Phơng trình vô tỉ 1 Định nghĩa: Là PT chứa ẩn trong căn thức 2 Ph ơng pháp chung: Sử dụng phép lũy thừa để khử căn thức 3 Một số l u ý khi giải: * Trong quá trình khử căn, do tính không
Trang 1Phơng trình vô tỉ 1) Định nghĩa: Là PT chứa ẩn trong căn thức
2) Ph ơng pháp chung: Sử dụng phép lũy thừa để khử căn thức
3) Một số l u ý khi giải:
* Trong quá trình khử căn, do tính không thuận nghịch của các phép toán nên nói chung ta không thu đợc PT, BPT tơng đơng do TXĐ có thể đợc mở rộng hoặc thu hẹp ⇒ KL sai về tập nghiệm
VD: Biến đổi từ A B thành . A B thờng làm thu hẹp TXĐ.
Biến đổi từ A B thành . A B thờng làm mở rộng TXĐ.
* Cần phải nắm vững các phép biến đổi tơng đơng
a) Đối với ph ơng trình:
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
≥
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x g x
≥
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
≥
( ) 0
f x
≥
b) Đối với bất ph ơng trình:
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥
> ⇔ >
( f x( )< g x( ) hiển nhiên đa đợc về dạng đó)
2
( ) 0 ( ) 0
( ) 0 ( ) ( )
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
≥
<
> ⇔ ≥
>
2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
< ⇔ ≥
<
* Đối với một số phơng trình chứa căn thức bậc hai sử dụng phơng pháp giải bình phơng hai vế, nếu không
đảm bảo đợc quá trình biến đổi tơng đơng thì sau khi giải xong nên thực hiện bớc thử nghiệm để chọn nghiệm thích hợp
Bài tập
Ph ơng trình
I) Dạng cơ bản:
1) x2− + =3x 2 2x−5 2) x2+3x+ =3 2x+1 3) x2−4x+ =3 3x2− +x 2 4) x+ 3x+ − =1 2 2x−1 5) 1 1 4x2 3
x
II) Dạng luỹ thừa:
1) x+ = −1 3 x+4 2) x+ −3 7− =x 2x−8 3) x− x+ −1 x+ +4 x+ =9 0
4) 3 x− +2 3 x+ =3 3 2x+1 5) x+ −2 x+ =1 x 6) 3 2x− =1 x316−3 2x+1
7) 3 x+34−3 x− =3 1 8) x+ = −1 3 x+4 9) x+ =1 x+ −6 4−x
10) 5 1x− − 3x− −2 x− =1 0
III) Dạng đặt ẩn phụ:
1) 5x +10x+ = − −1 7 x 2x 2) 1 1 2 2
3
x+ − = +x x x− 3) 23 − = −x 1 x−1
Trang 22 2 3 2
4) (x+1) +4 (x−1) =5 x −1 5)2(1−x x) 2+2x− =1 x2 −2x+1 2
35 6)
12 1
x x x
−
2 7) (x+5)(2− =x) 3 x +3x 8) x2+ + +x 4 x2+ + =x 1 2x2+2x+9
9) x+ +3 6− −x (x+3)(6−x) 3= 10)(4x−1) x2+ =1 2x2+2x+1
11)(x +3x+ = +1) (x 3) x +1 12) 3 ( 2)3 ( 2)
2 2
x x
1 15) ( 3)( 1) 4( 3) 3
3
x
x
+
− 16) 2x+ +3 x+ =1 3x+2 2x2+5x+ −3 16
3 1 1
2+ +x 2− =x 18) 5+ + − − = +x x 3 1 (5+x)(− −x 3)
2
2
+ + = −
+ 20) x+ 4−x2 = +2 3x 4−x2 21) (23 −x)2 +3 (73 +x)2 =4 (23 −x)(7+x)
IV) p h ơng pháp tách căn:
1) x − + +3x 2 x −4x+ =3 2 x −5x+4 2) x x( − +1) x x( +2) 2= x
3) x + − +x 2 x +2x− =3 x +4x−5 4) x2− + +8x 15 x2+2x−15= 4x2−18x+18
5) 2x +8x+ +6 x − =1 2x+2 6) x2−4x+ −3 2x2− + = −3x 1 x 1
V) p h ơng pháp đ a ra căn:
3
2
x
x+ x+ + x+ = 3) x+2 x− +1 x+4 x− =4 3
4) x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1 5) x− +1 2 x− −2 x− −1 2 x− =2 1
VI)Ph ơng pháp liên hợp:
3
5
x
x+ − x− = +
2)3(2+ x+2) 2= x+ x+6 3) 2 2 1 1
x
x
+
2
2
(1 1 )
x
x
+ +
2
2
2
(3 9 2 )
x
x
− +
2 6)4(x+1) =(2x+10)(1− 3 2 )+ x
7) x+ +1 x− =1 x 8)2 x− −1 x+ = −2 x 2
VII) Ph ơng pháp đ a về hệ
1) 3 2− x+ 2x+14 3= 2)4 x+40+457− =x 5 3)3 x− = −9 (x 3)3+6
4)x+ 17−x +x 17−x =9 5)3+ 3+ x =x 6)x335−x x3( +335−x3) 30=
2 2 7)x= −3 2(3 2 )− x 8) (23 −x)2 +3(7+x)2 −3 (2−x)(7+x) 3=
9)(x +3x−4) +3(x +3x− = +4) x 4 10)x3− =6 3 x+6 11)1 1 2 2
2
−
VIII) Ph ơng pháp đặt 2 ẩn phụ u , v :
1)x + =2 2 x +1 2)10 x3+ =8 3(x2− +x 6) 3) x3− =1 x2+3x−1
Trang 32 2
4) 5x +14x+ −9 x − −x 20 5= x+1
IIX) Ph ơng pháp biểu diễn qua u,v,z t :
1) 8x+ +1 3x− =5 7x+ +4 2x−2 2) 2x2− +1 x2− − =3x 2 2x2 +2x+ +3 x2− +x 2
IX) Ph ơng pháp bd qua ax b mx n+ = +
2
1)x + x+ =5 5 2)x2−2x− =3 x+3 3)x2+ x+ =1 1 4)x2+ +x 12 x+ =1 36
2
6)7 7
28
x
X) Ph ơng pháp đánh giá:
1) x −2x+ +2 3x −6x+ =4 2 2) 3x2+6x+ +7 5x2+10x+14 4 2= − x x− 2
3) x+ x− +5 x+ +7 x+16 0= 4) x− +2 4− =x x2−6x+11
2 5)x 1+ +x 3− =x 2 x +1 6)3 x+ +1 3 x+ +2 3 x+ =3 0
2
2
− + − = − + 8)(x3+ +1) (x2+ +1) 3x x+ =1 0
9) x+ +1 2x+ +3 2x− =5 6 10) 2 2 2 42 4 ( 2)
2 11) x− +3 5− =x x − +8x 18 12) x2−4x+ +5 2x2− + = − +8x 9 2 4x x− 2
XI) Ph ơng pháp xét hàm:
3
1)2(x−2) 4x− +4 2x−2=3x−1 2)(x+1) 2x− =1 2x+8
Bất Ph ơng trình
Dạng cơ bản
2
1) 3 3 2 1 2) 3 2 2 5 3) 3 4
1
+ + < + − + > − − < −
+
+ − + > − + + + < − − <
2
x
− + − > − − ≤ − − + − + >
+ − < − + − − − > + − < −
II)Dạng luỹ thừa:
( 2 )
Trang 42 2
− + + > + > − + + ≤ + − − + − − < −
III)Dạng đặt ẩn phụ:
2
1
1
x
x
− +
− > + + − − > + − − − < − + − −
+
+ + + + + > + + + + − − < + + − −
+ + − + + >
IV)Dạng phân tích nhân tử:
V) Dạng nhân liên hợp:
2
2
2
x
x
< + − − + − + − > + + − − + +
VI)Dạng đánh giá:
2 2
4
x
2
2
Hệ vô tỉ
Bài 1: Giải
4
10
+ =
+
+ + + =
Trang 53 3 6 35
;
x x y y
8 5
x y
− =
+ − =
4
6
x y z
+ + =
+ + =
y+ x y- x 1
ïï
íï
ïî
;
ïï íï
ïî
;
ïï íï
ïî Bài 2: Giải và biện luận
ïí
ï - =
ïî ; x2 y 2 x y2 a2 2 (a > 0)
ïï
2 2 2 2
4 4 4
2
ïïí
ïïî
Phương pháp đồ thị
Tìm m để pt có nghiệm
4−x =mx+ −2 m x+ −1 x =m ; x x− = −m x ; 2 x x− 2 =m
;
x y m
+ =
2
x− ≥ − +
− ; cos x mcos x2 = 2 1 tan+ x