Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NI NA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60... Trong lý thuyết điều khiển c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ NI NA

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2016

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học là mộttrong những lĩnh vực toán học ứng dụng được nhiều nhà nghiên cứurất quan tâm Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học làdùng những mô hình và các phương pháp toán học ứng dụng để giảiquyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển Rất nhiềubài toán thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…được mô tả bởi các phương trình toán học điều khiển thuần túy vàcần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại để tìm lời giải

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật,điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học được mô tả bởi cácphương trình sai phân với thời gian liên tục hoặc rời rạc Nội dungcủa nó là đưa các bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phânhoặc hệ phương trình sai phân Trong lý thuyết điều khiển cũng nhưtrong nhiều vấn đề của các ngành khoa học khác, việc giải quyết cácphương trình sai phân có ý nghĩa rất lớn vì các mô hình động lực sẽdẫn đến phương trình sai phân của một hay nhiều hàm số Thôngthường nếu gọi các biến độc lập là n và các hàm số là y , y , , y1 2 kthì thông qua việc giải các phương trình sai phân thu được ta sẽ tìm

ra các quan hệ y (n),y (n), ,y (n) từ đó tìm ra các tính chất của hệ1 2 kđộng lực được khảo sát

Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng của toán học, cụ thể là ứngdụng của phương trình sai phân trong việc mô tả, biểu diễn và nghiêncứu hệ động lực học và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn nêntôi chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất » làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là dựa vào phương trình sai phân bậc nhấtphân tích một cách toàn diện và đầy đủ về sự ổn định của các hệđộng lực học phổ biến như: logistic, lều, Ngoài ra, các nguyên lý cơbản của sự phân nhánh và lý thuyết ổn định cũng được đề cập vànghiên cứu trong đề tài

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các mô hình động lực học dạng phương trình saiphân bậc nhất

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các mô hình động lực học được mô tả bởiphương trình sai phân bậc nhất một biến, giải số phương trình saiphân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic và phân nhánh…

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnhvực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phươngtrình vi phân, Lý thuyết sai phân…

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài

liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạyquan tâm đến động lực học và phương trình sai phân bậc nhất…

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồmhai chương

Mở đầu

Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mụcđích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định

Chương 1 Sơ lược về phương trình sai phân

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình saiphân, sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, phương trình saiphân bậc nhất

Chương 2 Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậcnhất

Trong chương 2, luận văn giới thiệu về điểm cân bằng trong

hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện cũng nhưnghiệm số của phương trình sai phân Ngoài ra, tiêu chuẩn tiệm cậngần đúng của điểm cân bằng, các định nghĩa về điểm định kì và chutrình, lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục cũng được khái quáttrong chương 2

Kết luận

Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đạt được

CHƯƠNG 1

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân của hàm số một biến thực

1( ) ( y( ))

k y n k n

Kí hiệu 0y n( ) y(0). Bằng phương pháp quy nạp toán học,

ta chứng minh được sai phân hữu hạn bậc k là tuyến tính, tức là:

k i

0( ) k ( 1) y( ( ) ).

k m

được gọi là phương trình sai phân

Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi côngthức (1.3) thì ta nhận được phương trình:

y n

CHƯƠNG 2

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

SAI PHÂN BẬC NHẤT2.1 CẤU TRÚC CƠ BẢN

Phương trình sai phân thường được sử dụng để mô tả sự vậnđộng của một hiện tượng nào đó trong tự nhiên mang tính quy luậttheo thời gian Ví dụ như việc mô tả quá trình phát triển dân số từngnăm của một quốc gia hay một vùng nào đó Nếu gọi (x n 1) là sốdân tại thời điểm năm thứ ( 1)n  thì (x n 1)là một hàm theo ( ).x n

Sự liên hệ này được biểu thị bởi phương trình sai phân sau đây:

( 1) ( ( ))

Tập hợp { ( ): n 0}f x n 0  với 0

0 0( )

f x x theo định nghĩa đượcgọi là quỹ đạo của x0 và được kí hiệu là O x( ).0

Nếu hàm f trong (2.1) được thay thế bởi hàm g hai biến:

g Z R R trong đó Z là tập các số nguyên không âm và R là tập các số thực.Khi đó ta có:

( 1) ( , ( ))

Phương trình có dạng (2.2) được gọi là không ô-tô-nôm haynói một cách khác, phương trình này phụ thuộc vào biến thời gian.Trong khi đó phương trình có dạng (2.1) được gọi là ô-tô-nôm haykhông phụ thuộc vào biến thời gian

2.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT

Trong phần này chúng ta nghiên cứu dạng đặc biệt của (2.1) và(2.2), đó là các phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính bậc nhất thuần nhất được cho bởi côngthức:

Ví dụ 2.3 Một loại thuốc được uống 4 giờ một lần Gọi ( )D n

là lượng thuốc trong hệ thống máu tại thời điểm n Cơ thể loại bỏ

( 1) ( 1) y(n) 2 ( 1)!, (0) 1,n 0

một phần p nào đó trong mỗi khoảng thời gian Giả sử lượng dùngthêm vào là D n0( ), tìm ( )D n và lim ( ).

Định nghĩa 2.1 Điểm x* thuộc miền xác định của hàm f

Định nghĩa 2.2 Lấy một điểm x thuộc miền xác định của

Định nghĩa 2.3 Điểm cân bằng x* của (2.1) là ổn định nếu

n

định

Định nghĩa 2.4. x* được gọi là điểm hấp dẫn nếu  0 sao

 

Nếu    thì x* được gọi là tập hút toàn cục

Định nghĩa 2.5 Điểm x* được gọi là điểm cân bằng ổn địnhtiệm cận nếu nó ổn định và hấp dẫn

2.3.1 Sơ đồ bước cầu thang

Sau đây là một phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phântích sự ổn định của điểm cân bằng của   2.1

Với (x n 1) f x n( ( )) ta vẽ đồ thị của hàm f trên mặt phẳng

( ( ), ( 1)).x n x n  Sau đó, cho x(0)x0 ta xác định giá trị của (1)x

bằng cách vẽ một đường thẳng đứng qua x sao cho đường thẳng này0

cắt đồ thị của f tại ( , (1)).x x0

Tiếp theo vẽ một đường ngang từ ( , (1))x x0 giao với đường

y x tại ( (1), (1)).x x Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm ( (1), (1))x x

giao với đồ thị f tại điểm ( (1), (2)) x x

Cứ tiếp tục quá trình này, người ta có thể thấy ( )x n với mọi

Ta cũng có thể tìm giải đóng của (2.23) bằng cách sử dụngcác phần mềm toán học, chẳng hạn như Maple Chương trình nhậpvào sẽ có dạng:

0({ (n+1) a* (n) , (0) }, ( ))

x t được cho bởi phương trình ( ( x t h x t ) ( )) / h

Thay các giá trị này vào (2.24), ta được:

( ) ( ) ( , ( ))

x t h x t hg t x t

Thay t t 0 nh, ta có:

x t  n h x t nh hg t nh x t nh     (2.25)với n 0,1,2, , N 1.

Thay x t nh(0 ) bằng ( ),x n ta được phương trình:

x t  x t  x(0) 1, t 0,1

Lời giải Phương trình sai phân tương ứng sử dụng phương

pháp Euler là:

2( 1) ( ) 0.7 ( ( ) 1), (0) 1

1 0

x 

2.4.2 Sơ đồ phi tiêu chuẩn

Xét phương trình vi phân logistic, nếu ta thay x n trong2( )phương pháp Euler bởi ( ) (n 1)x n x  ta có:

( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)

x n x n hax n hax n x n  Khi đó, ta thu được phương trình sai phân:

Phương trình này có 2 điểm cân bằng là x 1* 0 và x *2 1 Từ

sơ đồ mạng nhện (Hình 2.18) ta kết luận rằng lim ( ) 1

n x n

   khi1

 

Từ đó h  0,   1 khi và chỉ khi  0 Như vậy, tất cả cácnghiệm hội tụ đến điểm cân bằng *

(i) Nếu f x'( ) 1 *  thì x* là ổn định tiệm cận

(ii) Nếu f x'( ) 1 *  thì x* là không ổn định

Ví dụ 2.4 Phương pháp Newton-Raphson

Phương pháp Newton-Raphson là một trong những phươngpháp nổi tiếng nhất cho việc tìm nghiệm của phương trình ( ) 0,g x 

trong đó ( )g x là hàm khả vi liên tục Thuật toán Newton tìm kiếm

nghiệm x của ( )* g x được cho bởi phương trình sai phân:

Lưu ý rằng x* của g x ( ) là một điểm cân bằng của (2.28) Đểxác định thuật toán Newton, giả sử dãy { (n)} x hội tụ đến x*, sửdụng định lý 2.1 ta được:

Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp f x '( ) 1.*

Định lý 2.2 Giả sử cho trạng thái cân bằng điểm x* của (2.1),

*

'( ) 1

f x  Khi đó, các mệnh đề sau là đúng:

(i) Nếu f x ''( ) 0* thì x* không ổn định

(ii) Nếu f x ''( ) 0* và f x '''( ) 0* thì x* không ổn định.(iii) Nếu f x ''( ) 0* và f x '''( ) 0* thì x* ổn định tiệm cận.Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trước đó để giải quyết bài toántrong trường hợp f x  '( )* 1

Trước tiên, ta tìm hiểu các khái niệm về đạo hàm hàmSchwartz của hàm f :

2'''( ) 3 ''( )

(i) Nếu S f x ( ) 0* thì x là ổn định tiệm cận.*

(ii) Nếu S f x ( ) 0* thì x là không ổn định.*

Định lý 2.2 (phần (ii) và (iii)) nói rằng sự ổn định tiệm cận của

Tìm các điểm cân bằng và xác định sự ổn định của nó

Lời giải Đặt f x( )x23 x Điểm x* là điểm cân bằng củaphương trình trên khi f x( )* x*, hay ( )x* 23x*x* Ta được haiđiểm cân bằng là x  và* 0 x  * 2

Ta có '( ) 2f x  x3 Khi đó '(0) 3f  , theo định lý 2.1 thì

* 0

x  là không ổn định

(i)b được gọi là điểm định kỳ của hàm f (hay của (2.27)) nếu có

một số nguyên dương k, sao cho f b b k( ) Do đó, một điểm định

kỳ k nếu nó là điểm bất động của f k, có nghĩa là nó là điểm cânbằng của phương trình sai phân:

O( ) { , ( ), ( ), ,b  b f b f b f k ( )}b thường được gọi là một chu kỳ k

(ii) b được gọi là điểm định kỳ k cuối cùng nếu với số m nguyên

dương, f bm( ) là điểm định kỳ k Nói cách khác, b được gọi làđiểm định kì k cuối cùng nếu:

2( )

(i) Ổn định nếu nó là điểm bất động ổn định của fk.

(ii) Ổn định tiệm cận nếu nó là một điểm bất động ổn định tiệm cậncủa f k.

(iii) Không ổn định nếu nó là một điểm bất động không ổn định của

.

k

f

Định lý 2.4 Cho ( ) { = (0), (1), , ( -1)}O b  b x x x k là một chu

kỳ k của hàm f khả vi liên tục Các mệnh đề sau là đúng:

(i) Chu kỳ k của O (b) là ổn định tiệm cận nếu:

2.7 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH

Bây giờ chúng ta trở lại với ví dụ quan trọng nhất trongchương này, phương trình sai phân logistic:

( 1) ( )[1 ( )]

x n x n x n (2.36)Đặt

( ) (1 ), [0,1], >0

F x x x x  (2.37)

Khi đó, ta được điểm cố định là x * 0 và x*(1) / 

Tiếp theo, ta kiểm tra sự ổn định của các điểm cân bằng trong mỗitrường hợp trên

Hình 2.31 và 2.32 mô tả điểm cân bằng x * 0 Khi''(0) ,

F  theo định lý 2.1 và 2.2 ta thấy rằng:

(i) 0 là một điểm bất động ổn định tiệm cận với 0    1.

(ii) 0 là điểm bất động không ổn định với   1.

Cần chú ý trong trường hợp   1 , ta có F1'(0) 1 và''(0) 2 0

F    Áp dụng định lý 2.2, ta kết luận rằng x * 0 làkhông ổn định

Hình 2.31 và 2.32 mô tả điểm cân bằng

(i) x* là một điểm bất động ổn định tiệm cận với1    3.

(ii) x* là điểm bất động không ổn định với   3.

2 2x ( 1) +x 1 0

Giải phương trình trên ta thu được chu kỳ 2:

(0) [(1 ) ( 3)( 1)] / 2 ,(1) [(1 ) ( 3)( 1)] / 2

x x

kỳ 23 mới này hấp dẫn với 3  4, với 4 bất kì

Quá trình phân đôi nhánh tiếp tục vô thời hạn và như vậy, tađược một chuỗi { }n n0

 với nlà một phân nhánh trong chu kỳ1

2n đến chu kỳ 2 n

2.7.4 Sơ đồ phân nhánh

Quy ước trục ngang biểu diễn cho đại lượng , trục dọc biểudiễn cho quá trình lặp của F xn( ) Với giá trị bất động x0, sơ đồphân nhánh biểu diễn các giá trị của F xn( ).0

2.8 LỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC

Định nghĩa 2.8 Cho x* là một điểm bất động của bản đồ f

Khi đó, lưu vực hấp dẫn (hoặc các thiết lập ổn định) W x s( )* của x*

điểm bất động không ổn định và -1 là điểm bất động cuối cùng tiếnđến 1 sau một lần lặp.

Ví dụ 2.14 Xét biểu đồ g [-2,4] [ 2,4]:   được cho bởicông thức:

Hơn nữa, lưu vực hấp dẫn ngay lập tức của *

1 0

x  là(0) s(0) ( 1,1),

B W   trong khi (4) (1,4].B 

Định nghĩa 2.9 Một tập hợp M là bất biến dương theo biểu

đồ f nếu (M) Mf  hay với mỗi x M ta có ( )O x M

Định lý 2.6 Cho f I: I I, [ , ]a b là bản đồ liên tục và

* [ , ]

x  a b là điểm bất động của f Khi đó, các mệnh đề sau là đúng:

(i) Lưu vực hấp dẫn ngay lập tức B x( )* là khoảng chứa x*, đó làmột khoảng mở ( , )c d hay có dạng [a,c) ( , ] d b và B x( )* là bấtbiến

(ii)W x s( )* là bất biến và W x s( )* là hợp của hai khoảng mở[a,c) ( , ]. d b

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được các kết quả sau:

Luận văn đã trình bày sơ lược về phương trình sai phân bậcnhất, các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân

Luận văn tìm hiểu về điểm cân bằng trong hệ động lực học,cách tìm điểm cân bằng cũng như nêu phương pháp để xét tính ổnđịnh của các điểm đó

Luận văn cho ta một số kiến thức cơ sở về phương trìnhlogistic và sự phân nhánh Ngoài ra, luận văn còn cung cấp một sốkiến thức về lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục

Những kết quả trong luận văn là dựa trên cơ sở của giáo trình

An Introduction to Difference Equations, Third Edition, New York,

USA, Saber N Elaydi (2005)

Vì thời gian và năng lực bản thân có hạn nên bản luận văn nàykhông thể tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận được sựgóp ý của các thầy cô và các bạn