Phương trình và bất phương trình đại số

Phương trình và bất phương trình đại số

— Bài giảng số 19 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAT PHUONG TRINH DAI SO

Bai giảng này đề cập đến một trong những nội dung chủ yếu được đề cập đến trong đề cương ôn luyện môn Toán vào các trường Đại học, Cao đẳng do Bộ Giáo

dục và Đào tạo ban hành: Phương trình và bất phương trình Đại số, Các đề toán về loại, này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyên sinh những năm 2002-

Loại 1: Sử dụng định lí Viet đảo giải các hệ đối xứng

Để sử dụng được phương pháp này, người ta phải tính wy va xy, sau đó sẽ sử dung dinh li Viet dao Xét các thí dụ sau:

Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2007)

x Cho hé phuong trinh: y '

Giải

xy+(x+y)=3 (3) xy(x+y)=2 (4) Theo định lí Viet đảo thì x + y và xy là hai nghiệm của phương trình:

Từ đó suy ra (3) (4) ©

xy =1 (8) Lại theo định li Viet dao tir (5) (6) suy ra x, y là các nghiệm của phương trình:

-t†+2=0(9).-

Do (9) vô nghiệm nên hệ (5) (6) vô nghiệm

Từ (8) (9) suy ra x, y là các nghiệm của phương trình t — 2t+ I =0 œ t=l Vậy hệ (7) (8) (tức là hệ (1) (2)) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)

Thi du 3: (Dé.thi tuyén sinh Bei học Hải Phong - 2006)

a (x-2Ÿ(x+4}Ÿ =m(x-2)

y

—

Từ (1) (2) suy ra x> 0, y> 0, do đó

335

Byx? =y* +2 3yx?=y?+2 ()@) © 43xy? =x?+2© 3xy(x-y)=x? -y?

x>0,y>0 x>0,y>0

3yx?=y?+2 3yx?=y?+2

©4(x-y)(3xy+x+y)=0©4x-y=0

x>0,y>0 x>0,y>0 x=y>0

| {ie nfo? e2eea}a0 oo xeyel

Vay hé da cho có nghiệm duy nhất (1;1)

Chú ý: Ö đây ta đã sử dụng lược đồ sau:

x? —3xy =4y x?.-3xy =4y

Ta có hệ (1) (2) <> sy? —3xy = 4x ©4(x~y)(x+y+4)=0

x#0y#0 ' [x#0,y#0

336

B HE PHUONG TRINH DANG CAP

Hé phuong trinh dang cấp (hay chính xác hơn là hệ phương trình mà các

phương trình về trái là đẳng cấp) là các hệ phương trình trong đó về phải của các phương trình là các biểu thức không chứa biến, còn về trái của phương trình là các

đa thức chứa biến mà mọi số hạng của nó đều cùng một bậc

Bằng phương pháp cộng đại số từ hệ phương trình đã cho ta luôn thu được

một phương trình hệ quả có dang f(x, y) = 0, trong đó f{x, y) là biểu thức gồm các

số hạng cùng một bậc (giả sử có bậc k) Thực hiện phép chia cho y (hoặc x"), sau

đó khảo sát xem y = 0 (hoặc x = 0) có thỏa mãn hệ hay không, ta đặt ấn phụ t=~ (hoặc + ) và sẽ thu được một phương trình đối với t Giải phương trình này y x

và với mỗi nghiệm t tìm được, ta tìm được một phép thé x = ty (hoặc y = tx) Từ đó

sẽ dễ dàng giải được hệ ban đầu

Thứ dụ 1: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng khối 4-2005)

2x7y + xy? =15 (1)

8x>+y?=35 (2)

Giải

Xét hệ đẳng cấp bac ba (1) (2) Từ (1) (2) bằng phép cộng đại số ta có:

| 24x°+3 y*— 14xy?- 7xy?=0 (3)

Rõ ràng y # 0 (vì nếu y = 0 từ (1) ta có 0 = 15 và đó là điều vô lí) Chia cả hai Giải hệ phương trình:

về của (3) cho y? va đặt t = * „ ta CÓ:

y

t=—

3 24U— 14—7t+3 =0 (t-;|es: ~6t~9]=0œ =

t=—

337

+ Néut=

of 8x? + 27x? =35 y =3

Lập luận tương tự ta có:

Vậy (1) 2) ©

+Nếu =: thì hệ (1) (2) vô nghiệm

+Neut=7 thi hệ (1) (2) có nghigm x =>, y= 2

Tom lai hé (1) (2) cé hai nghiém (1 3) và 2)

Thi du 2:

3x? -Sxy-4y?=-3 (1)

Oy? +1 Ixy-8x?=6 (2)

