Thi GVG Bất đẳng thức

Kính chào quý thầy cô và các em học sinh đến tham dự buổi thao giảng ngày hôm nay... Ta biến đổi Vế phải của a nh sau: KT KT... Hãy tích cực suy nghĩ để có đ ợc nhiều lời giải hay !...

Kính chào quý thầy cô

và các em học sinh

đến tham dự buổi thao giảng ngày hôm nay

Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y

TiÕt 34: Bµi tËp

1./ Cũng cố kiến thức

n n

n n

ac bc khi c 0 7).a b

ac bc khi c 0

≥ >



≥ ⇒  ≤  <

Các tính chất của BĐT

Định nghĩa:

a>b ⇔ a - b >0

a≥b ⇔ a - b≥ 0

Từ đó suy ra:

a≤b ⇔ a - b≤ 0

B1 B2,C3

1./ Còng cè kiÕn thøc

( ) ( )

2

ab (1) 2

2

+ ≥

↔ + ≥

+

B§T C«si Cho 2 sè kh«ng ©m

B§T C«si Cho 3 sè kh«ng ©m

( )

3

3

3

a b c

3

a b c 3 abc (2')

a b c

3

+ + ≥

↔ + + ≥

+ +

DÊu ‘=‘ x·y ra khi

a=b

DÊu ‘=‘ x·y ra khi

a=b=c

1./ Cũng cố kiến thức

Hệ quả : {Của BĐT Côsi}

1) Nếu 2 số thực d ơng có ‘tổng’ không đổi thì ‘tích’ của

chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau

2) Nếu 2 số thực d ơng có ‘tích’ không đổi thì ‘tổng’ của

chúng đạt GTNN khi 2 số đó bằng nhau

⇔ a.b ≥ 0 (a, b cùng dấu)

⇔ a.b ≤ 0 (a, b trái dấu)

BĐT

chứa dấu

GTTĐ

 Chó ý c¸c TÝnh chÊt sau:

 x2 ≥ 0 , ∀ x ∈ R

 x2+y2+z2≥ 0, ∀ x,y, z ∈ R

DÊu ‘=‘ x·y ra khi x=y=z=0.

 x.y> 0 ⇔ x vµ y cïng dÊu.

1./ Còng cè kiÕn thøc

NÕu a, b ‘kh«ng ©m’, ta cã:

a≥ b ⇔ a2 ≥ b2

B2

Bài tập 1 Cho a> b>0 CMR: 1/a <1/b (1)

 Cách1:

(1)⇔1/a-1/b>0

⇔(b-a)/ab>0 (1’)

 Vì a>b>0⇒b-a<0 và

a.b >0 Do đó (1’) đúng

Vậy (1) đúng

 Cách 2:

Nhân hai vế của (1) với a.b>0 ta đ ợc:

(1) ⇔ b < a (1’) b < a (1’)

 Vì (1’) Vì (1’) đúng theo giả

thiết, nên (1) đúng.

KT C2

KT

C1

C 1

Bài 2:Cho a>0, b>0 CMR: (2)

a b + ≤ 2 a ( 2 + b2 )

 Giải:

Vì 2 vế đều d ơng Bình ph ơng 2 vế ta đ ợc:

(2) ⇔ (a+b)2 ≤ 2(a2+b2)

⇔ a2+b2-2ab≥ 0

⇔ (a-b)2 ≥ 0 (2’)

 Vì (2’) đúng nên (2) đúng

C1

KT

( Do a 0,b 0 > > ⇒ + = + a b a b )

Cách 2: Ta dễ dàng CM đ ợc: a2+b2 ≥ 2ab áp dụng

tính chất này, ta biến đổi Vế phải của (2) nh sau:

KT

Cách 2

( ) 2

VP ≥ a b + = + = + = a b a b VT

2 2

≥ + +

Hay : 2 a + b ≥ + a b CM xong

2 2 2 2

VP = a b + + + a b

Nhận xét: Để ý đến tổng bình ph ơng ở VP, ta có cách

giải nh sau: (PP vectơ)

( ) ( )

u 1;1 , v a;b r = r =

( )

u.v u v cos u, v

u v u v (*)

=

r r r r r r

r r r r

2 2

2 2

u.v a b,

u 2, v a b

u v 2 a b

= +

= = +

⇒ = +

r r

r r

r r

( )

( d o cos ur r, v ≤ 1)

Từ định nghĩa Tích vô h ớng

của 2 vectơ, ta có:

áp dụng (*) với:

Nhận xét: Để ý đến tổng bình ph ơng ở VP, ta có cách

giải nh sau: (PP vectơ)

ur = 1;1 , vr = a;b

( )

u.v u v cos u, v

u v u v (*)

=

r r r r r r

r r r r

u.v a b,

= +

r r

r r

C2

( )

( d o cos ur r, v ≤ 1)

Từ định nghĩa Tích vô h ớng

của 2 vectơ, ta có:

áp dụng (*) với:

Ta có:

Thay vào (*) ta có BĐT

Cần chứng minh !

Bài 5: Cho a,b d ơng CMR:

a) a 2 b+ab 2 ≤ a 3 +b 3

b) a/b+b/a≥ 2 c) (a+b)(ab+1)≥ 4ab

Giải:

a).Ta có:

(a)⇔a3-a2b+b3-ab2≥ 0

⇔a2(a-b)- b2(a-b)≥0

⇔(a-b)(a2-b2)≥0

⇔(a-b)2(a+b)≥0 (a’)

Vì (a-b)2≥0 và a+b>0

nên (a’) luôn đúng

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 2 2

3 3 2 2

VP

Cách khác:

áp dụng BĐT Côsi cho 3 số d ơng

Ta biến đổi Vế phải của (a) nh sau:

KT

KT

Bµi 5: Cho a,b d ¬ng CMR:

a) a 2 b+ab 2 ≤ a 3 +b 3

b) a/b+b/a≥ 2 c) (a+b)(ab+1)≥ 4ab

 C©u c):

¸p dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m, ta cã:

 Nh©n theo vÕ (1) vµ (2), ta ® îc:

(a+b)(ab+1)≥4ab (®pcm)

 DÊu ‘=‘ x¶y ra ⇔ {a=b vµ ab=1}⇔ a=b=1

( )

a b 2 ab (1)

ab 1 2 ab 2

+ ≥ + ≥

C¸ch 2

 Câu c): Cách 2:

Cũng áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm:

VP= (a2b+b)+(ab2+a)

 VP≥ 4ab= VT Hay:(a+b)(ab+1)≥ 4ab (đpcm)

 Dấu ‘=‘ xãy ra khi: a2b=b và ab2=a

⇔ a=b=1 (vì a,b d ơng)

 Nhận xét: Nếu a, b không âm Khi làm theo cách này, ta còn thấy dấu ‘=‘ xãy ra khi a=b=0.

Hãy tích cực suy nghĩ để có đ ợc

nhiều lời giải hay !

Bµi tËp lµm thªm.

3) tgx cot gx 2 4)

a b a b

+

Bµi 2

Xin chân thành Cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh đến tham dự buổi học ngày hôm nay

Chúc quý thầy cô sức khỏe và hạnh phúc !

Chúc các em học sinh mạnh khỏe, học giỏi !