3 điểm Cho đa thức fín nguyên dương.. a Phân tích đa thức f{n thành nhân tử.. b Chứng minh rằng đa thức trên chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n... Gọi M, N lần lượt là t
Trang 1Câu 1 (4 điểm)
x+\x2~4x _x~\x2~4x
x-x?-4x x+x?-4x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có
nghĩa
b) Rút gọn A
©) Tìm x để A < V5
Câu 2 (3 điểm)
Cho đa thức fín)
nguyên dương
a) Phân tích đa thức f{n) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng đa thức trên chia hết
cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n
Câu 3 (3 điểm) Giải phương trình sau :
V7 =x +x +4 = x? -6x +13
Cho A=
— 5n? + 4n véin
Câu 4 (2 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
8bŠ~aŠ 5c3—bŠ 5a°-c® +— <a+b+c
Câu 5 (4 điểm) Cho hinh thoi ABCD 6 A = 120° Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15° va cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N
Chứng mình : 2 12+ 2 ra Câu 6 (4 điểm) Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với
đường thẳng CD Chứng minh rằng nếu
AD II CB thì đường tròn đường kính CD tiếp
xúc với đường thẳng AB
ca+3a
Trang 2
Câu 1
xen 4x _x-VXỔ s4
x-Ýx?-4x x+Ýx?~4x
a) Tập xác định của A: x < 0 hoặc x > 4
b) Rút gọn : A = Vx2 -4x
©) Yx2 -4x < V5 e x2 - 4x<5
œ-1<x<5
Kết hợp với tập xác định ta có :
~1<x< 0 hoặc 4 < x < 5
Câu 2 Cho đa thức fín) = nŠ — 5n + 4n
với n nguyên dương
a) f(n) = nín ~ 1)(n + 1)(n ~ 2)(n + 2)
b) f(n) là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Trong 5 số đó chắc chắn có một số chia
hết cho 3 vâ một số chia hết cho 5 ;
Trong 5 số đó có ít nhất hai số chấn liên
tiếp, một số chia hết cho 2 còn số kia chia
hết cho 4 nên tích của hai số này chia hết
cho 8
Vay f(n) chia hết cho 120 = 3 x 5 x 8 vì
3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau
Câu 3
X?~x+\x+1- x?~6x +13
Tập xác định : -1 < x < 7
Ta c6 (a + b)2 < 2(a? + b2) với mọi a, b suy
ra (|?~x + Jx+1)2 <2(7~x+x+1)— 16
=7-x+\jx+1<4;
Mặt khác x” - 6x+ 13 (x-3)?+4 >4
'Vậy phương trình (1) tương đương với
V?~x+Ýx+1= x2~6x+13= 4 es x3
Vì 3 =[ 1; 7] nên x = 3 là nghiệm duy
nhất của phương trình (1)
A
@)
Câu 4 Vì a, b dương nên ta luôn có :
(a+ b)(a - b)?>0
«©>a3+ b3~ a?b ~ ab2 >0
© 5b3 ~ a3 < 6b3 ~ a?b — ab?
© 5b3 ~ a3 < (ab + 3b2)(2b - a)
SbŠ ~aŠ
<2b-a (1)
ab + 3b"
Tương tự ta có :
3_ p3
Sc 5_<2e~b; (2)
be +3c'
Sa3 —c8
ca+3a2
Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức (1),
(2) (3) ta có bất đẳng thức cần chứng minh
Câu 5 Trên cạnh DC lấy điểm E sao
cho DÄE =159, suy ra NÄE =90%
=> ADAE = ABAM (g.c.g) => AE = AM
A B
N
DEH C x Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có Tà 1s 2
AE“ AN* AH
Xét tam giác đầu ADC, đường cao AH,
ta có AHÊ = 9 AD? = 9 AB? @)
, Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
AM? AN? 3AB?
Trang 3
Câu 6 Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB, CD Kẻ NH, MK lần lượt vuông
góc với AB, CD
B
M
RK,
EY
Nếu AB// CD thì ABCD là hình thang có
MN là đường trung bình, MN /! AB /! CD
c
Suy 18 Swap = Swap: Syec = Šngc
= Syaa = Sasco~ Swan ~ Swac
= Sasco~ Suan ~ Sac = Saco
1 1
1 aB-nH =1.cD-MK
Mặt khác, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với CD nên MA = MB = MK = 7:48 suyra NH = 3.CD = ND= NC
= H thuộc đường tròn đường kính CD
Ta lại có NH vuông góc với AB nên A8 tiếp xúc với đường tròn đường kính CD
