tuyển tập phương pháp giải phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1... CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH PHẦN 3.PHƯƠNG TRÌNH LƯ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN 1:

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Bảng giá trị của các g c đặc biệt

3 Giá trị lượng giác của các cung ên quan đặc biệt

“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch ”

3 Công thức ượng giác

 Công thức cộng:

 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

 tan(a – b) = tan tan

 Công thức nhân đôi:

 sin2a = 2sina.cosa  sin a.cos a = sin2a 1

2

 cos2a = cos2

a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a

 tan2a = 2 tan2

1 tan

a a

 Công thức nhân ba:

 sin3a = 3sina – 4sin3a

 cos3a = 4cos3a – 3cosa





 Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo

tan2



 cosx =

2 2

11

t t



 cotx =

2

12

t t



 Công thức biến đổi tổng thành tích:

 cos sin 2 ( ) 2 sin( )

 Công thức biến đổi tích thành tổng:

 cos cos 1cos( ) cos( )

3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T  2 4) Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

3) Là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T  2 4) Đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

k2 ; k2, k  5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy

3 Hàm số y = tanx

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T  

4 Hàm số y = cotx

1) Miền xác định D \ k , k    

2) Tập giá trị là 

3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T  

4) Nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k, k 

5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng xkk  làm một đường tiệm cận

5 Chu kỳ của hàm số ượng giác

5.1 Định nghĩa:

Ta nói hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x)

Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2

T5

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH PHẦN 3.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Nếu cung (hoặc góc) lượng giác  AM có số đo là k2

 (ta chọn k = 0, k = 1)



và 1912

 (ta chọn k = 0,

6



 , 3

, 56



và 43

cách đều nhau

Vậy cung tổng hợp là: x k

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C

 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1) cos x  m m 1, m  cos  cos x  cos x k2 , k

3) tan x  m m  tan x tan x  tan  x   k , k 

4) cotx  m m  cot  cot x  cot  x    k , k  

Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ:

7) sin x2  1 cos x 8) 0 cos x2  1 sin x  0

Ví dụ Giải phương trình: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)

 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác:

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải toán:

 Bước 1 Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có)

 Bước 2 Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 sin x2 sinx 2  (1) 0

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

Phương pháp giải toán:

Cách 1:

 Bước 1 Chia hai vế (*) cho a và đặt b

tg

a  

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán:

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

   , chia hai vế cho cosn

x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc

cos2x hoặc phương trình tích

Ví dụ 3 Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3)

(3)  cos x(2 cos x1) sin x(12 sin x)

 cos x cos 2x3  sin x cos 2x3 cos 2x 0

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán:

 Bước 1 Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x 

Đặt t = sinx + cosx   2  t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được: t2 ( 21)t 2  0      t 1 t 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

25

C CÁC DẠNG PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC



I Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Bài 1 Giải các phương trình sau:

II Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Bài 2 Giải các phương trình sau:

CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

III Phương trình đẳng cấp bậc nhất đối với sinx và cosx:

Bài 4 Giải các phương trình sau:

IV Phương trình đẳng cấp bậc Hai đối với sinx và cosx:

Bài 7 Giải các phương trình sau:

V Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx:

Bài 8 Giải các phương trình sau:

CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

Bài 5: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:

CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

… … …

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

(Trích trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học từ 1996 tới nay)

b Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm?

Bài 11: ĐHKT 2001-Giải và biện luận theo m phương trình:

Bài 12: Giải các phương trình:

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

x x

cos

12cos3

)2

22

cos.sin)sin(cos

x

4)

2 

x

2cos1

sin)



2 3 28



26

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi CĐ - ĐH

k x

sin21(

cos)

sin21(

x x

64(Khối B – 2009)

)sin4(cos2

3.32sin.cossin

3

x x

x co x

x x