Tích phân từng phần LTĐH 2011

Có thể áp dụng cách này cho các dạng e axcosbxdx ; e axsinbxdx Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau 1 0sin... Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách c

dx x

dx x

f( ) = 

b a

dx x f x

x f dv

x f u

)(

)(

b a

b

a vdu uv

vdu

 phải đơn giản hơn tích phân

b a

- Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm

số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm)

-Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm

v x dv

2 lnln

1 1

u x

du x

x dx

dv

v x x

(sin cos 1)(1 cos )

DĐ: 01694 013 498

Vậy

4 2

1221

Nếu như ta tính đồng thời I1và I thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính 2 I hoặc1 I để 2

làm triệt tiêu đi I hoặc 2 I …Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi) 1

- Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2)

DĐ: 01694 013 498

Bài 1: Tính tích phân sau

3 2 4sin

xdx I

v x dv

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau

1 2sin

v x dv

v x dv

Loại 2: Khi Q x sin ;cosx x

Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định

Nếu bậc của P x bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:

Bước 1: Ta có I p x( ) cosxdxA x( ) sin xB x( ) cos x C , (1)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)

Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận

(Có thể áp dụng cách này cho các dạng e axcosbxdx ; e axsinbxdx)

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

1

0sin

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau:

3

I x xdx  x x x x  x x xC

2 0

1cos

s

xdx

du x dx u

2 3

1

33

2 2

x

xd

d x

u

x v

DĐ: 01694 013 498

a (ĐHDB – 2007)

2 2

2 0

1sin

 Đs: I ln cos xtanxtanx x C

b I cos ln x dx Đs: cos ln  sin ln 

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

1 0

t t

I x e dx x e d x

Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau  

1 0

e

u

e v dv

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Tính tích phân sau:

3

3 0

3

x x

2

1

x x

du x dx x

e

e dx

u

v dv

74

2

31

1

du x

Loại 4: Khi Q x  ln ; lnx n x; logm x; lnf x 

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

1

2 0

ln( 1)( 2)

DĐ: 01694 013 498

Đặt

 2

1ln( 1)

112

2

x dx

dv

v x

x

x x

ln x

I dx x

DĐ: 01694 013 498

Khi đó

2 2

v x

dx du

u x

x dx

dv x dx x

v x

2

2

dx x

x x x

1ln(

2

2

dx x

x x

1

1ln

2

2 2

2 2

2

x v

x

dx dx

x x x

x

du dx

x

x dv

x x

dx

du x

3 ln1

dv

v x

x x

x x

1

dx

x dx

dv

v x

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:

2 1

dx

u x

du x

x dv

ln x

I x

2 2 1

ln x x lnx x1 lnxln x1 thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn

Bài 4: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau:

3 2

DĐ: 01694 013 498

3

dx du

e e

1 ln x  1 2 lnxln x thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn

Bài 9: (ĐHHH TPHCM – 2000) Tính tích phân sau: 2  

2 1

ln 3 3ln 22

dx

x dx

v

x

x d

v x

DĐ: 01694 013 498

3

2 0

Hoặc: Đặt t x2  sau đó mới TPTP 5

Bài 11: Tính tích phân sau:

2 0

1ln1

2

2

111

21

1

t x t x

2 lnln

DĐ: 01694 013 498

Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln

t t

l ln 22

x

I dx x

2 1

Loại 5: Khi Q x sin ln x;cos ln x;sin log a x; cos log a x

Bài 1: Tính tích phân sau

2

2 1cos (ln )

1 1

e e

4

I  x x x dx 

Bài 2: Tính tích phân sau:  

2 6

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHSPQN – 1995) Tính tích phân sau:    

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

0.sin

.cos

0

1

20

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHNN I – B 1998) Tính tích phân sau:

2 2 0

3 2sin 3

2

x x

du xdx u

dx I

x dx I

1sin1cos

sin

cos

n n

x u

x dx x

dx x

ax b

u ax bx c

ax bx c dx

v

x

x d

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHSPV – B 1999) Tính tích phân sau:

1 2 0

1 2

dx dt

t x

a

x x a +C Thật vậy :

1cos

1

2 sincos

cos1

tancos

x u

du dx x

3

I  x  dx 1 7ln 3

4

 

DĐ: 01694 013 498

Bài 2: Tính tích phân sau

2 4 4

43sin

dx I

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau  

2 0

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHTL – 2001) Tính tích phân sau:  

4 0

ln tan

sios

n

x x

x x dv

v

x x

DĐ: 01694 013 498

Bài 3: Tính tích phân sau:  

2 0

x

v x x

ln coscos

ln cossin

cos ln sin

1 2 ln 2sin

HD: Biến đổi số t sinx sau đó mơi TPTP

2 4

3 12

HD: Biến đổi số t tanx sau đó mơi TPTP

Dạng 5: Tích phân là tích của các hàm giống nhau (tham khảo)

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau  

2

2 0

sin cos 1 cos

Các cách khác xem chuyên đề tích phân hàm lượng giác của tác giả

Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau

2 0

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 4: (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau

ln 5 2

x x

x x

u e

du e dx e

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 5: Tính tích phân sau

DĐ: 01694 013 498

2

2 2

2

1

11

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 6: Tìm nguyên hàm sau

2 2

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 7: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau

1

01

21

11

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 8: Tính tích phân sau 3

2 cos2

I I

1

2

cos2

x

e dx I

x



 

v x

Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả

Bài 10: Tính tích phân sau:

4 2 0

DĐ: 01694 013 498

Tương tự: (ĐHNN – 1998) Tính tích phân sau:

2 2 0

sincos

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Tính tích phân sau:

sin

ln tancos

e e

e

x x

ln3

1cos

x

d x x

dx

v dv

2 0

sin 2 cos

x xdx I

sin 2 cos 2 sin cos cos 2 cos

2 0

ln 2

4 16sin

cos

x

d x x

dx

v dv

132

2

x x

Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân

2 1

2 0

1 1

x

x x u

x

x dx

DĐ: 01694 013 498

Bài 11: Tính tích phân sau:

2 1

Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân

Bài 12: Tính tích phân sau: 2  1 cos

1

dx

x x

v x

sin

3sin cos1

tancos

DĐ: 01694 013 498

LỜI KẾT

Tôi hi vọng qua chuyên mục “Phương pháp tích phân từng phần” này các em học sinh không còn phải sợ tích phân nữa và hi vọng các bạn đồng nghiệp có thêm một tài liệu bổ ích cho giảng dạy Tôi không viết ra được hết cách bởi vì thời gian có hạn, chúng ta chỉ cần chú ý một quy tắc “song song” trong TPTP là đã sử dụng được công thức (1) thì cũng sử dụng được công thức (2) và ngược lại

Tuy nhiên năng lực và kinh nghiệm còn thiếu và đôi khi không thể tránh được sai sót khi đánh máy Rất mong các bạn học sinh và các bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp tôi và các bạn hoàn thiện hơn … Xin chân thành cảm ơn

Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa