Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn Bài toán: Giải hệ phương trình Ax 0 2 By C Phương pháp chung: Cách 1: Được áp dụng cho mọi yêu cầu của dạng trên và
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
GIÁO VIÊN: ĐẶNG MẠNH HÙNG
TỔ: TOÁN
CÁC LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
ax+by=c
a'x+b'y=c'
1 Cách giải và biện luận
* Tính
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
x
y
a b
c b
a c
' '
D
x
y
D x D D y D
=
=
' '
D
VD: 0x+0y=1
0x+0y=3
2 Ý nghĩa hình học
a'x+b'y=c' là pt của đường thẳng d2 trong mặt phằng
D
=
⇔
≠ ∨ ≠
3 Bài tập
Trang 2Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài 1: cho hệ phương trình mx+y=m-1
x+my=m+1
b Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x y0; 0) thỏa mãn y0 ≥ +x0 2
Tìm MaxZ = +x0 y0
Giải:
2
2
2
1
1 1
1 1
1 1
1
x
y
m
m m
m m
m
−
+
−
+
Cần có nghiệm thỏa mãn
2 2
2
1
y x
m m
− −
−
b Với 1< ≤m 2 ta có:
( ]
2
1;2
2 1 2
1 4
=Z(2)=
3
axZ
m
m
m
m
M∈
= + =
+
= > ⇒ ↑ ∀ ∈
+
Bài 2: Tìm b để mọi a hệ phương trình 2
x+2ay=b ax+(1-a)y=b
Giải:
2
2 2
2 2
1 2
1
2
2 1
1
x
y
a
b
a b
−
−
1
2
a
a
≠ −
≠ ⇔ − − + ≠ ⇔ ≠ ⇒hệ phương trình có nghiệm mọi b
Trang 3+ Khi 2
1
2
a
a
= −
= ⇔ − − + = ⇔
=
- Với a=-1
2
2 2
2
x y
⇒ = + ⇔ − = − có nghiệm
2
0
2
b
b
=
= −
2
2
+ =
2
0
2
b
b
=
=
KL: Hệ phương trình có nghiệm với mọi x khi b=0
Bài 3: Tùy theo m, tìm giá trị nhỏ nhất hàm
0
* ( )
* s/c f(x)=m(DK =)
* ( )
* s/c f(x)=m(DK =)
in ( )
ax ( )
x D
x D
m
m
M f x
M f x
∈
∈
≥ ∀
= ⇔ ∃ ∈
≤ ∀
= ⇔ ∃ ∈
Giải:
Có P≥ ∀0 x y,
x my P
+ − =
= ⇔ + − − =
4 2( 2)
m
m
−
+ D≠ ⇔ ≠ − ⇒0 m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇒Pmin =0
+ D= ⇔ = − ⇒0 m 2 hệ phương trình
1
4
− =
− =
Đặt t=x-2y
Trang 4Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Cách 1:
min
6 ' 34 12 0
17
khi t=
p
=
Cách 2:sử dụng tính chất của hàm số bậc 2
17
a
∆
17
b x a
= − =
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hệ phương trình 3
ax+by= ab+3
Tìm a, b để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=y=1
Bài 2: Cho hệ phương trình ( )
2
x+ m+3 y=2m+3
b Với m tìm được, xác định min của A=x+y
Bài 3: Tìm a, b để hệ phương trình ( 3) 4 5 3
x+my=ma-2b+2m-1
Bài 4: Tìm min của ( ) (2 )2
Bài 5: Giải và biện luận : ( )
( )
1-b x+ay=3
B Hệ phương trình bậc cao
I Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài toán: Giải hệ phương trình
Ax 0 (2)
By C
Phương pháp chung:
Cách 1: Được áp dụng cho mọi yêu cầu của dạng trên và thông thường bài toán được cho bới
dạng:
Cho hệ phương trình (I)
a Giải hệ với một giá trị cụ thể của tham số
b Có thể gặp các câu hỏi:
+ Giải và biện luận hệ theo tham số
Trang 5+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm.
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó ta nên làm:
Bước 1: Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào (1) khi đó ta được phương trình bậc 2 theo x hoặc y, giả sử:
f(x,m)=0 (3)
Bước 2: Giải câu a bằng cách thay giá trị cụ thể của tham số vào (3) từ đó có được x rồi suy ra y
Bước 3: Giải câu b
Nếu câu hỏi là:
+ Giải và biện luận hệ theo tham số ta sẽ đi giải và biện luận (3)
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có nghiệm
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có nghiệm duy nhất
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có hai nghiệm phân biệt
Cách 2: Phương pháp đồ thị
Được áp dụng cho các bài toán chỉ đòi hỏi:
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó ta làm như sau:
Bước 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các đường:
(C) ax2 +bxy cy+ 2 +dx ey f+ + =0 là một đường cong bậc 2
(d):Ax+By C+ =0 là một đường thẳng
Bước 2: Dựa vào vị trí tương đối của (C) và (d) ta được câu trả lời cho yêu cầu bài toán
Bài tập:
Bài 1: cho hệ phương trình
+ =
+ =
2 4 2 8 (1)
2 (2)
a Giải hệ phương trình khi m=4
b Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
Trang 6Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Giải:
Từ phương trình (2) ta được: 2y m x (3)= −
Thay vào (1) ta được: x2 +(m x− )2 = ⇔8 2x2−2mx m+ 2− =8 0 (4)
a Với m=4 thì
( )4 ⇔2x2−8x + = ⇔8 0 x2−4x + = ⇔ =4 0 x 2
Thay x=2 vào (3) ( với m=4) ta được: y=1
Vậy với m=4 hệ phương trình có một cặp nghiệm là: x=2; y=1
b Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
xét phương trình (4) ta có: ∆ =' 16 m− 2
+ Nếu ∆ < ⇔' 0 16−m2 < ⇔0 m >4
Phương trình (4) vô nghiệm hay hệ phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆ = ⇔' 0 16−m2 = ⇔0 m = ±4
Với m=4: như trường hợp a
Với m=-4: thì (4) có nghiệm x=-2 thay vào (3) ta được:y=-1
+ Nếu ∆ > ⇔' 0 16−m2 > ⇔0 m <4
Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt là:
= + 16− 2
2
2
x
2
4
y
2
4
y
Vậy hệ có 2 nghiệm
Kết luận:
- Với m=4 hoặc m=-4 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Giải hệ phương trình
9 4 36 (1)
2 5 (2)
x y
+ =
Giải:
Trang 7Cách 1: Phương pháp thế
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Cách 2: Phương pháp lượng giác hóa
3cos
Thay (2) vào (1) sin2t c t+ os2 =1
sin
cos
Vậy hệ có nghiệm
Bài 3: tìm m để hệ phương trình có nghiệm
4 (2)
x y
+ =
Giải:
Cách 1: Phương pháp thế
Ta có: ( )1 ⇒x2 + −(4 x)2+mx m+ (4− − − = ⇔x) m 1 0 2x2−8x + +15 3m =0 (3)
Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi (3) có hai nghiệm phân biệt hay:
7
3
∆ > ⇔ − − > ⇔ < −
Khi đó: (3) có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn:
1 2
2
x x
Khi đó:
8
3
3
Trang 8Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải hệ phương trình
2
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
9x 16y 144
x y m
− =
Bài 3: Cho hệ phương trình:
x y a
+ =
− =
Xác định các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 4: Cho hệ phương trình:
0
x ay a
+ − =
+ − =
a Giải hệ khi a=1
b Tìm a để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
II Hệ phương trình đối xứng loại I
1 Nhận dạng: Nếu thay x bởi y và y bởi x mà từng phương trình trong hệ phương trìnhệ
không thay đổi Thì có hệ phương trình đối xứng loại I
2
+ + =
2 Cách giải chung.
+ Biến đổi từng phương trình trong hệ phương trình chứa x+y & xy
=
S x y
P xy .
Khi đó có hệ phương trình 2 ẩn S, P
3 Các trường hợp riêng.
+ Hệ phương trình đối xứng vơi x & -y
+ Hệ phương trình đối xứng với xy khi đặt S= x+y và P=xy Hệ phương trình 2 ẩn S, P phức tạp ta chọn cách đặt ẩn phụ khác để nhận được hệ phương trình đơn giản hơn
Trang 94 Hệ phương trình chứa tham số
* Nếu giải theo cách đặt S, P
n ,x y
∃ là n S, P2
+ S 4P
o
+∃
≥
+ đk ∃ no duy nhất x, y là: n S, P2
+ S =4P
o
