Chương 4: Bất đẳng thức

c a< b với a0Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.. Việc chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng... Bất đẳng thức hệ quả và bấ

Xin chào các bạn, sau khi học xong cách giải một phương trình, hệ phương trình, ta bước sang chương mới cũng rất quan trọng Nó chiếm từ 1 đến 2 điểm trong bài thi Tuyển sinh Đại học , riêng phần bất đẳng thức là 1 điểm Mặt khác chương này lại có phần khó đối với các bạn học sinh lớp 10, do đó chúng ta cần phải xác định phương pháp học thật rõ ràng và chăm chỉ làm bài tập thì mới có kết quả cao Rất mong các bạn ý thức được việc đó và

c) a< b với a<0, b>0

Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai Việc chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

II Bất đẳng thức hệ quả và

bất đẳng thức tương đương

Định lí:

Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất

đẳng thức a<b và cũng viết là

"

" a < b ⇒ c < d

d c

b

a < ⇒ <

Vd:

Định lí:

Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d

x2 2 1 0 ,

, 1 2

⇔ x x ∀ x ∈ R

III Tính chất của bất đẳng thức

Ta dễ dàng chứng minh được hai bất đẳng thức sau đây

là tương đương nhau: do đó để chứng minh a<b ta chỉ cần chứng minh a-b<0.

Tổng quát: Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc

chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được cho trong bảng sau:

Tính chất

Tên gọi

Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên lũy

thừa

Khai căn hai vế một bất đẳng thức

c b c a b

c b

a < và < ⇒ + < +

0 ,

b

a < ⇔ 2 < 20

>

1 2 1

2 + < +

⇔

< b n a n b a

) (

) (

minh

Cho

b)

6

và 2

17

1 sánh So

a)

a b

b b

a a b

+

Chứng

9 17

3 17

4 6 17

17 2

1

) 2 6 (

) 17 1

(

2 6 17

1

6

22

0 )

(

0 2

) (

) (

2

22

22

b ab

a

ab b

ab a

a b

b b

a a

: có Ta

Điều này luôn đúng a b nên nó cũng đúng với ∀ ≠ a < b

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Chú ý : 1) Các mệnh đề dạng hoặc

cũng được gọi là bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a<b hoặc a>b là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất đã nêu trong bảng cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

b a

b

a ≤ ≥

2) Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì A>B là một mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A>B (với

điều kiện của biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến

A>B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thõa mãn điều

kiện đã cho).

Qui ước: Khi nói ta có bất đẳng thức A>B (A, B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R.

Vd : Chứng minh: x2 > 2 ( x − 1 )

0 1

) 1 (

0 2

2

) 1 (

2

22

x x

IV Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau:

) 0 (

x a

x a

x

a x

a a

x

a a

a a

,với a>0

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

,

, ∀ ∈ ℜ +

≤ +

b ab

a b

ab a

b a b

a b

a

≤

⇔

+ +

≤ +

≤

+

2 2

2

, ,

i)

Điều này luôn đúng với mọi a,b ∈ ℜ

b a

b a

b a

b b

b a

b b

b a

b b

b a

b b

b a

b b

b a

b a

b a

⇔

− +

+

≤

−

− + +

⇔

−

− + +

≤

−

− + +

+

≤

−

) (

) (

) (

Ta đã biết là trung bình cộng của a và b, khi a,b không âm thì là trung bình nhân của chúng.2

≥ +

≥

≥

∀

b a

: có ta , 0 ,

0

V Bất đẳng thức Trung bình cộng và Trung bình nhân:

a) Đối với hai số không âm:

Chứng minh:

2

: đó

Do

0 )

( 2

1 )

2

( 2

1 2

: có ta

, 0 ,

2

ab

b a

b a

ab b

a ab

≥

−

=

− +

=

− +

≥

∀

Đẳng thức xảy ra ⇔ ( a − b )2 = 0 ⇔ a = b

6 2

2 2

2 2

2

) (

) (

) (

: có Ta

6

: thì ,

0 ,

, :

CMR

= +

+

≥

+ +

≥

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+

≥

+ +

+ +

bc ca

ac

a

b b

a b

c c

b a

c c

a b

a

c a

c

b c

b a

b

a

c a

c

b c

b a

c b a

Giải

Áp dụng: Tìm min , (x 0).

x

3 x

f(x) = + >

3

2 x

3 x

2 x

3 x

Do x>0 nên:

Và f(x) = 2 3 ⇔ = 3 ⇔ x = 3 (x > 0)

x x

b) Đối với ba số không âm:

Tương tự như đối với hai số không âm, ta có định lí đối với ba

số không âm như sau:

Định lí:

c b

a

abc

c b

a

c b

: có ta

, 0 ,

0 ,

0

Đẳng thức xảy ra

Áp dụng:

9 )

1 1

1 )(

(

: thì ,

0 ,

, : CMR

≥ +

+ +

+

≥

c b

a

c b

a

c b a

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:

Biến đổi tương đương

Sử dụng các bất đẳng thức đã biết (Cauchy, Bunhiacopxki, )

Dùng tam thức bậc hai

Dùng qui nạp toán học

Làm trội số hạng

Sử dụng hình học vector

Phối hợp nhiều phương pháp

Một số phương pháp khác như dùng đạo hàm, tích phân,

phương pháp hàm số…

4) CM: x2 + 5 y2 − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0 ∀ x , y ∈ ℜ

na a

1

3 2

1 2

1

1

<

+

+ +

+

n n

1) Tìm min, max của: A = x − 1 + 4 − x

7) Cho a,b,c>0 CMR:

Nesbit)

(BĐB 2

3

≥ +

+ +

+

c a

c

b c

+

≥ +

2) CMR:

) 0 ,

, ( 3

4 4

4

>

≥ +

a

c c

b b

a

3)CM:

Các bạn làm hết các bài tập trong SGK và SBT.

Bài tập:

Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si) là

Paris Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique) lúc 16 tuổi.

Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp

Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân

Cauchy

(1789-1857)

Vài nét về Cauchy

Cảm ơn các bạn đã lắng

nghe.

Chúc các bạn làm bài thật

tốt.