Ôn thi Đại học về Bất đẳng thức

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức I.. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết Những bất đẳng thức thường sử dụng: 1.. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si VD2.. Áp dụng bất đẳng t

BẤT ĐẲNG THỨC

A Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

I Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương

VD1 Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có:

1 2 2 2

a b c ab bc ca 

2 a b c2 3ab bc ca  

Giải

0

a b c ab bc ca   a b  b c  c a 

2 a b c  23ab bc ca  a b 2b c 2c a 20

VD2 Chứng minh rằng nếu 0x yz thì ta có y 1 1 1x z 1 1 x z

Giải Biến đổi tương đương đến: yxzx luôn đúng 0

VD3 Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

3

a b c a b c a b c a b c   abc

Giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b c a0 Do đó:

b c  2 b c a  0, hay

b c b c bc ab ac  abc (1)

Tương tự ta có:

c a c a ca bc ba  abc (2)

a b a b ab ca cb  abc (3)

Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được:

2a b c a 2b c a b 2c a b c 6abc 0

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh

BÀI TẬP

Bài 1 (1970) CMR với mọi a, b, c, d: a2b2  c2d2  ac2bd2

HD BĐT  2 2 2 2

a b c d ac bd

Nếu ac bd 0, BĐT đúng

Nếu ac bd 0, bình phương hai vế biến đổi thành adbc20

Bài 2 (TL, 95) Cho 0abc CMR: a b3 2c2b c3 2a2c3a2b20

HD Biến đổi tương đương đến: b c a c a b ab bc ca 0

Bài 3 (HH, 96) Cho xy 1, CMR: 1 2 1 2 2

1x 1y 1xy

2

1

0

b a ab

II Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết

Những bất đẳng thức thường sử dụng:

1 Bất đẳng thức Cô-si:

 Với hai số không âm a và b ta có:

2

a b

ab



 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi a b

 Với ba số không âm a, b và c ta có: 3

3

a b c

abc

 

 Đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi abc

2 Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):

 Với mọi số thực a, b, x, y, ta có:  2  2 2 2 2

ax by  a b x y Đẳng thức

xảy ra khi: a b

x  y

 Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có:

a b c

x y z

3 Bất đẳng thức tam giác:

 a b a b, ,   a b (BĐT tam giác thứ nhất) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0

ab 

 a b a b, ,   a b (BĐT tam giác thứ nhất) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0

ab 

VD1 Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có:

1 a b 1 1 4

2 1 1 4

ab a b

HD Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

VD2 Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có:

abc a b c

HD Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

VD3 Với x, y không âm, chứng minh: 1x1y1 xy2

1x 1y  1 xy xy 1 2 xy xy  1 xy

VD4

1 Nếu x2y2 1 thì x2y  5

2 Nếu 3x4y1 thì 2 2 1

25

x y 

HD Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki:

1  2  2  2 2 2 2

x y  x y   x y  Suy ra: x2y  5

2  2  2 2 2 2  2 2

1 3x4y  3 4 x y 25 x y Suy ra: 2 2 1

25

x y 

BÀI TẬP

Bài 1 (BK HN, 90) Cho x y z , , 0, CMR: 21 21 21

2

 

HD Theo BĐT Cô-si: 2

2

2

2

x yz x yz

x yz x yz



2

yz zx xy

Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm

Bài 2 (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT:

3 3

3 3

HD Áp dụng BĐT Cô-si: 3

1 1 3 1.1

a    a a, tương tự … ta có đpcm

Bài 3 (HH Tp.HCM, 99) Cho x y z , , 0 và x  y z 3, CMR:

HD BĐT bên trái: 1 2 2 2 1

x

x

 BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số

III Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

VD1 Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có:

2 2

3

 

2

2 2

1

1

x x

x x

 

VD2 Chứng minh rằng: a2b2c22 cos acosbcosc 6 0,a b c, , 0; 

Giải Xét hàm số yx22cosx Ta có y'2x2 sinx, y" 2 2 cosx0,x , nên y’ đơn

điệu tăng trên miền 0;  , suy ra  y' y' 0  Từ đó y đơn điệu tăng trên miền 0 0;  

Do vậy, với a b c, , 0; , ta có: 

   

   

   

2

2

2 cos 2

y c y



VD3 Cho tam giác ABC có 0ABC90 Chứng minh: 2 cos 3 4 cos 2 1 2

cos

C



HD Ta có: 2 cos 3 4 cos 2 1 2

cos

C



2 4 cos 3cos 4 2 cos 1 1

2 cos

C

8 cos C 8 cos C 8 cosC 5 0

Từ giả thiết suy ra 60 90 0 cos 1

2

Đặt cos , 0;1

2

t C t  

 , xét hàm số:

3 2 1

2

y t  t  t t  

Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm

BÀI TẬP Bài 1 Cho x y z , , 0 và x  y z 1, CMR: 18

2

xyz

xyz



3 3

xyyzzx xyz

, 0

3

t xyz  t , ta chỉ cần CM:

3

3

18

2

t

t

3

f t t  t t 

IV Phương pháp hình học

VD1 Chứng minh BĐT tam giác: 2 2 2 2  2  2

a b  a b  a a  b b , với mọi bộ

số a a b b1, 2, ,1 2

HD Xét M a b ,  1; 1 Na2;b2, thế thì: 2 2

1 1

OM  a b , 2 2

2 2

ON  a b ,

 1 22  1 22

MN  a a  b b

Ta bất đẳng thức: OM ONMN , suy ra điều phải chứng minh

VD2 Chứng minh với mọi x ta có:  1 x2  x 1 x2   x 1 1

HD Ta có:

x   x x   x x    x  

M x   N x  

Thế thì:

2

OM  x  

2

ON  x  

  , NM  1

Từ BĐT: OMON NM, suy ra điều phải chứng minh

BÀI TẬP

Bài 1 Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có:

4 cos xcos ysin xy  4 sin xsin ysin xy

HD Đặt M2 cos cos ;sinx y xy , N2 sin sin ; sinx y  xy  và O0; 0 Từ BĐT

OMON MN , suy ra điều phải chứng minh

Bài 2 CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có: x2xyy2  x2xzz2  y2yzz2

HD Xét 3 điểm: O0; 0, 1 ; 3

M x  y y

N x  z  z

Từ BĐT

OMON MN , suy ra điều phải chứng minh

Bài 3 CMR với mọi số a, b, c ta có: a c 2b2 a c 2b2 2 a2b2

HD Xét 3 điểm: O0; 0, M a c b; , N a c;b Từ BĐT OM ONMN, suy ra điều phải chứng minh

Bài 4 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x y z  Hãy tìm GTLN của P = xy + yz 1 +2zx

Giải Ta có

xét ( 2;1)u

và v(|y| 1y2;1/ 2y2)

ta có

Puv  u v     y y  y     

V Phương pháp quy nạp toán học

VD1 Chứng minh bát đẳng thức Becnuli: 1hn  1 nh,  n ,h 1

VD2 Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì: 1 1 1

1 2   n  n

BÀI TẬP Bài 1 CMR với mọi n nguyên và n 2 thì:

n n   n

1 2  n 

Bài 2 Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin n  nsin

VI Phương pháp phản chứng

VD1 Cho a b c , , 0;1 Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai: 1  1

4

a b  , 1  1

4

b c  và 1  1

4

c a 

VD2 Chứng minh rằng nếu a b 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 2

c a, d2b

BÀI TẬP Bài 1 (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho x y , 0 và x2y3x3y4,

CMR x3y3x2y2 x y 2

Bài 2 (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai   2

f x x ax CMR với mọi giá b trị của a và b, trong ba số f  0 , f 1 , f  1 có ít nhất một số 1

2



VII Phương pháp lượng giác hóa

VD1 Biết x2y2  Chứng minh: 1  2 x y 2

VD2 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:   

1

a b ab

BÀI TẬP Bài 1 CMR a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 , a b c, , 1

HD Đặt 1

cos

a

x

cos

b

y

cos

c

z

 với x, , 0;

2

y z   

  

Khi đó đưa BĐT về 1 cos cos x y1 cos cos y z1 cos cos z xsin2x.sin2y.sin2z

Sau đó lưu ý: 1 cos cos sinsin ta suy ra đpcm

Bài 2 CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn 0 1

1

xy



VIII Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

VD1 Cho a 3 36 và abc 1 Chứng minh rằng:

2

2 2 3

a

b c ab bc ca

VD2 Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý

1, 2, 3, 1, 2, ,3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

a a a b b b a b a b a b a a a b b b

BÀI TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi x và y thì: 2 2

x  y  xy x y 

Bài 3 Cho p2q2a2b2c2d20 CMR:

p a b q c d  pqac bd

Bài 4 Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số 2

1

ax b y

x





 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng – 1

IX Phương pháp đánh giá

2 n1 n  n 2 n  n 

VD2 Chứng minh rằng: 12 12 12 1

2 3  n 

Giải Ta có:

2

n  n n n n với mọi số tự nhiên n  , nên: 1

2 3  n  1 223 n1n  n , với mọi số tự nhiên n 1(đpcm)

BÀI TẬP

Bài 1 CMR với n nguyên dương ta có: 1 1 1 1 2 1

n  n n  n n   

Bài 2 CMR với n nguyên dương ta có: 1 3 5 .2 1 1

n











a b c b c d c d a d a b

X Phương pháp quy về một biến

VD Cho a2b2c2 2, ab bc ca1, chứng minh rằng 4 4

  

Giải Từ giả thiết ta có:  2 4 2

2

a b c

  



        



Từ đó ta có:

2

Suy ra: 2

3a 4a0 Vậy 4 4

XI Phương pháp đổi biến

VD Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a2b2c23, chứng minh rằng:

 

Giải   2 2 2 2 2 2

1 a b b c c a 3abc

Đặt a2 3x

x y z



  ,

b

x y z



  ,

c

x y z



  , với x y z , , 0 Khi đó (1) trở thành xyyzzx 3xyz x yz  2

Ta có  2 xyyzzx23xyz x yz

1

0

BÀI TẬP

Bài 1 Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12 Tìm GTLN của biểu thức:

P

HD Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta được a + b + c = 12 và :

6

ab bc ca a b b c c a P

a b b c c a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4

Bài 2 CMR nếu a, b, c không âm và abc  thì: 1 1 1 1 1

2a2b2c

HD Đặt a x

y

 , b y

z

 , a z

x

 thay vào ta được:

yx zy xz  x x y  y y z  z z x 

Đến đây sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz sẽ có kết quả

B Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức

Bài 1 Với ba số thực bất kì a, b và c CMR:

3

 

Bài 2 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:

1 b c ac a ba b c  abc

2 Nếu ab  thì c 3 2 2 3 2 2 3 2 2

0

HD

1 Chú ý đến các BĐT dễ thấy sau đây:

2 2

a a  b c  a b c  a b c 

2 2

b b  c a  b c a  b c a

2 2

c c  a b  c a b c a b 

Nhân từng vế ba BĐT trên, ta có BĐT cần chứng minh

2 Phân tích vế trái thành tích: a b b c   a c ab bc ca

Bài 3 (BĐT Nesbit) Cho ba số dương a, b và c CM BĐT: 3

2

b c caa b  Khi nào

đẳng thức xảy ra?

Bài 4 Cho ba số dương a, b và c CM BĐT:

12

đẳng thức xảy ra?

HD Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số Hoặc theo các bước:



2

2

4

a b bcca  b c  ca  a b Khi nào đẳng thức xảy ra?

HD Dễ chứng minh a b c 2

a b b c ca  Ta chứng minh 2

bc ca  a b  theo gợi ý:

a

b c  a b c  a b c 

Bài 6 Cho ba số dương x, y và z, Gọi sxy Chứng minh: z

3

HD Sử dụng BĐT Cô-si đi đến:

2

Bài 7 CMR nếu x, y và z là ba số không âm thì:  2 3  4 2

x y z x   x y z

HD Ta có các bất đẳng thức sau:

x y z x   x y z  x z

3

y

y

 1 4 7 4 1 4 4 4 2 4 2

y

7 4 2

y y

 )

Bài 8

1 Nếu ba số a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1

abc thì

2a b c  a2b c a b 2c 4

2 Trong một tam giác với ba cạnh a, b, c và chu vi là 2p, ta có BĐT:

2

Bài 9 Với mọi x, y mà (x + y)  0 ta luôn có (x  y)3 4(x3y3) Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Với mọi số x, y ta có

2

4

x y

xy  Đẳng thức xảy ra kvck x = y Do (x + y)  0 nên 3

4

Do đó:

Bài 10 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

M

Giải Ta có

2 4

x

y z



2 4

y

z x



2 4

z

x y



2

x y z

M     x y z

Do đó,

3

xyz

M      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài 11 Cho 2 số thực dương x, y Chứng minh

2 9

      

Giải Áp dụng BĐT (1a)(1b)(1 ab)2, đẳng thức xảy ra kvck a = b

                   

Bài 12 Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 1

Giải Áp dụng BĐT (x y z)(1 1 1) 9 1 1 1 9

  với x , y, z > 0 Ta được

1

Bài 13 Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức 1 1 1 1

x y z Chứng minh:

x yz y zx z xy

 

Giải Ta có 1 1 1 1

x y z  xy + yz + zx = xyz Do đó:

xyz x xyz  x xyyzzx  xy xz

(1)

x

Tương tự:

2

3 (2)

y

2

3 (3)

z

Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm

Bài 14 Cho x, y z là các số dương và 3

2

xy z CMR:

Giải Cách 1: Theo BĐT Côsi ta có 1 4( 2 ) 4





z x

z x



4

 

 

2

xy z nên 1

xyz

 

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:

x y y z z x x y  y z  z x  xyz

Do đó, VT x y z 3

   

  Đặt t = x + y + z, xét hàm số:

3 ( )

t

  với (0; ]3

2

Ta có

2 /

2

t



      nên f(t) giảm trên (0; ]3

2 Vì vậy,

( ) ( ) , (0; ]

f t  f   t

Do đó, VT  f(t)  7/2 Đẳng thức xảy ra kvck

1 3

2 2

x y z

x y z







  



Bài 15 (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương Tìm GTNN của

z

y

z

x

Giải Với mọi số a, b không âm, ta có

2

4

a b

ab  và 0  (a + b) nên

= b  0

Do đó, P  (x y) (y z) (z x) 2( x2 y2 z2)

Mặt khác:



















Từ (1) và (2) ta được P  12 Đẳng thức xảy ra kvck

1

x y z

x y z

 









Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1

Bài 16 Cho x,y > 0, x + y = 1 Chứng minh: 1 21 2 6

xy x y 

Giải Ta có:

Bài 17 Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 CMR: 2 2 2 3

b  c  a 

Giải Ta có

VT a b  c ab bc ca  a b  c a b c    

Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1

Bài 18 Cho x0,y0 và xy1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

P

HD Ta có: 2 2   2 2 2

x y x y xy

P

Đặt txy0, ta có 1=1 2 1

4

Quy về tìm GTLN và GTNN của hàm số   2 2 , 0;1

t

t

    

Bài 19 (ĐH,A,2009) CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x x yz3yz, ta có

xy3xz33xyxzyz5yz3

x y a

x z b a b c

y z c

 







  



ta có

1 2 1 2 1 2

















, thay và giả thiết, ta được:

2 a b c 2 a b c 2 a c b 2 b c a a b c c a b

2

a b

c a b ab a b  ab ab    a b a b c (1) Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

a b  abc c  a b a b ab  abc c

a b c 2 3abc 5c3

(1) cho ta a b c  2c2 và 3 2 2

4

ab a b  c , nên:

ab c  abc c  c  c (đpcm)

Bài 20 (ĐH-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn xy34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  4 4 2 2  2 2

A x y x y  x y 

2

2 2

4

x y

A x y x y  x y   x y    x y 

9

Từ: xy34xyxy3xy2 và giả thiết ta có:

xy  xy   xy    xy  xy    x y

Ta lại có:

2

2

xy  x y x y 

Đặt tx2y2, bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số   9 2

4

f t  t  t với 1

2

t 

Ta có: '  9 2 0, 1

f t  t   t

1

;

2

min

2 16

t

f t f

 

  



 

  

 

Suy ra: 9

16

A  ; đẳng thức xảy ra khi 1

2

x y Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

16

Bài 21 (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn xy1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S4x23y4y23x25xy

Giải Ta có:

2 2

16x y 2xy 12

Đặt txy, thì  2

0

4

x y

t xy 

4

t

 

4

t

  Xét hàm số:   2

f t  t  t trên đoạn 0;1

4

16

f  f  f  

 

1

0;

4

max

t

f t f

 

 

 

  

1 0;

4

min

t

f t f

 

 

 

  

 

Giá trị nhỏ nhất của S bằng 191

1

1

16

x y

x y xy

 





hoặc

 ;  2 3 2; 3

x y     

Giá trị lớn nhất của S bằng 25

1

1 1

1

2 2 4

x y

x y xy

 





Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2y2 Tìm 1

GTLN và GTNN của biểu thức  2 

2

x xy P

xy y





Giải

P

x  y  thì P 0

Khi x  , đặt y0 tx ta có:  

2

2

P

t t

2

3Pt 2 P 6 t P 2 0

Nếu P = 0 thì phương trình (1) có nghiệm 1

6

t  

Nếu P 0 thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

2

x y thì P = 3

x y  thì P  6

Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6

Cách 2 Đặt xsin ,a ycosa ta có:

2

2 sin 6 sin cos 1 cos 2 6 sin 2

1 2 sin cos 2 cos 2 sin 2 cos 2

P 6 sin 2 a P 1 cos 2 a 1 2P

Điều kiện tồn tại a:  2  2  2 2

P  P   P  P  P    P

Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6

Bài 23.(ĐH-D-2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi Tìm GTLN và GTNN của biểu

  2 2

1

x y xy

P



Khi x0,y1 thì 1

4

P  

Khi x1,y0 thì 1

4

P 

Vậy, GTLN của P bằng 1

4, GTNN của P bằng

1 4



Bài 24 Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức:

R

Giải Ta có

b   b   b  

Ra b  c ab bc ca  a  b c a b c   

Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1 Vậy min 3

2

R 

Bài 25 Cho x, y, z dương thỏa x2y2z2 CMR 1 2 3 1

2

Giải