+∃
+ Nếu giải theo cách đặt ẩn phụ khác: điều kiện tồn tại nghiệm giải theo phương pháp biến số ( Tách biến, xét hàm)
Chú ý: điều kiện nghiệm duy nhất ta có thể làm theo cách điều kiện cần và đủ
+ đk cần: gsử hệ phương trình có nghiệm (x y0; 0) do tính đối xứng nên (y x0; 0) cũng là nghiệm
trình tìm ra m
+ đk đủ: thay m tìm được vào hệ phương trình thử lại và kết luận
5 Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a
+ =
+ + =
b
( ) ( )
7 1
21 2
+ + =
Giải:
a
⇔
=
2
ieàu kieän: s 4p
s x y
p xy
+ =
2
( 3 ) 8
Bài 2: Giải hệ phương trình : ( )
( )
Bài 3: Giải hệ phương trình :
1 1
− + = −
Trang 10Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài 4: Giải hệ phương trình
2 2
1
1
x y
xy
x y
Đặt u=x+1\x; v=y+1\y
Bài 5: Giải hệ phương trình ( 1)(2 1) 122
8
+ + + =
Bài 6: 2 8 2
x y
+ =
+ + + =
Bài 7: Tìm m để hệ phương trình x xy y m2 2 1
x y y x m
+ + = +
Chú ý: Để giải đk 2
4
Bài 8: Tìm m để hệ:
5
15 10
+ + + =
có nghiệm
Bài 9: Giải hệ phương trình sau:
1
3( ) 7( )
13 6 5
x y
+ =
+ =
2
6
1 1
5
5
x y
+ + + =
+ + + =
+ − =
+ + + =
2
x y
+ =
+ =
4
( 1)( 1) 10
x y xy
( 1)( 1) 10
x y xy
26
x y
+ =
+ =
4
x xy y
+ + =
+ + =
( 1)( 1) 72 ( 1)( 1) 2
x x +y y=35
x y
Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Trang 11a
( 1)( 1)
+ + + =
+ + =
1
+ − = −
2( 1)
+ − − =
Bài 12: Tìm m để
1
x y xy
+ = +
III Hệ phương trình đối xứng loại II
1 Nhận dạng: nếu thay x thành y, y thành x trong hệ gốc mà pt(1) của hệ trở thành pt (2) ; pt(2) trở thành pt(1)
2 Dấu hiệu: Các hằng số có mặt ở 2 pt giống hệt nhau
3 Cách giải
B1: Trừ các vế của 2pt được: (x-y).g(x;y)=0
B2: Dùng phương pháp thế được nghiệm hệ
(Độ phức tạp phụ thuộc vào g(x;y)=0)
Chú ý: Nếu trong các pt của hệ còn chứa hàm căn, logarit,mũ… ta có thể dùng cách biến đổi hoặc đặt ẩn phụ đưa hệ về hệ đơn giản
Bài tập hệ phương trình
Bài 1:
1)
2 2
= +
= +
3 3
2 2
= +
= +
2)
2
2
3 2 3 2
x y x
y x y
= +
8)
+ + − =
+ + − =
3 3
1 2
1 2
+ =
+ =
4)
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
= +
=
10)
2
2
1 2 1 2
y
x
= +
= +
5)
2
2
2 1 2 1
y x
y x y x
=
=
+ − =
Trang 12Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
6)
1 2 1 2
x y y x
+ =
+ =
1 1
+ + =
+ + =
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
+ − =
+ − =
3 3
+ − =
+ − =
4 2
+ + − =
+ + − =
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất?
1)
2 2
= − +
= − +
2 2
2 2
m
y m
x
= +
= +
2)
2 2
( 1) ( 1)
+ = +
+ = +
3)
4 4
3 3
2 2
= + +
= + +
IV Hệ phương trình đẳng cấp
1 Định nghĩa
* Biểu thức f x;y( ) gọi là đẳng cấp bậc k nếu f mx;my( ) =m f x y k ( ; )
( ; )
2 Cách giải
+ xét x=0 ( Hoặc y=0) thay vào hệ=> kết luận có nghiệm hay không có nghiệm
+ x#0 đặt y=kx thay vào hệ chia các vế 2 pt được pt ẩn k
3.Bài tập
1)
2
19
x y y
− =
2)
2
Trang 133)
y x =30
x x +y y=35
x y
4)
3 3( 1)
− = +
7
− =
5
− + = −
− + =
C MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁC
1
2
2
+ + + =
2
3 3( 1)
− = +
3
2
2 1
xy
x y
+ = −
4
1 3
+ + =
+ = +
5
1
6
2
2
3
x y x
x y
7
4 0
+ + + − =
+ − − + + =
3
+ − − = −
9
2
2
1
3 1
3
x x
x
x
+ + =
+ + =
10 2 1 1
+ + − + =
+ =
11
+ = −
1 1
1
1 log 1 log 2
6
+ =
13
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
2
+ + − =
15
7( )
2
+ = + +
16
( )2
2 19
x y y
− =
+ + =
18
6
+ =
+ = −
19
2
20
( ) 2
log
xy
xy
Trang 14Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
21
1
x
x x
x
y
+
+ 22
x y
+ =
23
1
2x y 2x
x y
+ = +
24
4
4
4 4
y x
x y
−
−
25
2
6 6
+ =
÷ ÷
26 ( )
3
3 4
1 1 3
x
x
27 Tìm a để hệ có nghiệm 28 ( )
+ = +
2
2 2
1 1
x a y
29
8 8
4
30
2
− =
31
− + =
( ) (3 2 3 2)
6
0
x y x y
+ − + = −
+ + − =
( )
4
1
25
y x
y
+ =
35
− + − =
2 1 2
y
x
−
−
37
12 12
+ + − =
− =
3
2
+ = + +
39
+ = +
40
3
2
2 1 log ( 3) 1
x x
y
+
+
41
+ + + =
Trang 1543 xy x x(− −32)x 2y y y(=164) 33
+ + + + + =
− − + + + + =