PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Cho hàm số y= (x) xác định trên  đặt x k = x 0 + kh (k   ) với x 0  , h, bất kỳ , cho trước. gọi y k = f(x k ) là giá trị của hàm số (x) tại x= xk, khi đó, hiruj số ∆yk := yk+1  yk (k  ) được gọi là sai phân cấp 1 củ hàm số (x). Hiệu số ∆² yk := ∆yk+1 ∆yk = ∆(∆yk) (k  ) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số (x).Tổng quát ∆i yk := ∆i1 yk+1  ∆i1 yk = ∆(∆i1 yk) (k  ) được gọi là sai phân cấp i của hàm số (x) (i = 1,2,3,…n,..)

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

a.Sai phân:

 Định Nghĩa

: Cho hàm số y= ƒ(x) xác định trên  đặt x = x + kh (k ∈ )

với x ∈ , h∈, bất kỳ , cho trước gọi y = f(x ) là giá trị của hàm số

ƒ(x) tại x= xk, khi đó, hiruj số ∆yk := y k+1 − y k (k∈  ) được gọi là sai phân cấp 1 củ hàm số ƒ(x) Hiệu số ∆² yk := ∆y k+1−∆y k = ∆(∆y k ) (k∈  )

được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số ƒ(x).Tổng quát ∆ y k := ∆y k+1 − ∆y k

= ∆(∆y k ) (k ∈ *) được gọi là sai phân cấp i của hàm số ƒ(x) (i = 1,2,3,

…n, )

 Tính chất:

 Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm

số:

y,y1,y,….,y,…

 Sai phân hàm hằng bằng 0

 sai phân mọi cấp là một toán tử tuyến tính trên tập các hàm số Tức là:

∀i ∈ *, ∀α,β ∈ , ∀ƒ(x), g(x): → ta luôn có ∆ (αƒ(x) + βg(x)) = α∆ ƒ(x) + β∆ g(x)

 Sai phân cấp i của đa thức bậc n:

• là một đa thức bậc n−i khi i < n

• Là hằng số khi i = n

• Bằng 0 khi i > n

 Công thức sai phân từng phần:

∆ (ƒk.gk) = ƒk.∆gk + g k+1∆ ƒk

 tổng các sai phân:

∆y = y − y1

b Phương trình sai phân tuyến tính

 Định Nghĩa

; Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k.

f(yn; ∆yn; ∆²y; ;∆yn) =0 vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên có dạng: a0y + a 1 y + + a k yn = ƒ(n)

Trong đó a0,a1, , ak ƒ(n) đều đã biết, còn yn, y , , y là các giá trị chưa biết

• Phương trình được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp

k.

• Nếu ƒ(n) = 0 thì phương trình có dạng:

ay + ay + + ay = 0.

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k.

• Nếu ƒ(n) ≠ 0 thì có được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

 NGHIỆM.

• Hàm số y biến n thỏa mãn được gọi là nghiệm của phương

trình sai phân tuyến tính

• Hàm số y'n phụ thuộc k tham số thỏa mãn (3) được gọi là nghiệm tổng quát của (3)

• Một nghiệm y *n thỏa mãn (2) được gọi là một nghiệm riêng của (2)

c MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH.

: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT:

a:Định Nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương

trình dạng:

u 1=

α

, au n+1 + bu n = f(n) n∈ ¥ * (1), trong đó α , a ≠0, b≠0 là các hằng

số và f(n) là biểu thức của n cho trước.

b: Phương pháp:

Ta giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

• Giải phương trình đặc trưng: aλ+ b = 0 để tìm λ

• Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương

ứng: au n+1 + bu n = 0 dưới dạng u' = cλn ( c là hằng số).

• Tìm nghiệm riêng u của phương trình không thuần nhất.

• Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1): u n = u* n + u'

Lưu ý 1: Nếu f(n) = P m (n) là đa thức bậc m đối với n.

Khi đó:

Nếu λ ≠1 thì ta chọn u = Q(n) cũng là đa thức bậc m đối với n.

Nếu λ ≠1 thì ta chọn u =nQ(n) trong đó Q m (n) cũng là đa thức bậc m

đối với n.

