SKKN Giảng dạy phần phương trình lượng giác

III, Cơ sở thực tiễn - Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích vànhất là phần phương trình lượng giác 2.. + Phương trình: tanx = a+ Phương trình:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"GIẢNG DẠY PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC"

II, Cơ sở lý luận:

- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu

III, Cơ sở thực tiễn

- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích vànhất là phần phương trình lượng giác

2 Mục đích nghiên cứu:

- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

I, Nhiệm vụ:

Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác:

- Phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình: sinx = a

+ Phương trình: cosx = a

+ Phương trình: tanx = a

+ Phương trình: cotx = a

- Một só phương trình lượng giác thường gặp:

+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Áp dụng để giải các hệ phương trình

II, Yêu cầu:

- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lượng giác ở lớp 10 đã học

+ Công thức cộng

+ Công thức nhân đôi

+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

- Nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

- Biết phân biệt các dạng phương trình lượng giác

- Nắm phương pháp chung để giải các phương trình

- Biết kết hợp nghiệm

4 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo các tài liệu

- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt tổ,nhóm chuyên môn.

6 Thời gian nghiên cứu:

- Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học

Phần thứ hai: Nội dung

A, Kiến thức có liên quan:

Công thức cộng:

cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb

sin(a − b) = sina cosb − cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a − b) = tan tan

Công thức nhân đôi:

cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a

sin2a = 2sinacosa

tan2a = 1−2tgatg2a

Công thức hạ bậc:

cos2a =

2

2 cos

sin2a = 1−cos2 2a

Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosacosb =21[cos(a + b) + cos(a - b)]

sinasinb =

2

1

[cos(a − b) − cos(a + b)]

sinacosb =21[sin(a + b) + sin(a - b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Cosa + cosb = 2cosa+2bcosa−2b

Cosa − cosb = −2sina+2bsina−2b

Sina + sinb = 2sin

Hay: sinx = a ⇔ x = arcsinα + k2π, k ∈ Z

3 ) sin 2

Chú ý: Khi giải cần lưu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ, không

được dùng cả hai đơn vị đó trong một câu

Bài tập2: Gải các phương trình sau:

Chú ý: Với dạng bài 2 sau khi giải phương trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với yêu

cầu của bài toán

Bài tập3: Giải các phương trình sau:

π ππ

Chú ý: Cần chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình một cách nhanh nhất

Cụ thể câu a: đưa về phương trình tích

Trong đó a, b là các hằng số (a≠0), t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình vềdạng cơ bản

2, Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Dạng: at2 + bt + c = 0

Trong đó a, b, c, là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác

3, Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

13

2 12

Chú ý: tuỳ từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập

khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể như câu b,c)

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

Chú ý: Khi giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ

đặt: t = sinx + cosx, với t ≤ 2

hay: t = sinx - cosx, với t ≤ 2

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

( ) ( )

d x+ + x x+ − x= −

Cách giải: Để giải được phương trình có 2 bước:

Bước 1: kiểm tra điều kiện: cosx≠ 0 (hay sinx ≠0)

Bước 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx

( hay cotx)

Kết quả:

a,

3 3 8 arctan

3) 2sin x− cos 2x− sinx= 0 (3)

4) tan tan 2x x= tanx+ tan 2x (4)

Chú ý: Với bài tập 6 cần biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàmn số lượng giác

III, Một số phương trình lượng giác khác:

Cách giải:

+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

+ Dùng công thức biến đổi tổng thành tích

+ Dùng công thức hạ bậc

+ Đưa về phương trình tích

+ Áp dụng tính chất:

( )( )

2, sin2x + sin4x = sin6x (2)

3, sin 4 2 x+ sin 3 2 x= sin 2 2 x+ sin 2x (3)

4, sin 3x+ cos 3x= cos 2x (4)

Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi, công

thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác

Giải:

1,

2 2sin 3 cos 2sin 3 cos3

sin 3 cos3 cos 0

π π

cos8 cos 6 cos 4 cos 2

2cos 7 cos 2cos3 cos

2 2

π π

π π

π π

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

) cos5 cos 4 cos3 cos 2

x k

π ππ

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện

Bài tập5: Giải các phương trình sau:

) sin 2 sin 5 cos

* Cách 1: Giải từng phương trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phương trình đó.

* Cách 2: Giải một phương trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm được vào cácphương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ

còn ( ) 1 2

b ⇔ = +x π  + kπ

 

  không có giá trị nào chung với (c)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x= + π π4 l (l Z∈ )

* Cách 2:

- Giải (1) ta được: 34 2 ( ) ( )

2 ( ) 4

- Thay vào (2) ta thấy (a) luôn thoả mãn (2) còn (b) không thoả mãn (2), (∀k ∈ Z)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x= + π π4 l (l Z∈ )

Vì cos2x ≤ 1 nên 2cos2x ≤ 2.

Vì sin2x ≤ 0 nên 3sin25x + 2 ≤ 2

Do đó (*)

2 2

Phương trình (*.a) có nghiệm x = kπ (k∈ Z)

Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn

Vậy nghiệm của (*) là: x = kπ (k ∈ Z)

Phần thứ ba: Kết luận

Đối với các bài toán có liên quan đến phương trình lượng giác trong khi giảng dạy giáo

viên cần:

+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10

+ Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

+ Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập

+ Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm củaphương trình

C KIẾN NGHỊ:

* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh

* Cần bổ sung bài tập về hệ phương trình

* Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy