3







Cộng vế theo vế ta được đpcm:

2

d c b a a d

d d

c

c c

b

b b

a

a

2 2 3 2

2 3 2

2 3 2

2

















Bài 3

Chứng minh rằng số dương a ,,b c,ta luôn có:

3 2

2 3 2

2 3 2

2

a ca c

c c

bc b

b b

ab a



















Giải

Ta có

3

3

2

ab a b a

ab a b







 

  



Chứng minh tương tự ta có

;

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh:

3

c b a a ca c

c c

bc b

b b

ab a

a

2 2

3 2

2 3 2

2



















Bài 4

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p Chứng chứng minh rằng :

2 8

abc

Giải

a) Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương ta có

         

;

3

p c p a

  

Trong đó abc  p

2 nhân vế theo vế    1 2 3 ta được :   

8

abc c

p b p a

p    (đpcm) b) như chứng minh trên ta có

;

Cộng vế theo vế ta được đpcm: 

























1 b

1 a

1 2 c p

1 b p

1 a p 1

Bài tập

1) Cho a,b,c0và a  b  c  3 Chứng minh rằng 1

a 2 1

c c 2 1

b b 1

a

3 2 3 2 3

2













2) Cho a,b,c,0ø Chứng minh :

abc

1 abc a c

1 abc

c b

1 abc

b a

1

3 3 3

3 3

















3) Cho a,b,c,0và a  b  c  d  4 Chứng minh 2

b a 1

d a d 1

c d c 1

b c b 1

a

2 2 2

2 2

2 2

2

















4) Cho a,b,c,0 Chứng minh

2

c b a a c

ca c b

bc b a













5) Cho 0x1,0 y2 Chứng minh :1x2y4xy4.Đẳng thức xảy ra khi nào

6) Cho x , y , zlà các số dương thỏa mãn 20

z

1 y

1 x

1







y x z

1 x

z y

1 z

2 y x

1



















II Điểm rơi của Cauchy

Bài 1

Cho x,y,0và x2 y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 3  y 3

Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là

2

1

y

x   ) áp dụng Cauchy cho 3 số dương

Cộng vế theo vế ta được

2

1 A Min

Cho x,y,z0và x2  y2  z2  3 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 4  y 4  z 4

Giải

(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là

1



 y

áp dụng Cauchy cho 4 số dương

4

4

cộng vế theo vế ta được

2 x  y z 64 x  y z 12x y z  3 Min A  3

Bài 3

Cho x,y,0 ,a  bvà xa ya  1 Tìm giá trị nhỏ nhất b b

y x

Giải

áp dụng Cauchy cho b số dương ta có

( )

a

a

b a

bx









Tương tự ta có

( )

a

a

b a

by









Cộng vế theo vế ta được :

a ( b a )

a b 2

b 2

1 ) a b ( 2 A a









.

2

b

Bài 4

Cho x , y ,  0 , và ax2  by2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất A  cx 3  dy 3

Giải

Gọi số m là số dương giả định và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương

3 2 2

3

3

3 m 3 ax m

c

a

cx

2

3 3

3 m 3 by m

d

b dy

Cộng vế theo vế ta được: 3

2 3 2

3

m 3 m d

b c

a A













Đẳng thức xảy ra khi

m d

b c

a A m

c

b

dy

m

c

a

cx

2 3 2 3

2

3

3

2

3

3



































do đó từ (*) ta được:

3 2 3 2 3

3 3 3

2 3 2 3

) c b d a (

d c m

m 3 m d

b c

a 2























Khi đó giá trị nhỏ nhất là :

2 3 2

3 d b c a

cd A





Bài tập

1) Cho x , y , z  0 , và x4  y4  z4  3 Tìm giá trị nhỏ nhất 6 6 6

z y x

2) Cho x , y ,  0 , và x2  y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất

2

2 y x

3) Cho x , y ,  0 , và x2  y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 3  y 3

4) Cho x , y ,  0 , và x2  y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 3  y 3

5) Cho x , y ,  0 , và x2  y2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 3  10 y 3

III.Cauchy thuận- phép tương đương-Bunhiacôpxki hay Cauchy-Svaxơ

Bài 1

1) Cho ba số a ,,b cbất kỳ Chứng minh rằng : a2  b2  c2  ab  bc  ca

Giải

Cách1

Aùp dụng Cauchy cho hai số dương ta luôn có

ab ab

b

a2  2 2 2 Tương tự :b2c2 2bc 2bc c; 2a2 2ca 2ca

Cộng vế theo vế ta ra điều phải chứng minh

Cách2

Dùng phép biến đổi tương đương ,ta chứng minh

a b c abbcca a b c  abbcca

0

Bất đẳng thức luôn luôn đúng với mọi a ,,b c

Cách3

dùng tam thức bậc hai

bc c b a ) c b

(

a

)

a

Ta cần chứng minh f(a) 0a

( )2 4( 2 2 ) 3 2 6 3 2 3( )2 0

Vậy ( a )  0  a hay a2  b2  c2  ab  bc  ca

Bài 2

Cho a ,,b cba số dương thỏa mãn điều kiện : 2

c 1

1 b 1

1 a 1

1











 Chứng minh rằng a b c  0 , 125

Giải

Từ giả thuyết ta có

áp dụng Cauchy cho hai số dương ta có 1  b  c  2 bc

Tương tự ta có :

1 c1 a

ca 2

a 1

a c 1

c b 1

1















ab 2

b 1

b a 1

a c 1

1

















Nhân vế theo vế ta được

abc

abc

Bài 3

Cho ba số a,b,c0 Chứng minh rằng :      3

3 1 1

1

1a b c   abc

Giải

Ta có

1  a1  b1  c 1  a  b  c  ab  bc  ca  abc (*)

áp dụng Cauchy với ba số dương ta được

a  b c abc abbcca abc

(*) 1a 1b 1c  1 3 3abc3 3 abc 2 abc  1a 1b 1c  13abc 2

Bài 4

Cho ba số a,b,c0 Thỏa mãn : ab  bc  ca  abc

2 2 2

2 2 2













ca

c a bc

b c ab

a b

(*)

Giải

Từ giả thuyết ta có a , b , c  0

abc

ca

bc

c

1 b

1 a

1









2 2 2 2 2 2 2 2



a a c c c b b

b

ta có

2 2 2 2 2

2 1 1 x y z

1

z

y

Do đó ta có























b

1 b

1 a

1 3

1 b

1

b

1

a

1

2

2





















c

1 c

1 b

1 3

1 c

1 c

1 b

1

2 2 2























a

1 a

1 c

1 3

1 a

1

a

1

c

1

2

2

2



























c

1 b

1 a

1 3 3

1 cb

c 2 a bc

b c ab

a 2

cb

c 2 a bc

b c ab

a

2













Bài 5

Cho ba số a , b , cbất ky Chứng minh rằng : ab  bc  ca2  3 abca  b  c

Dùng phép biến đổi tương đương

   

2

3

Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên bất đẳng thức cần chưng minh đúng

Bài 6

Cho ba số a.b.c0bất ky.ø Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2

c b a

9 c

1 b

1 a

1











Giải

Đặt



















2

2

2

c

z

b

y

a

x

từ đó bài toán được chứng minh là

Với x0,y 0,z 0 chứng minh :

z y x

9 z

1 y

1 x

1











9

xy yz zx x y z

  áp dụng Cauchy cho ba số dương ta có : xy yzzx3 3xyz2; x yz3 3 xyz

Nhân vế theo vế ta được

(xyyzzx)(xyz)9xyz 9

xyz

) z y x )(

zx yz xy (











Bài tập

1) Cho a,b,c,dba số dương thỏa mãn điều kiện

3 d 1

1 c 1

1 b

1

1

a

1

1















 chứng minh rằng:

81

1 c b

2) Chứng minh rằng với mọi x, ydương ta có: 2 x y

y

1 x

1 y

3) Chứng minh rằng với mọi x, ydương ta có :  4

y

1 x

1 xy















IV.Cauchy - Cauchy-Svaxơ ket hơïp khảo sát

Bài 1

Giả sử x, ylà những số dương thỏa mãn điều kiện: x  y  1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

xy

1 xy

Giải

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

4

1 xy xy 2 y x

đặt

4

1 t 0

xy

4

      

17

Bài 2

Cho x,y,z thay đổi x2 y2 z2  1 tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của P  x  y  z  xy  yz  zx

Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky ta có

x yz    x  y z  x yz 

Ta lại có : x  y  z2  1  2 xy  2 yz  2 zx Đặt t  x  y  z t  3

2

1 t t

2

1

)

(

P   2  trê đoạn t  3 Đạo hàm f t( ) t 1; f t( )0  t 1

Bảng biến thiên

x    3 1  3  

f  (t) - 0 +

1  3 1  3

f (t)

1

Từ bảng biến thiên ta có : min P   1 ; max P  1  3

Bài 3

Cho x , y, thay đổi thỏa mãn điều kiệ:



















1 y x

0 y

0 x

,hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa biểu

9 3

Giải

2

2

9

3

x

P    P  Đặt t  3x , x  0 , 1  t  1 3

ta khảo sát hàm số 2

t

9 t

P   trên đoạn  1,3 đạo hàm : , 3

3

18

t

    

Ta có





















4 )

3

(

P

4

9 3 ) 18

(

P

10

)

1

(

P

3

















10 P max

4

9 3 P

Bài tập

1) Cho x , y , z thay đổi là những số dương sao cho x2 y2 z2  1 tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của: P  x  y  z  xy  yz  zx

2) Tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của hàm số: 1

x 1

x cos x 1

x







y =