Phương trình hàm cauchy cộng tính và tính ổn định

Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính.. Bên cạnh một số cách ti

NGUYỄN THANH THẢO

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng

8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về phương trình hàm là một lĩnh vực được ra đời và phát triển mạnh mẽ trong lịch sử của ngành Giải tích Toán học Trong đó, phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận cũng như phương pháp giải cho hầu hết các dạng toán liên quan A.M Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho

việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính Có thể thấy tính chất của hàm cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy cộng tính Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết của phương trình hàm Cauchy nói riêng và phương trình hàm nói chung Bên cạnh một số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên

cứu định tính (xác định một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên

cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn thì tính ổn định nghiệm của phương trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên cứu chính khi

tiếp cận phương trình hàm

Chính vì tất cả các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình

hàm Cauchy c ộng tính và tính ổn định” để nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

– Nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính và mối liên hệ giữa hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính

– Nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của hàm cộng tính và tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính

4 Phương pháp nghiên cứu

– Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài báo khoa học và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo thì

nội dung luận văn gồm hai chương

Chương 1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính

Chương 2 Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH

1.1 GIỚI THIỆU

Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M Legendre – người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy

f x+y = f x + f y

với mọi ,x y∈ Đến năm 1821, A.L Cauchy bắt đầu đề xuất những nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính

trong sách Cours d’Analyse của mình Hàm cộng tính chính là

nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên Vì vậy trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính

Đầu tiên ta định nghĩa như thế nào là một phương trình hàm Sau

đó xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng những hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính Hơn nữa, chúng ta nghiên cứu dáng điệu của các hàm cộng tính phi tuyến không liên tục, từ đó chỉ ra rằng chúng biểu hiện một dáng điệu rất

lạ: đồ thị của chúng trù mật trong mặt phẳng Tiếp theo, chúng ta đề

cập một cách ngắn gọn về cơ sở Hamel và ứng dụng của nó trong việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục Chúng ta cũng sẽ xem xét dưới những tiêu chuẩn khác để nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính Bên cạnh đó, chương này cũng

sẽ đề cập đến một số hàm cộng tính phức tạp khác Kết thúc chương

là tập hợp các nhận xét, nơi chúng ta nêu ra một số vấn đề mở rộng

và phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính

1.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính là các hàm Giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu)

1.3 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH

Trong phần này, chúng ta giới thiệu về phương trình hàm Cauchy

cộng tính và xác định nghiệm chính quy của nó

Định nghĩa 1.1 Một hàm : f → được gọi là một hàm cộng

tính n ếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính

( ) ( ) ( ) (1.1)

f x+y = f x + f y với mọi , x y ∈

Định nghĩa 1.2 Một hàm : f → được gọi là một hàm tuyến

Chúng ta bắt đầu với việc chứng minh rằng, chỉ những nghiệm hàm liên tục của phương trình hàm Cauchy mới là hàm tuyến tính Kết quả này đã được Cauchy khẳng định vào năm 1821

Định lý 1.1 Cho : f → là một hàm liên tục thỏa mãn

phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi đó f tuyến tính; vì vậy, ( ) f x =cx v ới c là một hằng số tùy ý

Lưu ý rằng trong Định lý 1.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của

hàm f để kết luận f khả tích Tính khả tích của hàm f làm cho

nghiệm hàm của phương trình hàm Cauchy cộng tính trở nên tuyến tính Vì vậy, mọi hàm cộng tính khả tích đều tuyến tính

Định nghĩa 1.3 Một hàm : f → được gọi là khả tích địa

phương khi và chỉ khi nó khả tích trên mọi khoảng hữu hạn

Có thể kết luận rằng mọi nghiệm khả tích địa phương của phương trình hàm Cauchy cộng tính đều tuyến tính thông qua một

chứng minh đã biết của Shapiro (1973)

Mặc dù chứng minh của Định lý 1.1 là khá ngắn gọn và chỉ vận dụng các tính toán thông thường, tuy nhiên nó chưa làm sáng tỏ vấn

đề liên quan giữa tính cộng tính và tính tuyến tính Bây giờ chúng ta

sẽ đưa ra một chứng minh khác để có thể hiểu rõ hơn về dáng điệu

của nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Trước tiên, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.4 Một hàm : f → được gọi là thuần nhất hữu

tỷ khi và chỉ khi

( ) f rx =rf x( ) (1.5)

v ới mọi x∈ và với mọi số hữu tỷ r

Định lý sau đây sẽ chỉ ra bất kỳ nghiệm nào của phương trình hàm Cauchy cộng tính cũng thuần nhất hữu tỷ

Định lý 1.2 Cho : f → là một nghiệm của phương trình

hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi đó f là một hàm thuần nhất hữu

t ỷ Hơn nữa, f tuy ến tính trên tập hợp số hữu tỷ 

Định lý 1.3 Cho f là một nghiệm của phương trình hàm

Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục tại một điểm thì nó liên tục tại mọi điểm

Định lý 1.4 Cho f là một nghiệm của phương trình hàm Cauchy c ộng tính (1.1) Nếu f liên tục tại một điểm thì f tuyến tính; vì vậy, ( ) f x =cx v ới mọi x∈

1.4 NGHI ỆM KHÔNG LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY CỘNG TÍNH

Trong phần trước, chúng ta đã chỉ ra rằng một nghiệm liên tục

của phương trình Cauchy cộng tính thì tuyến tính Hay nói cách khác, hàm cộng tính liên tục thì tuyến tính Thậm chí, khi chúng ta nới lỏng điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm, thì hàm cộng tính vẫn tuyến tính Trong nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính không liên

tục là một vấn đề bỏ ngỏ Các nhà toán học không thể chứng minh được mọi hàm cộng tính là liên tục, cũng không thể chỉ ra một ví dụ

về hàm cộng tính không liên tục Mãi đến năm 1905, một nhà toán học người Đức là G Hamel đã thành công trong việc minh chứng sự

tồn tại của hàm cộng tính không liên tục

Bây giờ chúng ta tìm hiểu về nghiệm phi tuyến của phương trình Cauchy cộng tính Đầu tiên, chúng ta chứng tỏ rằng nghiệm phi tuyến

của phương trình Cauchy cộng tính biểu thị một dáng điệu rất kì lạ

Định nghĩa 1.5 Đồ thị của một hàm : f → là tập hợp

{( , ) | , ( ) }

G= x y x∈ y= f x

Định lý 1.5 Đồ thị của mọi nghiệm hàm phi tuyến : f →

của phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi trong mặt

ph ẳng  2

Vậy đồ thị của một hàm cộng tính liên tục là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ Trong khi đó, đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến trù mật trong mặt phẳng  2

Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm của cơ sở Hamel để xây dựng

một hàm cộng tính gián đoạn

Xét tập hợp

S= ∈s  s= +u v +w u v w∈

với mỗi phần tử của tập hợp là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của

1, 2, 3 Hơn nữa, tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất Vì vậy, giả sử

một phần tử s S∈ có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, ví dụ như

s= +u v +w = +u v +w

thì u=u v', = và v' w=w' Để chứng minh điều này chúng ta lưu ý

rằng giả thuyết này dẫn tới

(u u− ') (+ −v v') 2+(w w− ') 3= 0

Đặt a=(u u− '),b= −(v v') và c=(w w− '), ta thấy rằng biểu thức trên được thu gọn thành

Điều này kéo theo b hoặc c phải bằng không Thật vậy, vì nếu b và

c đồng thời khác không, chúng ta có thể chia hai vế cho 2bc và thu

được

3 0

a+c = ; suy ra c= (vì 30 a

c

= − là một số hữu tỷ trái với thực

tế rằng 3 là một số vô tỷ) Tương tự, nếu c=0, ta có được b= 0

Vì vậy cả b và c đều bằng không Điều này ngay lập tức dẫn đến 0

a=

Nếu chúng ta đặt

{1, 2, 3 ,}

B=thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ duy nhất của

các phần tử thuộc tập hợp B Khi đó, tập hợp B được gọi là một cơ

sở Hamel của tập hợp S Về mặt hình thức thì một cơ sở Hamel

được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.6 Cho S là một tập các số thực và B là một tập

h ợp con của S Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ (hữu hạn) duy nhất của B

Định lý 1.6 Cho B là một cơ sở Hamel của  Nếu hai hàm

c ộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B , thì chúng bằng nhau

Định lý 1.7 Giả sử B là một cơ sở Hamel của  Cho

:

g B →  là một hàm tùy ý xác định trên B Khi đó tồn tại một hàm

cộng tính : f → sao cho ( ) f b =g b( ) với mọi b B ∈

Với sự xuất hiện của cơ sở Hamel, tiếp theo chúng ta có thể xây

dựng một hàm cộng tính phi tuyến như sau Giả sử B là một cơ sở

Hamel của tập số thực  Cho b B∈ là một phần tử tùy ý của tập

f x =g x với mọi x B∈ Lưu ý rằng, hàm f có thể không tuyến tính đối với x B ∈ và x b≠ , vì ta có

( ) ( )

f x f b

x ≠ b

Vì vậy f là một hàm cộng tính phi tuyến

Nhận xét 1.1 Không có ví dụ cụ thể nào về một cơ sở Hamel của

 , chúng ta chỉ biết được nó tồn tại mà thôi Đồ thị của một hàm

c ộng tính gián đoạn trên tập  không dễ dàng để vẽ hay biểu diễn vì tập {f x( ) |x ∈ là trù mật trong  }

1.5 CÁC TIÊU CHUẨN KHÁC CỦA SỰ TUYẾN TÍNH

Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt

phẳng Vì vậy, mọi hình tròn luôn chứa một điểm ( )x y sao cho ,( )

y= f x Chúng ta cũng thấy rằng một hàm cộng tính f là hàm

tuyến tính khi bắt buộc f phải liên tục Người ta có thể làm suy

giảm điều kiện liên tục này thành liên tục tại một điểm mà f vẫn

tuyến tính Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra một số điều kiện tựa chính quy làm cho một hàm cộng tính trở nên tuyến tính

Định lý 1.8 Nếu một hàm cộng tính thực bị chặn một phía hoặc

đơn điệu thì tuyến tính

Nhận xét 1.2 Lưu ý rằng vì f bị chặn trên  và f tuyến tính

nên f x( )= v0 ới mọi x∈ Thật vậy, giả sử x là một số sao cho 0

( )0 0

f x ≠ B ằng phương pháp quy nạp chúng ta chứng minh được

( )0 ( )0

f nx =nf x v ới mọi n∈ Ta có thể làm cho nf x( )0 lớn tùy

ý khi ta tăng n Điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của f x Vì ( )

vậy f x( )= v0 ới mọi x∈

Trong định lý tiếp theo chúng ta không chỉ giả sử rằng f bị chặn

trên  , hơn thế ta giả sử f bị chặn trên một khoảng đóng [ ]a b v, ới

a b∈

Định lý 1.9 Nếu f là m ột hàm thực cộng tính bị chặn trên đoạn

[ ]a b, , khi đó f tuyến tính; vì vậy, tồn tại một hằng số c sao cho

( )

f x =cx v ới mọi x∈

Định nghĩa 1.7 Một hàm f được gọi là nhân tính nếu và chỉ

n ếu f xy( )= f x f y( ) ( ) v ới mọi x và y

Định lý 1.10 Nếu hàm cộng tính f cũng là hàm nhân tính, khi

đó f tuyến tính

Nhận xét 1.3 Từ những gì chúng ta đã nghiên cứu, có thể thấy

rằng các nghiệm liên tục, đơn điệu hoặc đo được : f → của

phương trình hàm Cauchy cộng tính luôn có dạng f x( )=cx , với c

là một hằng số thực tùy ý Vì vậy chúng giải tích Chúng ta cũng đồng thời biết được phương trình hàm Cauchy cộng tính có nghiệm không chính quy Điều này tùy thuộc vào thực tế là nghiệm tổng quát

c ủa phương trình hàm Cauchy cộng tính có thể được quy ước một cách tùy ý trên một cơ sở Hamel cố định và có thể mở rộng ra trên

 theo một cách duy nhất Vì vậy, tồn tại các khả năng sau đây:

Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính là chính quy (trong trường hợp này là giải tích) hoặc không chính quy (trong trường hợp này là không có tính liên tục, không đơn điệu trên bất kì khoảng riêng nào và cũng không đo được) Một khả năng tương tự có thể được phát biểu cho nhiều phương trình hàm Tiêu biểu là người ta có thể giả sử các tính chất chính quy yếu của một hàm chưa biết (chẳng hạn như tính đo được, tính chất Baire, tính đơn điệu, tính liên tục)

và sử dụng phương trình hàm và để dẫn tới các tính chất chính quy bậc cao hơn Kết quả của quá trình này được gọi là lý thuyết chính quy đối với phương trình hàm và Jarai (2005) đã đưa ra một bài báo cáo tuyệt vời về kết quả này

đề sau đây

Bổ đề 1.1 Nếu một hàm cộng tính f :2→ là liên tục theo

từng biến thì nó liên tục tại điểm

Theo kết quả này, có thể thay tính tuyến tính của các hàm cộng tính giá trị thực trên mặt phẳng bằng giả thiết tính liên tục theo từng biến Ngoài ra có thể mở rộng Định lý đối với các hàm cộng tính trên

n



với mọi , , , x y u v ∈

Như vậy một số thực có thể được viết thành x hoặc ( )x, 0 Cho

i biểu thị số thuần ảo ( )0,1 , chúng ta có thể viết lại biểu thức

( ) ( ) ( )( )x y, = x, 0 + 0,1 y, 0thành

( )x y, = +x iy

Nếu ta biểu thị vế trái của phép biểu diễn trên bởi z , ta có

z= + Sx iy ố thực x được gọi là phần thực của z và được kí hiệu

bởi Re z Tương tự, số thực y được gọi là phần ảo của z và được kí

hiệu bởi Im z Nếu z là một số phức có dạng x iy+ , khi đó số phức

x iy− được gọi là liên hợp của z và được kí hiệu bởi z

Một hàm tùy ý :f → có thể được viết thành

Lưu ý rằng, không giống với các hàm cộng tính liên tục nhận giá

trị thực trên tập số thực, những hàm cộng tính liên tục nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức không tuyến tính Tính chất tuyến tính có

thể được khôi phục nếu có một giả thiết điều kiện chính quy mạnh hơn chẳng hạn như tính giải tích hoặc khả vi thay cho tính liên tục

Định nghĩa 1.9 Một hàm : f → được gọi là giải tích khi và

ch ỉ khi f khả vi trên 

Định lý 1.16 Nếu : f → là một hàm cộng tính giải tích, khi

đó tồn tại một hằng số phức c sao cho

( )

f z =cz

vì vậy, f tuyến tính