Giải Xét hệ đẳng cấp bậc 2 (1) (2) Ta có sau khi thực hiện phép cộng đại số

-2x” +xy +y’=0(3) Lập luận như thi du 1, dé thay y # 0, nén sau khi chia ca hai vé cho y’

+Néut=1 > =1 x= y Thay lại vào hệ (1) (2) và có 2 (4)

-E CÁC PHUONG PHAP CO BAN GIAI HE PHUONG TRINH

KHÔNG CÚ CẤU TRUC DAC BIET

Dưới đây chúng ta sẽ xét các phương pháp cơ bản giải các hệ phương trình không có cấu trúc đặc biệt như tính đôi xứng, tính đăng cấp đã trình bày trong

mục A và mục B

Loại 1: Sử dụng định lí Viet để giải các hệ phương trình:

Xét các thí dụ sau đây:

338

(2+) _33X4+Y _igug 3x+y 5 3x+y¥_ 2

Tir (1), (4) suy ra: xy +yz + zx = 1] (5)

Tir (2),(5) suy ra: xy + yz=9 (6)

y+ (x + z) =6 Vậy từ (1), (6) suy ra

Như đã biết đây là một trong những phương pháp thông dụng, nhất để giải hệ phương trình nói chung và hệ phương trình không chứa căn thức nói riêng

340

¿~3+20 c> |

Để giảm ấn số của hệ phương trình có lẽ không có phương pháp nào đơn giản

và tốt hơn phương pháp thế, còn việc đặt ấn phụ thích hợp sẽ làm cho hệ phương

trình trở nên gọn gàng hơn

Thí dụ I: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2009)

x(x+y=l)-3=0 () Giải hệ phương trình: (x ' yy + <0 (2)

xX

Giải Điều kiện để hệ (1) (2) có nghĩa là x # 0 Sau khi chia cả hai về của (1) cho x,

+ Khi x = 1, thay lai vao (3) va co y = 1

+ Khi x =2, thay lại vào (3) và có y = 5

Vay (1;1) va (2; >) là hai nghiệm của (1) (2) ˆ

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khỗi B - 2009)

Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (5) va (331)

Thí dụ 3: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2008)

wW+va > 6) 6

Từ (5) (6) suy ra: u+v+uv=uŸ+v @ u=u+v

u=0 c© a~1~9=0 |

u=v+]

+) Nếu u = 0 thì (6) có v= = Từ đó dựa vào phép thế, ta có hệ sau:

5 x7 +y=0 y=-x? x=

5°

3

xy =-— 4 xo =-— 4 y= 25 +) Nếu u = v + 1, thé vào (4) ta có:

(7)

(v+Ðf+v=—Š©@(2v+3)2 <0>v=-2=u=—2

342

Từ phép đặt ân phụ, ta có:

Ky=-5 (x-U(2x?+2x+3)=0 |}*”7

Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (7) và (8) ;

Thí dụ 4: (Dé thi tuyén sinh Dai học, Cao đẳng khối B — 2008)

Từ (1) có: x~y~2 +2 =0 ©(x=V | rt}-0 (3)

Tir (3) xét hai phép thé sau:

1/ Néu x = y, thay vao (2) va cd

xÌ~2x+I=0 ©(x~1)(# + x~1)=0 œ@ -1+J5

2/ Néu I+-L=0= y=-Ì Thay vào (2) ta có:

343

Từ (3) suy ra hai phép thé sau:

I/Néux+y=0 y =-x Thé vao (2) ta co:

Vậy hệ (1) (2) có 4 nghiệm kê trên

§2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Trong mục này, chúng tôi trình bảy các phương pháp cơ bản để giải phương trình chứa căn thức

Loại 1: Phương trình chứa căn thức quy về hệ phương trình không chứa căn

Quy một phương trình chứa căn thức về việc giải một hệ phương trình không

chứa căn thức là việc thường xuyên khi giải các phương trình chứa căn thức Sau

khi quy về một hệ phương trình hữu tỉ ta sẽ sử dụng các phương pháp đã trình bày trong §1 để giải chúng Xét các thí dụ sau đây: -

Thi du 1: (Dé thi tuyễn sinh Đại học khỗi A — 2009)

Giải phương trình: 23x -2 +3/6— 5x —8= 0 (1)

Giải Điều kiện để (1) có nghĩa là 6 5x>0 © x sẽ (2)

344

Khi đó đặtu= 3x—2,v=x6—5x và ta đi đến hệ ww 2u+3v=8 (3)

Su’ +3v? =8 (4)

8—2u

Tu (3) suy ra v= Thay vào (4) rồi rút gọn ta có:

