Phương pháp giải hệ phương trình đại số

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I.. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1.. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai * Cách giải: Giải bằng phương pháp thế: Từ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Dạng: 1 1 1

a x b y c

a x b y c







Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp cộng đại số hặc phương pháp thế

2 Giải và biện luận phương trình

Bước 1: Tính các định thức:

1 1

1 2 2 1

2 2

D a b a b a b

a b

1 2 2 1

2 2

Dx c b c b c b

c b

1 2 2 1

2 2

Dy a c a c a c

a c

Bước 2: Biện luận:

• Nếu D ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

D D D D

x

y

x y



=





 =



• Nếu D = 0 và Dx ≠0 hoặc Dy ≠ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm

• Nếu D=D =Dx y = 0 thì hệ có vô số nghiệm

II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

* Cách giải: Giải bằng phương pháp thế: Từ phương trình bậc nhất, rút 1 ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phương trình bậc hai còn lại

2 Hệ phương trình đối xứng loại 1

* Định nghĩa: Đó là hệ phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho

nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi

* Cách giải:

• B1: Đặt S = x + y, P = x.y (S2 ≥ 4P) ta đưa hệ về hệ mới chứa 2 ẩn S, P

• B2: Giải hệ mới tìm S, P với S, P thỏa mãn S2 ≥ 4P

• B3: Với S, P tìm được thì x, y là nghiệm của phương trình

X2 – SX + P = 0 (Theo định lý Viet đảo)

* Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P

x +y = +x y x +y −xy = +x y  x+y − xy=S S − P

x y+xy =xy x+y =SP

• Có những phương trình sau khi ta đặt ẩn phụ sẽ trở thành phương

trình đối xứng loại 1

3 Hệ phương trình đối xứng loại 2

* Định nghĩa: Đó là hệ chứa 2 ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x, y cho nhau thì

phương trình này trở thành phương trình kia của hệ

* Cách giải:

• B1: Trừ vế theo vế 2 phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích

số

• B2: Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để giải tìm nghiệm của hệ

4 Hệ đẳng cấp bậc hai:

* Có dạng:







* Cách giải:

• B1: Kiểm tra xem y = 0 (hoặc x = 0) có phải là nghiệm của hệ hay không?

• B2: Với y = 0 ta đặt x = ty Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t, y

Từ 2 phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t

• B3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y

5 Một số phương trình đưa về hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

* Dạng 1: n n

-x + =b a ax b

-y= ax b ta đưa phương trình đã cho về hệ phương trình:

n

n



 + =



Đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

* Dạng 2: n a− f x( )±m b+ f x( )=c

Đặt u=n a− f x( ), v=m b+ f x( ) ta đưa phương trình đã cho về hệ phương trình u n v m c

u v a b

± =





 Giải hệ tìm u, v sau đó thay vào tìm x

6 Một số dạng hệ phương trình khác

Ngoài những dạng hệ phương trình đã nêu ở trên thì ta thường gặp một số dạng

hệ phương trình khác có cách giải không mẫu mực Khi đó tùy từng hệ phương trình

mà ta vận dụng tổng hợp các kiến thức kết hợp với suy luận hợp lý để chọn cách giải cho thích hợp như: Sử dụng đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, phương pháp cộng và thế, biến đổi về dạng tích số

III Một số bài tập vận dụng

Bài 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 1

2

+ = +







Bài 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 1

1 3

x y

x x y y m

 + =







Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

1

4 2

x xy y

xy x y

 + + =



+ + =

7

3 3 16

x y xy

x y x y





11 30

xy x y

x y xy

+ + =







4

2 2

13





3 3

30 35





6 20







4

y

x y xy

 + =





4 4 34 2

x y

x y

 + =



+ =







10

2

2





2

2

1 3

1 3

x

y

 + =







12

2

2 2 2

2 3

2 3

y y x x x y







+



13

2 2

1 1

5

9



+ + + =







14





2 2

7 5

x y xy

x y xy

 + + =





Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

6

xy x y

x y x y xy

− + = −





2 2

12





2 2

5 6







4

2 2

3





y x



− = −





 = +



Bài 5: Giải các phương trình sau:

1 x3 + = 1 2 2 3 x− 1 2 2

5 5