NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1... CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1.
Trang 1
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
2 2
1
1 tan cos
1
1 cot sin
x x
x x
+ =
= +
= +
=
Công thức góc nhân đôi:
= − = − = −
=
Công thức hạ bậc hai:
2
2
1 cos 2 cos
2
1 cos 2 sin
2
x x
x x
+
=
−
=
Công thức cộng: ( )
(Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau)
Chú ý:
- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: sin 2 2sin cos2 2 2 2
=
= − = − = −
- Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:
3
3
Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2 1
2 1
2
Chú ý: ( )
( )
− = −
− =
07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1
Trang 2
Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ =
− =
+ =
− = −
Công thức biến tính theo
2
2 2
2
2 sin
1
cos 1
=
−
−
t x
t x t
Một số các công thức cần nhớ nhanh
+ = + = −
− = − = − +
1 tan tan
cos cos
− + a b= a b
a b;
2
sin 2
+ =
x
II CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
I1=∫sinx dx= −cosx+C
1 tan cos
dx
ax a
=∫ = +
2 ( ) ( )
1
a
=∫ = − + 9 2 cot
sin
dx
x
=∫ = − +
I3=∫cosx dx=sinx+C
1 cot sin
dx
=∫ = − +
4 ( ) ( )
1
a
sin
cos
x dx
x
=∫ =∫ = − +
2
5
sin
cos
sin
x dx
x
=∫ =∫ = +
2
6
cos
1
cos
x
= = − = − +
7 2 tan
cos
dx
x
1
sin
x
= = − = − − +
Trang 3III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
3=∫cos sin
Hướng dẫn giải:
1
I = x dx= − dx= − x dx= x− x+ = −C x+C
2
I = x dx= + dx= + x dx= x+ x+ = +C x+C
c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được:
3
−
3
3 6
x
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:
dx I
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )
2
c)
I
Đặt
1
cos
= → = − = − = − +
−
( )( )
1 2
9
2 2
1
ln
dt
C
= − +
→ = − − + +
∫
x
= − − + +
−
Trang 4
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
=
+
3
3
sin
=
− −
Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau:
Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau: