Chuyên đề: phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG. Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài “phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”. Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

111Equation Chapter 1 Section 1MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp của đề tài 3

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4

1 Phương trình đường thẳng 4

2 Khoảng cách và góc 5

3 Các dạng bài tập 7

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13

1 Điểm và đường thẳng 13

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác 19

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác 37

CHƯƠNG III TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU 54

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toánTHPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG

Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài

“phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”.

Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng

ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này,tránh những sai lầm dễ mắc phải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được những dạng bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

 Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG

 Đối tượng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm vàkinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua

- Phương pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp thử nghiệm

- Phương pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát, thống kê

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trongmặt phẳng

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình đường thẳng

1.1 Phương trình tổng quát của một đường thẳng

 Phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng ax by c+ + =0

(a2+b2 ¹ 0 )

với n a bur  ;( )

là véc tơ pháp tuyến

 Nhận xét: Nếu nur  là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D thì k n  urcũng là

một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D

1.2 Phương trình tham số của một đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M x y( 0; 0)

a +a ¹ , t là tham số)

 Nhận xét: Nếu uur là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D thì ku  ur cũng là

một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D

1.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm M x y( 0; 0)

1.4 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Phương trình đường thẳng D đi qua điểm A a( );0     0; ,   ,vàB( )b a b ¹ 0

là:

1

x y

a + =b

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Chú ý: Nếu có hai điểm A x y và B x y( A; A) ( B; B),  x B - x y A, B - y A ¹ 0

Chú ý: Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax by c+ + = và hai điểm0

( M; M) (, N; N)

M x y N x y

không nằm trên D Khi đó:

+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với D khi và chỉ khi

(ax M +by M +c ax) ( N +by N + >c) 0

+) Hai điểm , M N nằm khác phía với D khi và chỉ khi

(ax M +by M +c ax) ( N +by N +c) <0

Cho đường thẳng D có phương trình: ax by c+ + = và đường thẳng 0 D¢có

phương trình:a x by c¢ + ¢ + ¢=0

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng D và D¢ta có:

2 2 2 2

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

3 Các dạng bài tập

Chú ý:

 Các điểm đặc biệt trong tam giác

Cho tam giác ABC, khi đó:

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp I:

 Các đường đặc biệt trong tam giác:

+) Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, tachủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện

+) Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc vớicạnh đối diện

+) Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm vàvuông góc với cạnh đó

+) Đường phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB,M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC

 Một số bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đường cao không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố

Cách giải: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK .

- Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH

H K

C x C;yC

:ax+by+c=0 A

B

M1A

D D

=

uuur ruuur r

( uD

r

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng D )

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.

Bài toán 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt

- Xác định M trong hai trường hợp:

- Trường hợp 1: AMuuur = - kBMuuur (điểm M nằm trong đoạn AB).

- Trường hợp 2: AMuuur =kBMuuur (điểm M nằm ngoài đoạn AB).

B A

M

M

B A

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài toán 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.

Bài toán 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm

é =ê

- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn ( )*

 Một số bài toán dựng hình cơ bản

+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng D

H = Ç Dd

+) Dựng A’ đối xứng với A qua đường thẳng D

Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên D

Lấy A’ đối xứng với A qua H:

' '

22

Lấy hai điểm M, N thuộc d Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua

D Khi đó 'd º M N' '

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

a

a

é = êê

ê =êVậy PT đường thẳng D là:   5- x y+ - 13= hoặc 0 x+5y- 13= 0

 Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng.

Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và

Û ê =êVậy có 2 đường thẳng D là:4x y+ + = hoặc5 0 y - 3=0

 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là

đường thẳng D song song hoặc trùng với AB , D đi qua trung điểm của AB

m

é

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Vậy phương trình đường thẳng D¢ là: x y+ = hoặc 0  x y+ + = 4 0

é = ê

-Û ê =êVậy M -( 22; 11- )

Bài tập 1: Cho điểm A(2; 1- )

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

d x y- - =

sao cho AM = 2

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài tập 7: Cho đường thẳng d x: - 2y+ =1 0

Viết phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng45 0

ĐS: 3x y+ + =6 0,  3x y+ - 14=0,  x- 3y- 8=0,  x- 3y+12=0

Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1) Viết phương trình

đường thẳng D đi qua điểm M và cắt 2 đường thẳng

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

sao cho tam giác ABC vuông tại C.

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

c c

é

ê = êÛ

-ê =ê

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán: ( )1;3  ,   7; 3

Trong mặt phẳng tọa độOxy cho , A( )2;1

Tìm tọa độ điểm B trên

:x 2y 2 0

và điểm C trên :  d x- 2y + = sao cho tam giác ABC2 0

vuông cân tai A.

 Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau.

-Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên:

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm

ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC Khi đó ta viết được phương trình đường AC.

B' A

Ví dụ 4( Khối D-2011):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh, B -( 4;1 ,) trọngtâm G( )1;1

và đường phân giác trong của góc A có PT: x y- - 1 0.= Tìm tọa

Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE x y:  - - 1 0=

Gọi M là trung điểm của AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

1 2

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm , A( )0;2

và D là đường thẳng đi qua

O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên D Viết phương trình đường thẳng D , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

Lời giải:

Gọi véc tơ chỉ phương của D là: u a br( ) (; ,    a2+b2 ¹ 0)

PT tham số của đường thẳng D qua O( )0;0

ï =ïî

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác

phía với một đường thẳng.

-Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến nr( )1;1

suy ra có véc tơ chỉ phương

AC u

=

uuur ruuur r

-Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x- 4y+16=0.

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau:

B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d.

B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A.

B3: Viết phương trình đường AC’.

B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’ Tính diện tích AB Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A Hay AB

uuur

cùng chiều với ACuuuur'.

Ví dụ 7( Khối A-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh , A( )6;6 ,

đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình:

Phương trình đường cao AH là: x y- = 0

Gọi I là giao điểm của D và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Từ (1), (2) ta có:

1 2

0 4

x x

ìï =ïí

ï =

-ïî hoặc

1 2

6  2

x x

ìï = ïí

M N

Phương trình đường thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra

-Mà I là trung điểm của MN nên N -( 1;0)

Đường thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra AB :x- 2y+ =1 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

Đường thẳng AC qua A và M nên AC :x- 2y- 1=0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

b

é = ê

+) Nếu b= - Þ1 B(- 3; 1- )

Thỏa mãn +) Nếu b= Þ3 B( )5;3

không thỏa mãn do ,B C nằm cùng một phía so với

AD

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Suy ra đường thẳng BC qua B và C là:

H

K

N M

Gọi A 3 2a;a( - ) Î AH

Do M là trung điểm của AB nên MA = MH

ê =ê

Phương trình đường thẳng AD qua A và D là: y - 3= 0

Gọi N a b( ),

là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N Î AC và MN vuông

góc AD hay MN ADuuur uuur = Û0 a.8+b.0= Þ0 a=0

Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra

Phương trình đường thẳng AC qua A và N là: 2 x- 3y+15= 0

Phương trình đường thẳng BC qua H và D là: 2 x y- - 7= 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại , A Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

D H

M

C B

ïîSuy ra M(0;10 ,)

Ta có HKA· =HCA· =HAB· =HAD· ,

nên AHKV cân tại H , suy ra

HA =HK Mà MA =MK, nên A đối xứng với K qua MH

 Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong

tam giác vuông để chỉ ra MH=MK Nhớ được tính chất chỉ ra HAK· =HKA· .

B- Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có A( )2;2

và các phân giác trong góc ,B góc

Bài tập 2: Cho các điểm A( ) ( ) ( )1;1 ,B 2;5 ,C 4;7

Chứng minh tam giác ABC

có góc A nhọn Viết phương trình đường thẳng d đi qua A asao cho d(B d, ) +d( )C d,

lớn nhất

Đáp số: 2x+5y- 7= 0

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm K thuộc đoạn BC sao

cho CK =3KB. Điểm G thỏa mãn AGuuur = - 2GKuuur. Điểm D thuộc BC saocho GD =GB. Biết D(7; 2 ,- )

Mæ öççç ÷÷÷

÷

çè ø mà chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau

A

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài tập 7: Cho tam giác ABC có A A OxÎ (0<x A <2,5)

Hai đường cao

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H( )3;0

và trung điểm của BC là

( )6;1

I

Đường thẳng AH x: +2y- 3=0

Gọi D E,

lần lượt là chân đường

cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng DE x -: 2=0 và điểm D có tung độ dương.

Đáp số: A(- 1;2 ,) (B 4; 3 ,- ) ( )C 8;5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , M ( )2;0 là trung điểm

cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình.:7x- 2y- 3=0;  6x y- - 4=0

Viết phương trình đường thẳng AC .Đáp số: Phương trình đường thẳng AC : 3x- 4y+ =5 0

Bài tập 11(Khối B-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh , A -( 1;4)

và các đỉnh , B C thuộc đường thẳng :D x y- - 4= X ác định tọa độ các0

điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC,

biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H - -( 1; 1 ,) đường phân giác

trong của góc A có phương trình x y- + = và đường cao kẻ từ B có2 0phương trình: 4x+3y- 1 0.=

d x y+ - = d x y+ - = Tìm hai điểm , B C thuộc d d1,  2 sao cho

tam giác ABC vuông cân tại A

Đáp số: B(- 1;3 ,) ( )C 3;5

hoặc B(3; 1 ,- ) ( )C 5;3

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với , AB = 5,đỉnh C - -( 1; 1 ,)

đường thẳng AB có phương trình: x+2y- 3= trọng tâm0,

của tam giác ABC thuộc đường thẳng: x y+ - 2= Xác định tọa độ các đỉnh0.,

A B của tam giác ABC

Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , A(4; 2 ,- )

phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là:

Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , A( )2,4

Đường thẳng D đi qua trung điểm của AB AC có phương trình:,

4x- 6y + = Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có PT:9 0

 2x- 2y- 1 0.= Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện tích

Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình,

đường phân giác trong góc A là d x y1:   + + =2 0,phương trình đường cao vẽ

từ B là d2:  2x y- + =1 0, cạnh AB đi qua M (1; 1 - )

Viết phương trình cạnh

AC

Đáp số: Phương trình đường thẳng AC: x+2y+ = 7 0

Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng,

1: 2 5 3 0,

d x+ y+ = d2: 5x- 2y- 7=0 cắt nhau tại A và điểm P -( 7;8 )

Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d d1, 2 thành tam giác cân tại

A và có diện tích bằng

29

2

Đáp số: Phương trình đường thẳng d3: 7x+3y+25=0

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

 Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và

hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng…

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh hình bình hành,

ABCD biết tâm hình bình hành là   1;6I ( )

còn các cạnh AB BC CD DA, , ,

lần lượt đi qua M ( )3;0 ; N( ) ( ) (6;6 ; P 5;9 ; Q - 5;4)

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành.

PT đường thẳng AB qua M và song song với CD là: x+2y- 3 0=

Lấy Q¢ đối xứng với Q qua I Þ Q¢(7;8) v Qà ¢Î BC

PT đường thẳng BC qua N và Q¢là: 2x y- - 6= 0

PT đường thẳng AD qua Q và song song BC là: 2 x y- +13= 0

Vây PT các cạnh HBH là: CD x:  +2y- 23= 0