Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 I.. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHu
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
2 2
1
1 tan cos
1
1 cot sin
tan cot 1
x x
x x
x x
= +
= +
=
Công thức góc nhân đôi:
sin 2 2sin cos
=
Công thức hạ bậc hai:
2
2
1 cos 2 cos
2
1 cos 2 sin
2
x x
x x
+
=
−
=
Công thức cộng: ( )
sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin
(Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau)
Chú ý:
- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: sin 2 2sin cos2 2 2 2
=
- Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:
3
3
sin 3 3sin 4sin cos 3 4 cos 3cos
Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2 1
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
Chú ý: ( )
( )
− = −
− =
07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos cos
a b a b
− = −
Công thức biến tính theo
2
2 2
2
2 sin
1
cos 1
=
−
−
t x
t x t
Một số các công thức cần nhớ nhanh
sin x+cos x=(sinx+cos )(1 sin cos )x − x x ; sin3x−cos3x=(sinx−cos )(1 sin cos )x + x x
+ = + = −
− = − = − +
cos( )
1 tan tan
cos cos
− + a b= a b
a b;
2 tan cot
sin 2
x
II CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
1 tan cos
dx
ax a
=∫ = +
1
a
sin
dx
x
=∫ = − +
1 cot sin
dx
=∫ = − +
1
a
sin
cos
x dx
x
=∫ =∫ = − +
5
sin
I = x dx= − dx= − +C
cos
sin
x dx
x
=∫ =∫ = +
6
cos
1
cos
x
cos
dx
x
1
sin
x
Trang 3Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Ví dụ 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
1 sin 2
2 cos 4
3=∫cos sin
Hướng dẫn giải:
1
I = x dx= − dx= − x dx= x− x+ = −C x+C
2
I = x dx= + dx= + x dx= x+ x+ = +C x+C
c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được:
sin 2 1 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2
3
−
3
3 6
x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) I7=∫sin 3 cosx x dx b) I8=∫cos 2 cos 3x x dx c) 9
sin 3 sin
dx I
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )
sin 3 cos sin 4 sin 2
2
c)
sin 3 sin 2sin 2 cos 4sin cos 4 sin cos 4 1 cos cos
I
Đặt
1
cos
t t
−
( )( )
1 2
9
2 2
1
ln
dt
C
= − +
→ = − − + +
∫
Thay t = cosx vào ta được 9 1 1 1ln1 cos
x
= − − + +
−
Trang 4Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫sin sin 2 cos 5x x x dx b) 2 sin 3 cos 4
tan 2 cot 2
=
+
3
3
sin 3sin 4 sin 6 3sin 2
=
Ví dụ 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
1=∫cos cos 3
2=∫cos cos 2
c) I3=∫(sin4x+cos4x)(sin6x+cos6x dx )
Ví dụ 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫sin cos 2x x dx b) I2=∫sin 3 cosx x dx
c) I3=∫(2sin2x−sin cosx x−cos2x dx )