BDHSG CHUYEN DE PHUONG TRINH DUONG THANG 1

Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng.. Đường thẳng này gọi là đường EULER của tam giác Chứng minh: Cho tam giác ABC, gọi

Chuyên đề: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (HÌNH HỌC OXY) CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Phần 1 CÁC TÍNH CHẤT – ĐỊNH LÝ TIÊU BIỂU TRONG HÌNH HỌC

3 Đường phân giác trong của tam giác:

Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng

tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn đó

* Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A

Trang 2

5 Tính chất về đường thẳng EULER:

Tính chất 4.1 Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng

nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng này gọi là đường EULER của tam giác)

Chứng minh:

Cho tam giác ABC, gọi , , G H I lần lượt là trọng tâm, trực

tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp

Gọi D là điểm đối xứng của A của I

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành, suy ra trung điểm

M của BC cũng là trung điểm của HD

6 Các tính chất đặc biệt trong tam giác – đường tròn:

Tính chất 5.1 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm , I G là trọng tâm

tam giác ABC Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD Khi đó: I là trựctâm tam giác DEG và IEDG

Chứng minh:

Gọi , , N H K lần lượt là trung điểm

của các cạnh AC, BC và AD E là

giao điểm của KC và DN

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC

/ /3

Lại có: I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC nên DI AB

 DIGE

Măt khác: DE // BC  GI DE

Do đó: I là trực tâm tam giác DGE

Từ đó ta được: EIDG

Tính chất 5.2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi , P Q lần lượt là trung

điểm của BH và AH Chứng minh rằng Q là trực tâm tam giác ACP và APCQ

Chứng minh:

Trang 3

Do , P Q là trung điểm của BH và

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB 3 AD và

H là hình chiếu vuông góc của B trên CD, M là trung điểm của HC

Chứng minh rằng: AM BM

Chứng minh:

Dựng đường thẳng d qua B và vuông góc với BC

Gọi N CDd Gọi E là trung điểm của BH

Ta chứng minh được: tứ giác ANEM là hình bình

Ta có: ·BAH =BCH· (cùng phụ với góc ·ABC )

Lại có: ·BAH =BCD· (góc nội tiếp cùng chắn

cung BD)

 ·BCH =BCD·

 tam giác CHD cân tại C

 BC là đường trung trực của HD

Do đó: Hvà D đối xứng nhau qua BC

Tính chất 5.5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, có BE và CF là hai đường cao.Chứng minh: IAEF

Chứng minh:

Cách 1

Trang 4

Ta có: tứ giác BFEC nội tiếp  ABC· =AEF·

(cùng bù với góc FEC)

Gọi D là giao điểm thứ hai của AI và  I

Khi đó: ABC· =ADC· (góc nội tiếp cùng chắn

Ta có: xAB· =ACB· (góc nội tiếp và góc giữa

tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

Lại có: Tứ giác BFEC nội tiếp 

Suy ra: Tam giác BDJ cân tại D  BDDJ 1 

Mặt khác: Do AI là phân giác trong góc A  D là

điểm chính giữa cung nhỏ BC

 DBDC  2

Từ  1 và  2 cho ta: DBDJ DC

 D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC

Tính chất 5.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C tâm I có AD là đường phân giáctrong góc A Gọi d là tiếp tuyến tại A của  C d cắt BC tại E

Chứng minh rằng: tam giác AED cân tại E

Trang 5

x

1 2

1 2 3 1

Do đó: Tam giác EAD cân tại E.

7 Một số tính chất đặc biệt trong tứ giác:

Tính chất 6.1 Trong một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc thì độ dài đường cao

bằng độ dài đường trung bình

Chứng minh:

Do hình thang ABCD cân, AC BD tại I nên tam giác AIB

và CID vuông cân tại I

 MN là đường cao cũng là đường trung tuyến

22

AB CD

CD MI

Chọn hệ trục toạ độ Oxy thoả mãn: D O , cạnh AD thuộc chiều dương trục Oy , cạnh DC

thuộc chiều dương trục Ox

1 2 3

1 1

1

Tính chất 6.3 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh

CD sao cho CN 2ND Chứng minh: ·MAN =450.

Mặt khác: DI  CN (đường chéo hình vuông ABCD)  3

Từ  2 và  3 cho ta: E là trực tâm tam giác DNC

 CE  DN  4

Từ  1 và  4 cho ta: MN  DN

 tam giác DNM vuông tại N

Cách 2 Đặt cạnh hình vuông là a a 0 

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DCM để tính DM

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DIN để tính DN

Áp dụng định lý cosin trong tam giác CMN để tính MN

Từ đó cho ta: 2 2 2

Cách 3 Xây dựng hệ trục Oxy tương tự tính chất 6.2.

Tính chất 6.5 Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và

BC Gọi I là giao điểm của CM và DN Ta có: AI AD

Lại có: AP // CM hay FP // CI, mà P là trung điểm của CD

 F là trung điểm của DI 2 

Trang 7

Từ  1 và  2 ta được tam giác ADI cân tại A cho ta: ADAI (đpcm)

Tính chất 6.6 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC Cácđiểm M và K lần lượt là trung điểm của AH và CD Chứng minh rằng: BM MK

Chứng minh:

Gọi E là trung điểm của BH

Ta chứng minh được: Tứ giác CEMK là hình

Tính chất 6.7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua , C N là hình

chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Chứng minh: AN  CN

Lấy điểm phụ E là trung điểm của DH

Chứng minh được tứ giác ABME là hình bình hành và E

là trực tâm tam giác ADM

Trang 8

Phần 2 MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

VÀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A1; 3, phương trình các đường thẳng

chứa trung tuyến kẻ từ ,B C lần lượt là d1: 5x 2y 8 0 và d2 :x5y2 0 Viết phươngtrình đường thẳng BC

Giải:

Cách 1 (Tìm số phương trình tương ứng với số ẩn).

Gọi G là trọng tâm ABC thì G d 1d  tọa độ 2 G định bởi:

Giải ta được: B0; 4 ,  C3; 1  Suy ra phương trình BC: x y 4 0

Cách 2 (Tìm điểm là giao của 2 đường thẳng xác định).

+ Gọi G là trọng tâm ABC thì 4; 2

;2

I B

A

C

+ Gọi G là trọng tâm ABC thì 4; 2

Bài 2. (tương tự Đề ĐH khối D – 2012)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật

ABCD có phương trình AB:x 2y 70, phương trìnhAC x:  7y 8 0 và điểm(2; 5 )

M thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ các đỉnh , , ,A B C D

+ Tọa độ A là nghiệm của hệ: 2 7 0 13 (13;3)

+ BD đi qua B7; 0 và M(2; 5 )nên phương trình x y  7 0

Việc tìm tọa độ C, D thực hiện tương tự như trên

+ Gọi E là trung điểm của MN

+ Viết phương trình đường thẳng  qua E và vuông góc

A

M

N

d

Bài 3. (Đề ĐH Khối A – 2014)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung

điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC Viết phương trìnhđường thẳng CD , biết M1; 2 và N(2; )1

42

M

Cách 2 (Áp dụng công thức tính khoảng cách  tương tự đáp án của BGD))

+ Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Từ giả thiết ta có:

4

c c

Bài toán 3 lấy ý tưởng từ bài toán sau:

Tính chất 6.4.

Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên

cạnh AC sao cho AC4AN

Chứng minh: tam giác DMN vuông tại N

Bài 4 (Đề ĐH khối A, A1 – 2012) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N

là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử 11 1;

M

N

Ý tưởng bài toán 4:

Tính chất 6.3 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của MC, N là điểm trên CD sao cho2

M

N

Trang 16

Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TRỌNG TÂMBài 1. (Khối D 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân

giác trong của góc A là điểm (D1; 1 ) Đường thẳng AB có phương trình 3x2y 9 0 ,tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x2y 7 0 Viếtphương trình đường thẳng BC

Ý tưởng của bài toán 1.1 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Tính chất 5.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C tâm I có AD là đường phân giác trong góc

A Gọi d là tiếp tuyến tại A của  C d cắt BC tại E

Chứng minh rằng: tam giác AED cân tại E

Gọi E là giao điểm của d và BC (do AD không vuông góc với BC nên E luôn tồn tại) và tagiả sử EBEC

Theo tính chất 5.7 ta có tam giác EAD cân tại E

+ Gọi  là đường trung trực của AD  : – 1 0y 

A

C

1 1

1 2 3

+ Theo chứng minh trên ·ADB =DAx·

Suy ra: | cos( , ) | | cos( , ) | | |2 2 1

(chú ý: ta phải thử lại để chọn hai điểm B và C nằm khác phía so với AD )

Cách 3: Kỹ thuật kẻ đường phụ (không sử dụng

Bài 2. (THPT quốc gia 2015).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H là hình chiếuông góc của A trên cạnh BC, D là đểm đối xứng của B qua H và K là

hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử ( 5; 5), (9; 3)H   K  và trung điểmcủa cạnh AC thuộc đường thẳng x y 10 0 Tìm tọa độ điểm A

Ý tưởng của bài toán 2 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng của B qua H và

M là trung điểm của AC Chứng minh AD vuông góc với HM

Giải:

Từ giả thiết ta có:

+  ABD cân tại A và có ·BAH =DAH·  1

+ AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  AHC (có tâm là

M và đường kính AC)

Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn

ngoại tiếp  AHC Khi đó ta có:

+ MA MK (2)

+ ·BAH =AKH· (cùng chắn cung ¼AH )  3

 1 và  3 suy ra ·AKH =DAH· hay AHK cân tại H

HA HK

 3 và  4 chứng tỏ HM là đường trung trực của đoạn AK Vậy AK HM hay ADHM(đpcm)

Giải bài toán 2:

M x

Hoặc có thể tìm điểm A như sau:

Vì MA MK và HA HK nên HM là đường trung trực của AK

+ Viết phương trình đường thẳng HM

+ Viết phương trình AKqua K và vuông góc HM

+ Gọi EHM  AK

E là trung điểm của AK  A

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  T có phương

A

C D

K

M

H B

A

C D

Ý tưởng của bài toán 3 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Tính chất 5.5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, có BE và CF là hai đường cao Chứngminh: IA  EF

Giải bài toán 3:

Đường tròn  T có tâm (1;2) I và bán kính R5

Theo tính chất 5.5 ta có ICHK Do đó IC có (1; 2) I và

vectơ pháp tuyến là KH  ( 3 ; 4 ) nên IC có phương trình:

0 11 4

0 11 4 3

2

2 y x

y x

; 1 5

y x y

x Do x C 0 nên tanhận C( 5; 1)

Đường thẳng AC đi qua C( 5; 1) và có vectơ chỉ phương là

092

2

2 y x

B là giao của BC và  T nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

2(

)1(

023

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm H1; 2 là hình chiếu

vuông góc của A trên BD Điểm 9;3

A

C

Ý tưởng của bài toán 4 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Tính chất 6.6 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC Các điểm M

và K lần lượt là trung điểm của AH và CD Chứng minh rằng: BM  MK

Giải bài toán 4:

Theo bài toán 6.6 ta chứng minh được AK  KM

+ Viết phương trình đường thẳng KM qua M và vuông góc với d  KM : 4 15 0

2

x y 

; 22

K 

 

Do K là trung điểm của DH  D0; 2

+ Viết đường thẳng AH qua H và vuông với BC  AH: x– 1 0  A1; 0

+ Đường thẳng BC qua M và song song với AD  BC: 2x y 12 0

Bài 5. (Đề thi HSG 2015 của Sở GD Cần Thơ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình bình hành

ABCD có đỉnh A2; 6, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC lần lượt là

1

;1 , 2;12

I  J

  Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành

Ý tưởng của bài toán 5 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Trang 21

Tính chất 5.6 Cho tam giác ABC Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tamgiác ABC Gọi D là giao điểm thứ hai của AJ và  I Chứng minh rằng: D là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác JBC.

Giải bài toán 5:

+ Ta viết được phương trình đường tròn  C tâm I và

bán kính IA

+ Viết phương trình đường thẳng AJ qua A và J

Gọi E là giao điểm thứ hai của AJ và đường tròn  C

+ Theo bài toán 5.6 ta có IBIC và EBEC nên IE

là đường trung trực của BC

Ta viết được BC

Khi đó toạ độ B và C là giao của BC và đường tròn

 C

Bài 6. (Đề ĐH khối A, A1 – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm

C thuộc đường thẳng : 2d x y  5 0 và A  4;8 Gọi M là điểm đối xứng của B qua C,

N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biếtrằng N5; 4  ĐS C: 1; 7 ,   B4; 7 

Ý tưởng của bài toán 6 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Trang 22

1 2

1 2 3 1

M

Tính chất 6.7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi F là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuônggóc của B trên đường thẳng FD Chứng minh: AN  CN.

HD giải bài toán 6:

Cách 1.

Theo tính chất 6.7 ta chứng minh được AN  CN

+ Nên viết được phương trình đường thẳng CNqua N và vuông góc AN

+ C CN  d  C1; 7 

+ Do M đối xứng với B qua C nên CM CB

Mà CBAD và CM //AD nên tứ giác ACMD là hình bình hành, suy ra AC// MD

Theo giả thiết, BN DM  BN AC BC CN,  (đường trung tuyến trong tam giác vuông

BNM)

Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC

Viết phương trình đường thẳng AC

Viết phương trình đường thẳng BN

Bài 7. (Đề thi HSG Cần Thơ 2016) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác

ABC vuông tại A có AH là đường cao Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tamgiác AHB và AHC Biết rằng A2;5 , I 2; 1 ,    J6;1 Tìm toạ độ các đỉnh B và C

Trang 23

Ý tưởng của bài toán 6 xuất phát từ bài toán hình học phẳng sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao Gọi I và J lần lượt là tâm đường trònnội tiếp tam giác AHB và AHC Gọi D và E lần lượt là giao điểm của AI và AJ với BC Chứngminh rằng tam giác ABE cân tại B và tam giác ACD cân tại C

