9 nguyên hàm lượng giác

Tính các nguyên hàm sau:.

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

I LÝ THUYẾT

(1) sinxdx cosxC (2) cosxdxsinx C

(3) 12 tan

cos x dx x C

sin x dx  x C



Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:

a) sin xdx e) cos 3xdx i) 12

cos x dx



b) sin 2xdx f) cos( x 1)dx j) 22

cos 3x dx



c) sin(1 3 ) x dx g) cos( )

2

x dx





 k) 21

sin (x)dx

d) sin(2 )

6

x dx

 h) 2 cos xdx2 l) 2 

sin 2x1 dx



Giải

a) sin xdx cosxC

b) sin 2xdx = 1cos 2

c) sin(1 3 ) x dx= 1cos(1 3 )

3  x C

d) sin(2 )

6

x  dx





e) cos 3xdx = 1sin 3

3 x C f) cos( x 1)dx = sin(  x 1) C

g) cos

2

x

dx





 = 2sin

2

x

C





h) 2 cos xdx2 = cos 2 1 1sin 2

2

x dx x x C



i) 12 = tanx+C

cos x dx



CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

MÔN TOÁN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

j) 22 2 tan 31

cos 3x dx 3 x C



k)

2

1

cot( ) sin ( x)dx  x C





) sin 2 1

2 1

1 cos 4 2 2

sin 4 2

sin 4 2

x



Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn

=> Dùng công thức hạ bậc

(1) cos2 1 cos 2

2

x

x 

sin2 1 cos 2

2

x

x 

Ví dụ 2 Tính các nguyên hàm sau:

a) cos xdx2 b) sin 2xdx2 c) cos xdx4 d) sin4xcos4xdx

Giải

a) cos2 1 cos 2 1 1 cos 2 1( 1sin 2 )

x

x

x

( sin 2 ) cos 2 ( sin 2 ) [ ( sin 4 )]

4 x x 4 xdx 4 x x 4 2 x4 x C

2

= 1 1 cos 4 1  1 1

x



Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ

=> Tách : Bậc chẵn x bậc 1 => Đổi biến

sin xcos x1

Ví dụ 3 Tính các nguyên hàm sau:

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

a) 3

sin xdx

 b) 5

cos xdx

 c) 3 2

(cos x1) cos xdx

Giải

a) Ta có : sin3xdxsin2x.sin xdx(1 cos 2x) sin xdx

Đặt cosx  t sinxdxdt

I t dt t  C  x  C



b) Ta có: cos5xdxcos4 x.cosxdx(1 sin 2x) cos2 xdx

Đặt sinx t cosxdxdt

2

cos x1 cos xdx cos xcos xdx cos xdx cos xdx

cos

A xdx

Làm tương tự như ý b,

2sin sin

s in

B xdx  xdx x xC

Các công thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) trong lượng giác:

cos cos cos( ) cos( )

2

(2) s inx.cosy 1[sin( ) sin( )]

(3) s inx.sin 1[cos(x - y) - cos(x+y)]

2

y

Ví dụ 4 Tính các nguyên hàm sau

a) sin 3 cosx xdx = b) cos 2 cos 3x xdx c) s inx.sin 2 sin 3x xdx

Giải

a) sin 3 cos 1(sin 4 sin 2 ) 1 1 cos 4 1.( 1) cos 2

= 1cos 4 1cos 2

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

b) cos 2 cos 3 cos 3 cos 2 1 cos 5 cos 1 1( sin 5 s inx)

c) s inx.sin 2 sin 3 (sin 3 sin 2 ) sin x 1(cos cos 5 ) sin x

2

= 1cos sin x 1 cos5 sin x 1 sin 2 1 sin 6 sin( 4 )

= 1cos 2 1( 1cos6 1cos 4 )

- HẾT -