15u°+ 4u?— 32u + 40 =0 © (u +2)(15u?— 26u +20)=0 œu+2=0 (do 15?— 26u +20 >0 Vu) ©u=-2 v=4

x+y+xy=ll |x+y+xy=ll (2)

xˆ+y“ˆ =l3 (x+y} —2xy =13 (3)

Tur (2) suy ra xy = 11—- (x + y) Thay vao (3) va sau khi rút gọn ta có:

Thí dụ 3: Giải phương trình: ŸI8~x + Ÿx~79 =5 (1)

Giải Đặt u=ŸL§— x >0;v = Ÿx — 79 >0, từ (1) ta có hệ:

Thí dụ 4:

Giải phương trinh: x? +1=243x-1 _

Dat y = ¥2x —1 khi do tir(1) ta c6 hé:

x'+l=2y — |x?4+1=2y x? +1=2y

Vậy phương trình có ba nghiém x = 1; x=

Loại 2: Sử dụng phương trình hệ quả hoặc phương trình tương đương đề giải

phương trình chứa căn thức:

Điều quan trọng nhất khi sử dụng phương pháp này là cần phân biệt cho rõ

đâu là phép biến đổi tương đương, đâu là phép biến đổi kéo theo (hay còn gọi là phép biến đôi hệ quả)

— Nếu dùng phép biến đổi tương đương thì sau khi tìm được nghiệm ta không can thử lại vào phương trình ban đầu

— Nếu dùng phép biến đổi kéo theo, ta chỉ thu được phương trình là hệ quả

x? -y? =2y -2x (x—y)(x? + xy +y? +2) =0 (3)

của phương trình ban đầu và vì thế lúc này việc thử lại nghiệm là cần thiết

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006)

Giải phương trinh: 2x -1 +x? -3x+1=0 (1)

-x? —3x -120

Ta có (1) © V2x-1 =-x?-3x+1o

346

2x —-1 =(-x? —3x HỶ

©$ 2 2 ©$+ 2 2 | > v5

x4 —6x3 +1 1x? -8x+2=0 (x-1)'(x?-4x+2}=0 RE eT NS Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2005)

Giai phyong trinh: 2¥x+2+2Vx+1-—Vx+1=4 (1)

— Thi dụ trên ta đã sử dụng phép biên đổi tương đương

— Chi y rng f(x) = g(x) > f°(x) = g'(x), nhung f(x) = BOX), f(x) = 87x)

+) Thay x = 0 vao (1), taco VT (1) =-2, VP(1)=1 x =0 bi loai

5

30

+) Thay x = = vao (1) ta thay thoa man vi VT(1) = VP (1) =

Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = sơ

Nhận xét:

Vì đây là phép biến đổi hệ quả, nên việc thử lại nghiệm là cần thiết Nếu

không thử lại ta sẽ chấp nhận nghiệm x = 0 mặc dầu đó là nghiệm ngoại lai

Thi du 5:

Giải phương trình: V2x+34+Vx 41 =3x +2V2x? 45x 43 =16 (1)

Giải Dat u=V2x+3 +Vx+120 khi do taco:

> =3x +44 2V2x? 45x +3 =3x + 2V2x? +5x +3 -16+20 (2)

Thay (1) vao (2) taco w=u+20 © w—u—20=0

= u=5 (do u2>0) Vậy từ (1) dẫn đến phương trình hệ quả sau:

V2x+3+vx+l=5 © x3 (bạn đọc tự kiểm tra lại)

Thay lại x = 3 vào (1) thấy thỏa mãn nên là nghiệm duy nhất của (1)

B HE PHUONG TRINH CHUA CAN THUC

Phương pháp cơ bản để giải các hệ phương trình chứa căn thức là quy nó về

hệ phương trình không chứa căn thức và giải chúng bằng các phương pháp đã trình bay trong §1

Thi du 1: (Dé thi tayén sinh Đại học khối D — 2008)

Xy+x+y=x°-2y? (1) Giai hé phuong trinh:

x /2y -yVx—1 =2x-2y (2)

Giai Điều kiện để (1) (2) có nghĩa là x >1, y > 0 (3)

y(x+ y)+(x+ y)+(x- y)(x+ y)=0 x/2y - yVx—1 =2x-2y

ee ole weien-y (5)

(vix> 1 „y>0 = xty> 0)

Thay (4) vào (5) và có:

(2y+1)J2y- yliy =2(y+ Nes (y+1)J2y =2(y+1)

\2y=2 (doy+1>0)© y=2 =>x=5

Vậy hệ (1) (2) có nghiệm (5;2)

Khi đó (1) (2) = |

348

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi B - 2002)

Yx-y=Jx-y (1) x+y=vdx+y+2 (2)