Chứng minh:

Gọi E là giao điểm của AJ và BC; D là giao điểm của AI và BC

Ta có: ·AEB =EAC· +ACE· (cùng bù với góc ·AEC hay là góc ngoài của tam giác ACE)

 tam giác ABE cân tại B

Tương tự: Tam giác ACD cân tại C

Giải bài toán 7:

Theo chứng minh trên:

* Tam giác ABE cân tại B

 BI là đường phân giác cũng là đường cao nên BI  AE hay BI  AJ

Ta viết được đường thẳng BI qua I và nhận vectơ AJ

làm VTPT

E là điểm đối xứng của A qua BI  toạ độ điểm E

* Tam giác ACD cân tại C

 CJ là đường phân giác cũng là đường cao nên CJ  AD hay CJ  AI

Ta viết được đường thẳng CJ qua J và nhận vectơ AI làm VTPT

D là điểm đối xứng của A qua BJ  toạ độ điểm D

* Đường thẳng BC qua D và E

Khi đó:

 BBC  BI C BC  CJ

Cách 2 (Thầy Hứa Lâm Phong)

Tính chất: Đường tròn đường kính IJ cắt AH và BC lần lượt tại D và F Khi đó: tứ giác

IDJF là hình vuông

Trang 24

Ta có: IHJ =· 900 nên năm điểm I H F J D, , , , cùng thuộc một đường tròn tâm K

Do đó: ·IJ F =J HF· =450  IFJ· =MJ D· =J DI· =DJ M· =900

 Tứ giác AFJD là hình vuông

+) Viết phương trình đường tròn  T đường kính IJ

+) DF là trung trực của IJ  phương trình DF

+) Hai điểm D và F là giao điểm của đường thẳng DFvà  T  D và F

Bài 8 Bài toán hình phẳng Cho tam giác ABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC và

MEND nội tiếp

Bài 8.1 (Hình học Oxy) Cho tam giác ABC có B1; 4 Gọi D và E1; 2 là chân đường cao

kẻ từ A và B Gọi N là trung điểm của AB Biết 3 7;

2 2

I 

tiếp tam giác DEN Tìm toạ độ đỉnh C ĐS: 1; 2 ;  C5; 2

HD:

Viết phương trình AC qua E và vuông góc BE  AC: y2

Gọi C c ; 2  AC

Theo bài trên, tứ giác ENDM nội tiếp nên IM IE R

Bài 8.2 (Hình học Oxy) Cho tam giác ABC không vuông Gọi D1; 4 ,  E2; 1 ,   N1; 2 lần

lượt là chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm của AB Tìmtoạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường

4;3 ,  2;1 ,  3;1

HD:

Theo bài trên, ba điểm D E N M, , , cùng thuộc một đường tròn

Viết phương trình đường tròn  C đi qua ba điểm D E N, ,

Bài 9 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu 2016) Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A trên BC, các điểm M2; 1  và N lần lượt là trung điểm của HB

Ý tưởng lấy từ tính chất sau:

Tính chất 5.2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi , P Q lần lượt là trung điểm của

BH và AH Chứng minh rằng Q là trực tâm tam giác ACP và AP  CQ

Do đó: H là trực tâm tam giác ACP và AP  CQ

Hướng dẫn giải bài toán 9:

Mặt khác: N là trung điểm của CH

 K là trung điểm của DH

 Viết phương trình BC qua H và M

Cách 2: Tìm C:

 Viết phương trình BC qua H và M

Trang 27

PHẦN 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A1; 0 và hai đường thẳng lần

lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x 2y 1 0 và

đường thẳng 3 x y  1 0 Tính diện tích tam giác ABC

Đặt vấn đề : Tính “diện tích tam giác” là một chủ đề không quá mới với học sinh nhưng chắc

chắn sẽ làm mất không ít thời gian của chúng ta khi tính chúng Có rất nhiều công thức tínhdiện tích tam giác Qua bài toán này tác giả cũng muốn tổng kết lại cho bạn đọc Mời bạn đọccùng theo dõi

Ý tưởng:

_ Để tính diện tích ABC  ta tìm tọa độ điểm B và C

_ Để tìm tọa độ điểm B xét điểm BAB CH  viết phương trình AB qua A và

Vậy diện tích tam giác ABC là SABC 14(dvdt)

► Cách tính diện tích tam giác ABC:

Vậy diện tích tam giác ABC là SABC 14(dvdt)

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A0;3 , trọng tâm 5;3

3

G  

  , đường cao AH: 3x4y 12 0 với Lập phường trình đường BC và tìm tọa độ điểm B