Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác Phần 2 Thầy Đặng Việt Hùng.

CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1.. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Dạng 2.. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin Ví dụ 1: [ĐVH].. NGUYÊN H

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin

Ví dụ 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) I4=∫sin3x dx b) I5=∫cos5x dx c) I3=∫cos4x dx

Hướng dẫn giải:

4

cos

3

x

5

c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:

2

Khi đó 3 cos4 3 1cos 2 1cos 4 3 1sin 2 1 sin 4

x

Ví dụ 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) 1 2 cos

x dx I

=

2 2

sin cos

x

x

=∫

c) 3

sin 3 sin

=

+

I

dx I

x

=∫

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 1 2 cos 2 (sin )

I

1 2

b)

( )( )

+ − −

2

c)

sin 3 sin 2sin 2 cos 4sin cos 4 sin cos 4 1 cos cos

I

Đặt

2 2

1

cos

−

( )( )

1 2

3 2

2

1

ln

= − +

→ = − − + +

∫

dt

C

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Thay t = cosx vào ta được 3 1 1 1ln1 cos

−

x

d)

I

−

Đặt

sin

C

Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1

x

Ví dụ 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) 5

sin cos

dx

I

3 6

4sin

1 cos

x dx I

x

= +

x dx I

x

=

−

Hướng dẫn giải:

a)

sin cos sin cos sin 1 sin

I

−

Đặt

2

5

I = − − x + x + = −C x + x + =C x +C

sin cos

dx

b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có:

4sin 4sin sin

4 1 cos sin 4sin 2sin 2

−

4sin

1 cos

x dx

x

+

c) 7 sin3 (cos )3

I

I

= − = −

Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được

2 2

1

=

3

1

1 3

d t

t dt

−

1

dt

−

1

t

t

+

+ + 

Từ đó 7 1ln 3 1 1ln 1 1 2 arctan 2 1 1ln 3 1 1ln 1 1 arctan 2 1

Bình luận:

Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau

−

I

Thay vào ta được :

+

+ + 

∫

u

Ví dụ 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

sin cos

=∫ dx

I

3=∫sin 2 (2 sin+

2 cos 4 1

=

−

I

x

Ví dụ 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) 1 3

sin

=∫ dx

I

3

cos sin

=∫ x dx

I

x

sin cos

=∫ dx

I

Ví dụ 6: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) 1 1 sin 22

cos

+

3 cos

= +

x

c) 3 sin 2

1 cos

=

+

cos

2 cos 2

= +

x

Ví dụ 7: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

a) I1=∫cos2x.cos 4xdx b) I2=∫ 1 cos− 3x.sin cosx 5x dx

3=∫sin cos (1 cos )+

1 sin cos

= +

Ví dụ 8: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

1=∫cos 2 (sin +cos )

3

sin

1 cos

= +

x

c) I3=∫(sin3x+cos3x dx)