: lưu ý 2:Nếu f(n) = p.βn (p; β ≠0) Khi đó:

Nếu λ ≠ β thì ta chọn x* n = d βn ( d ∈ ¡ )

Nếu λ=β thì ta chọn x* n = d n.βn ( d ∈ ¡ )

 Lưu ý 3: Nếu f(n) = α .sinnx + β.cosnx (α +β ≠0; x ≠ kπ ; k ∈ ¢).

Khi đó, ta chọn u* n = A.sinnx + B.cosnx với A; B∈¡ là các hằng số

 Lưu ý 4: Nếu: f(n) = 1

( ).

m k k

f n

=

∑

Khi đó ta chọn nghiệm riêng x* n của (1) dưới dạng: x* n = 1

m nk k

x∗

=

∑

trong đó

nk

x∗

tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (1) với vế phải

là f n k( )

:PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI:

 Định Nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương

trình dạng:

u 1=

α

,

2

u = β

, au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) n∈ ¥ * (1), trong đó α ,

β

, a, b, c là các hằng số a ≠0, c≠0 và f(n) là biểu thức của n cho trước.

Phương pháp:

Giải phương trình thuần nhất tương ứng

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) dưới dạng:

u n = u* n + u'n.

Giải phương trình thuần nhất tương ứng:

au n+1 + bu n+1 +cu n = 0.

Giải phương trình đặc trưng: a

2

λ

+ bλ+ c = 0 (2) để tìm λ

Các trường hợp nghiệm tổng quát của dãy:

Trường hơp 01: Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt: λ= λ1, λ= λ2 thì:

u'n = A.λ + Bλ trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2

Trường hơp 02: Nếu (2) có hai nghiệm kép: λ= λ1= λ2 thì:

u'n = (A+Bn)λ, trong đó A và B được xác định khi biết u 1 và u 2

Nếu: au n+1 + bu n+1 +cu n = f(n) với vế phải có dạng đặc biệt.

f(n) = P k (n) là đa thức bậc k đối với n.

Khi đó:

Nếu phương trình đặc trưng (2) không có nghiệm λ= 1 thì ta chọn

n

x∗

= Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu (2) có nghiệm đơn λ= 1 thì ta chọn x n

∗

= nQ k (n), trong đó Q k (n)

là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu (2) có nghiệm kép λ= 1 thì ta chọn x n

∗

= n 2 Q k (n), trong đó

Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

*Trường hợp khi f(n) = P k (n).

n

β

trong đó P k (n) là một đa thức bậc k đối với n.

Khi đó:

Nếu β không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì ta chọn:

n

x∗

= Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số cần được xác định.

Nếu β một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta chọn x n

∗

=

nQ k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

Nếu β một nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) ta chọn x n

∗

=

n 2 Q k (n), trong đó Q k (n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.

*Trường hợp 04: f(n) = 1

( ).

m k k

f n

=

∑

Khi đó ta chọn nghiệm riêng x* n của (2) dưới dạng: x* n = 1

m nk k

x∗

=

∑

trong

đó x nk

∗

tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) với vế

phải là f n k( )và được tìm theo một trong các trường hợp trên.

 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA:

 Định Nghĩa :

Cho a, b, c, d, α β γ, , là các hằng số thuộc tập ¡ ; a ≠0 ; d ≠0 còn f(n) là một hàm số biến số n Phương trình:

( )





được gọi là phương trình sai phấn tuyến tính cấp 03.

 phương pháp tìm nghiệm riêng:

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 03 có nghiệm tổng quát dạng:

.

u = +u∗ u∧

trong đó, u n

∧

là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

thuần nhất, còn u n

∗

là nghiệm riêng của phương trình đã cho

Cách tìm u n

∧

Xét phương trình đặc trưng:

0.

aλ +bλ +cλ + =d

(3)

Nếu (3) có ba nghiệm thực phân biệt thì: u n

∧

= C1 1

n

λ

+ C2 2

n

λ

+ C3 3

n

λ

Nếu (3) có nghiệm kép và một nghiệm đơn thì: u n

∧

= (C1 + C2n) 1,2

n

λ

+ C3

3n

λ

Nếu (3) có một nghiệm chung duy nhất: u n

∧

= (C1 + C2n+ C3n2)

n

λ

Kí hiệu: C1; C2; C3 là các hằng số mà sẽ được xác định bằng cách thay u n

∧

vào các điều kiện biên và giải hệ phương trình thu được

Cách tìm u n

∗

:

Trường hợp 01: Nếu f(n) = Pm(n) là đa thức bậc m đối với n thì:

Khi (3) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn: u n

∗

= Qm(n) trong đó Qm(n) là

đa thức bậc m đối với n

Khi (3) có nghiệm đơn λ = 1 thì ta chọn: u n

∗

= nQm(n) trong đó Qm(n) là

đa thức bậc m đối với n

Khi (3) có hai nghiệm λ = 1 thì ta chọn: u n

∗

= n2Qm(n) trong đó Qm(n) là

đa thức bậc m đối với n

Khi (3) có cả 3 nghiệmλ = 1 thì ta chọn: u n

∗

= n3Qm(n) trong đó Qm(n) là

đa thức bậc m đối với n

 Nếu f(n) = A.

n

µ

( A ; µ là các hằng số cho trước) thì

Khi µ không là nghiệm của (3) thì ta chọn: u n

∗

= B.

n n

µ

với B là hằng số

được xác định bằng cách thay u n

∗

vào phương trình đã cho.

Khi µ là nghiệm đơn của (3) thì ta chọn: u n

∗

= B.n.

n n

µ

Khi µ là nghiệm bội hai của (3) thì ta chọn: u n

∗

= B.n 2

n n

µ

Khi µ là nghiệm bội ba của (3) thì ta chọn: u n

∗

= B.n 3

n n

µ

.

 Nếu nhìn một cách sơ qua ta mới đặt câu hỏi tại sao lại không cho nó cái tên hay cách làm tổng quát luôn Câu trả lời ở chỗ nếu bạn làm thì bạn sẽ biết: phần đa khi đọc đến đây ta đều đi tìm câu trả lời tổng quát cho nó nhưng nếu bạn có đủ kiên nhẫn hay viết lách tài tình thì bạn cứ bám lấy nó chứ còn nếu ai ít kiên nhẫn thì sẽ dễ từ bỏ ngay vì thực ra những gì ta đã nêu thì chưa xét hết các trường hợp lấy nghiệm cho nó vì đề ra cũng chỉ hay ra ở ba mục này nên có thể mục sau một số người

không cần phải ghi nhớ, sau đây ta sẽ đưa ra công cho phương trình tổng quát:

NHẬN XÉT VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

Định nghĩa: Phương trình

ay + ay + … + ay = f(n)

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp cao:

phương pháp:

A. Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

- Giải phương trình đặc trưng

aλ + aλ + … + a.λ + a = 0

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

Nếu(2) có k nghiệm thực khác nhau là

1 , , , 2 k

thì nghiệm tổng quát là

y' = cλ + cλ + … + c (3)

trong đó c c1, , ,2 c k là các hằng số tùy ý

• Nếu (2) có nghiệm thực λj bội s thì nghiệm tổng quát là:

1

• Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức đơn

thì λj =r c( osθ−i.sin )θ cũng là nghiệm của (2)

Đặt λj+1 =λj Để thu được công thức nghiệm tổng quát,

trong công thức (3) ta thay bộ phận

1 1

cλ +c+λ+

bởi bộ phận tương ứng

1

c r nθ +c r+ nθ

• Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức bội s

λ = λ+ = = λ+ − = θ θ

thì (2) cũng có nghiệm phức bội s liên hợp với λj là λj mà ta đặt là

λ + = λ+ + = = λ + − = θ − θ

Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm

tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận

1 1 2 1 2 1

c λ +c +λ+ + +c + −λ+ −

bởi bộ phận tương ứng

B. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k làm tương tự như tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai và cấp ba

C. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k Ngiệm tổng quát có dạng

y= y'n + yn

trong đó

• y n là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k

• y' là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng.

•

*

n

y

là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất