Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: b.. Tìm phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng: a.. Tìm phương
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A LÝ THUYẾT
1 Phương trình tham số - phương trình chính tắc
Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương ( ; ; ) u a b cr
thì d có:
* Phương trình tham số là:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
t R∈
* Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0 (abc 0)
2 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
và d / :
/ / / 0 / / / 0 / / / 0
= +
= +
d đi qua M(x0; y0;z0) và có vectơ chỉ phương là ( ; ; )u a b cr
d/ đi qua M x y z và có vectơ chỉ phương là /( ; ; )0/ 0/ 0/ u a b cr( ; ; )/ / /
* th1: ur
+ Nếu M∉d/ thì d//d /
* th2: ur
/ / /
0 0
/ / /
0 0
/ / /
0 0
+ = +
+ = +
+ Nếu hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì d và d/ cắt nhau
+ Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì d và d / chéo nhau.
B BÀI TẬP
1 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
b Qua A(3;-1;4) và B(1;3;-2)
c Qua A(1;0;-2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 1 = 0
x+ = y− = z
−
e Qua A(-3;4;1) và song song với hai mặt phẳng có phương trình: 2x + 3y – z + 1 = 0; x – y + 2z – 3 = 0
2 Tìm phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng:
a (P): x + y – 2 = 0; (Q): 2x – 3z + 4 = 0 b (P): x + y – z + 3 = 0; (Q): 2x – y + 6z – 2 = 0
3 Cho đường thẳng d có phương trình tham số:
2 2
1 2
= −
= − +
và mp(P): x + y + z – 3 = 0
4 Cho tam giác ABC có A(3;2-1), B(1;4;-2), C(5;-2;3)
Viết phương trình của:
a Trung tuyến AM b Đường cao AH của tam giác ABC
5 Tìm phương trình đường thẳng d:
Trang 2a Song song với đường thẳng: 1 1
x = y− = z−
1 2 1
= − +
= −
x− = y+ = z+
1 2 3
y t
= +
= −
x +y +z -1= 0; y + 2z -2 = 0
1 3 2
z t
= +
= − +
2x +y -z + 2= 0; x - 2 y + 3z -5 = 0
6 Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
a Qua điểm A(2;-3;1) và đường thẳng
4 2
2 3 3
= +
= −
= +
x− = y+ = z−
c Qua điểm C(-2;1;4) và giao tuyến d của hai mặt phẳng: x –y + 2z -1 = 0 và x + 2y + 2z + 5 = 0
x− = y+ = z−
x+ = y− = z−
e Qua E(1;2;-4), vuông góc và cắt đường thẳng là giao tuyên của hai mặt phẳng: x + 2y – 3z + 1 = 0;
2x - 3y + z + 1 = 0
7 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng cho bởi phương trình sau đây:
x− = y+ = z−
x+ = y− = z+
2
1 2
3 4
= +
= +
= −
và
1 2
2 4
5 3
= − −
= −
= +
1 3
= −
= − +
= − +
và
2
5 6
3 2
=
= +
= −
d
12 9
10 5 5
= − +
= − +
= − +
và
6 9 5 3
= −
= −
= − −
a d:
2 3
1 4
5 4
= − +
= −
= − +
(P): 4x – 3y – 6z – 5 = 0
x− = y+ = z−
c d:
5
1 9
4
=
= +
= +
(P): 4x – 3y + 7z – 7 = 0
d
1 2
2 4
3
= +
= +
= +
(P): x- y +2y -5 = 0
9 Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 10 = 0
a Tìm phương trình giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng tọa độ
Trang 3b Tìm giao điểm của (P) với các trục tọa độ.
x+ = y− = z−
3 3
x t
=
= − −
= +
x− = y− = z−
13 Chứng tỏ hai đường thẳng sau chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng:
x− = y− = z−
và
1
6 2 1
z
= −
= +
= −
14 Chứng minh hai đường thẳng sau cùng nằm trên một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đó:
x− = y+ = z−
7 3
2 2
1 2
= +
= +
= −
15 Viết phương trình của đường thẳng nằm trên mp y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng:
1
4
y t
= −
=
và
2
4 2 1
z
= −
= +
16 Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng: 3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt
x− = y+ = z−
−
x+ = y− = z−
và mp(P): x – y – z – 1 = 0 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(1;1;-2) song song với mp(P) và vuông góc với d
x = =y z+
a Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d
b.Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt d
19 Cho mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0 và điểm M(1;2-1)
21 Tìm phương trình tổng quát của mp(P)
a Qua A(0;1;2) và song song với (Q): x – 2y – z = 0 Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)
22 Tính khoảng cách giữa hai mp song song:
a x + y – z + 4 = 0 và 2x + 2y – 2z – 5 = 0 b 2x – y + 2z – 4 = 0 và -4x + 2y – 4z – 7 = 0
23 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a M(1;0;2) và d:
2
2 2 3
= +
= +
= +
6 2
x t
=
= +
= +
Trang 424 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
x = y+ = z−
x+ = y+ = z+
x+ = y− = z+
2 2 3
= − +
= −
26 a Tìm tọa độ hình chiếu của A(1;-2;3) xuống đường thẳng d:
3 2 5
3 4
= − +
= − +
27 Viết phương trình đường thẳng d:
x− = y+ = z
và cắt d2:
1 3
x
y t
= −
= +
x= =y z+
28 Cho đường thẳng d:
1 2 2 3
= +
= −
và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 1 = 0
Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đên mp(P) bằng 3
x+ = y− = z+
7 3
1 2 8
z
= − +
= − +
30 Xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu cho bởi phương trình sau:
c (S): (x -1)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = 16 và (P): 2x – 3y + 6z – 9 = 0
a Chứng tỏ (S) cắt (P)
b Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến (C) của (S) và (P)
c Viết phương trình mặt cầu đi qua (C) và qua A(1;2;1)
5 3
11 5
9 4
= − +
= − +
= −
Tìm tọa độ giao điểm của d với (S), viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm nói trên
33 Cho mp(P): 2x – 3y – 6z + 10 = 0 và đường thẳng d:
7 3
13 9
1 2
= − +
= −
= −
a Tìm điểm M thuộc d có hoành độ x = 3
b Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (P)
c Viết phương trình mặt cầu tâm M và cắt (P) theo đường tròn (C) có bán kính bằng 15
34
a Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(-1;1; 2 ), bán kính R = 2
Trang 5b Chứng minh (P): x – y + 2 z = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S) tại gốc tọa độ.
c Viết phương trình tiếp diện (Q) của mặt cầu tại giao điểm thứ hai của mặt cầu với trục Oy Chứng minh giao tuyến của (P) và (Q) nằm trên mp: y – 1 = 0