Giải Giải hệ phương trình:

x+y =2 x=y=l

Từ đó suy ra hệ (1) (2)<> c© 3 ]

2 2 x+2=2

Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (1;1) va (3:3)

xfytyvx=30 (1) x⁄x + yJy =35 (2)

Giải

Điều kiện đề hệ (1) (2) có nghĩa là x>0,y> 0

Đặt u =vx, v= Jy (u, v> 0), khi đó

u2v+uy2=30 uv(u+v)=30 (2) 4u +v)=35 ©4(u+v}°~3uv(v+u)=35

©x=2;y=l

Thi du 3: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

x+y-yxy=3 ( Vxt+1+Jy+1=4 (2)

Tir (2) <> xt y+2+2xy+(x+ y)+1=16 (3)

Dat t=,/xy >0 x + y =3 +t Thay vào (3), ta có

Giai hé phuong trinh:

2vt+t+4=ll-tc© > ot=3

3tˆ +26t—105=0

=6 Tir 46 suy ra:(1)(2) © wy ©œx=y=3

Vậy (3; 3) là nghiệm duy nhất của hệ (1) (2)

§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bắt phương trình bậc hai) `

Để làm điều đó, người ta thường dùng các phương pháp cơ bản như: Đặt ẩn phụ, nhân liên hợp hoặc biến đổi tương đương để làm mất các căn thức có mặt trong bất phương trình chứa căn thức ban dau

Cần lưu ý hai dang co ban sau của phương trình chứa căn thức: `

Q soe

Dé thay:

5x-120

x-l>0 2x-4>0

Giải bất phương trình: /x+1+2Ax—2 <\5x+1

Giải hoàn toàn tương tự: Đáp số: 2 < x < 3

Thí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2004)

§4 PHUONG TRINH VA BAT PHUONG TRINH CHUA THAM SO

Mục này dành đề trình bày các phương pháp giải phương trình và bất phương

trình không có căn thức và có chứa căn thức trong đó có mặt tham số Đó là các bài

toán đòi hỏi biện luận theo tham số những tính chất nào đó đặt lên nghiệm của bài toán Hai phương pháp hay dùng z nhất là:

— Phương pháp chiều biến thiên hàm số

~ Phương pháp tam thức bậc hai

A PHƯƠNG PHAP SU DUNG CHIEU BIEN THIEN HAM SO

Đây là phương pháp hay dùng nhất và có hiệu quả để giải các bài toán trong các đẻ thi vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những năm 2002-2009

Thi dul:

Cho phương trinh: 4/2x + V2x + 24/6 —x2J6—x =m (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

Điều kiện xác định của (1) là 0 < x <6

Khi đó (1) <> a

f(x)=m

0 <x <6 T= T= _ v6 ~ x~J2x

“ae x)

Tacé f'(x)= , nên có bảng biến thiên (bảng 1):

Tương tự cũng có bảng biến thiên (bảng 2) đối với g(x)

Từ đó suy ra bảng biến thiên đối với h(x), 0 <x < 6 là:

Từ bảng biến thiên suy ra m > 2 là các giá trị cân tìm của tham so m

Thi dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2007)

Cho phương trình: 3/x— 1 +mv/x+1 =2Äx?T—1 (1)

Tìm m đề phương trình có nghiệm

Điều kiện để (1) có nghĩa là x > 1 Khi đó

353

Từ đó suy ra—Ï <m < 3 là các giá trị cân tìm của tham so m

Thi du 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2007)

Cho phương trinh x? + 2x -8 = /m(x-2) (1)

Chứng minh rằng với mọi m> 0, phương trình luôn có hai nghiệm thực

| hex vex? -a0m (3)

Ta có f(x) = 3x?+12x °° Vx > 2, nén ta có bảng biến thiên sau:

Đặtt= Vi+x2 —Vi—x? (khido t> 0)

H SO LUDC VE PHUONG PHAP TAM THUC BAC HAI

Thi du 1: (Dé thi dai hoc, cao dang khối D ~ 2004)

pat u=Vx,v= Jy (u20, v> 0) Khi đó hệ (1) (2) có dang

w+ev=l-3me (u+v) -3uv(u+v)=1-3m uv =m (4)

Từ đó suy ra hệ (3) (4) (5) có nghiệm (tức là hệ (1) (2) có nghiệm) khi và chỉ

hi phương trình:

t—t+m = 0 (6) có hai nghiệm không âm

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (do S =1 >0)

{p 20 ' -4m>0 c© œ0<m<}

355

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006)

1 Xy> X22 -— ! 2 2 ( 4) )

2, +y v2 =l Giải hệ phương trình: wry

(x+y)(x? +y?)=15

Đáp số: (1;2), (2;1)

356