§Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n ÔN THI ĐẠI HỌC §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THAM SỐ I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Dạng 1: Giải hệ ( ) ( ) (1) ( , ) 0 (2) f x f y g x y  =  =  . Ta có thể tìm lời giải theo một trong hai hướng sau :  Hướng 1 : PT(1) ( ) ( ) 0f x f y⇔ − = (3). Tìm cách đưa (3) về dạng tích.  Hướng 2 : Xét hàm số ( )y f t= . Ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trên tập xác đònh của nó. o Nếu hàm số ( )y f t= đơn điệu thì từ (1) ta suy ra x y= . Khi đó ta đưa bài toán về giải và biện luận phương trình (2) theo ẩn x . o Nếu hàm số ( )y f t= có một cực trò tại t = a thì nó đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) ta suy ra x y= hoặc ,x y nằm về hai phía của a. Dạng 2: Giải hệ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g y f y g x  =  =  . Ta thường gặp trường hợp cả hai hàm ,f g cùng đồng biến hoặc nghòch biến. Ta giả sử ( ) ( ) ( ) ( )x y f x f y g y g x y x≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ( ,f g cùng đồng biến). Khi đó ta suy ra x y= từ đó đưa hệ phương trình trên về dạng ( ) ( ) ( ( ) ( )) x y g x g y hoặc f x f y  =  = =  II. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN : Hệ đối xứng loại I : Dạng ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y  =  =  , trong đó ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f y x g x y g y x  =  =  Cách giải : + B1 : Đặt điều kiện (nếu có) + B2 : Đặt S x y= + , P xy= với điều kiện của S, P và 2 4S P≥ . + B3 : Thay ,x y bởi S, P vào hệ phươg trình. Giải tìm S, P và dùng Viet đảo tìm ,x y . Hệ đối xứng loại II : Dạng ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f y x  =  =  Cách giải : Trừ hai phương trình cho nhau từ đó đưa về phương trình tích. Bài 1. Giải hệ phương trình : 1) 2 2 3 1 x xy y x xy y   + + =  + + = −   2) 2 2 3 2 x y xy x y y x  + + =   + =   3) 2 2 3 3 1 1 x y x y  + =   + =   4) 2 2 3 3 2 15 8 35 x y xy x y  + =   + =   5) 2 2 3 6 xy x y x y x y xy  − + = −   + − + + =   6) 3 3 2 ( ) 2 x y xy x y   − =  − = −   Bài 2. Giải hệ phương trình : 1 Đặng Hữu Thắng 12a1 Trờng THPT Bắc Lơng Sơn 1) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x y x y x y = = 2) 2 2 1 1 xy x y xy y x + = + + = + 3) 2 2 2 2 2 6 1 5 y xy x x y x + = + = 4) 2 2 2 4 5 2 4 5 x y y y x x = + = + 5) 2 2 3 2 3 2 x y x y x y + = + = 6) 2 2 2 2 3 3 2 3 y y x x x y + = + = (ẹH_KB_03) 7) 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y + + + = + + + = 8) 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49 x y xy x y x y + + = + + = Baứi 3. Giaỷi heọ phửụng trỡnh : 1) 2 2 2 3 4 4 1 y xy x xy y = + = 2) 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y + + = + + = 3) 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7 x xy y x xy y + = + + = 4) 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5 x xy y x xy y + = + = Baứi 4. Giaỷi heọ phửụng trỡnh : 1) 2 1 2 2 1 2 x y y x + = + = 2) 1 1 1 1 x y x y + + = + + = 3) 1 7 4 1 4 x y y x y + + = + + = 4) 30 35 x y y x x x y y + = + = Baứi 5. Giaỷi heọ phửụng trỡnh : 1) 2 2 2 25 x y x y x y + + + = + = 2) 3 1 1 4 x y xy x y + = + + + = (ẹH_KA_06) 3) 2 2 7 3 2 23 x y x y x y + + + + = + = 4) 2 1 1 3 2 4 x y x y x y + + + = + = 5) 2 2 6 20 x y y x x y y x + = + = 6) 3 2 x y x y x y x y = + = + + (ẹH_KB_02) 7) 2 2 2 8 2 4 x y xy x y + + = + = 8) 2 2 5 2 21 x y y x x y xy + = + + = 9) 1 1 3 ( 1) 1 ( 1) 1 6 x y x y y x + + + = + + + + + = 10) 7 1 78 x y y x xy x xy y xy + = + + = 11) 2 2 2 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y + + = = (ẹH_KD_08) 12) 2 2 3 3 3 3 2( ) 3( ) 6 x y x y xy x y + = + + = 13) 2 2 2 2 48 24 y x y x y x y = + + = 2 §Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n 14) 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y  + + + − =     + + =   15) 2 2 2 2 1 1 18 1 1 2 x x y x y x y y x x y x y x y y  + + + + + + + + + =    + + + − + + + + − =  16) 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = +  − +    + = +  − +  (DB2_KB_07) Bài 6. Giải hệ phương trình : 1) 2 1 1 2 1 0 x y x y x xy  − = −    − − =  2) 3 1 1 2 1 x y x y y x  − = −    = +  (ĐH_KA03) 3) 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy  − + =   − + =   (DB2_ĐH_KA07) 4) 2 4 ( ) 4 x xy x y x y xy x y   + + + =  + + + =   5) 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y   + + + =  + + + + =   6) 2 2 ( 1) ( ) 4 ( 1)( 2) x y y x y x y x y  + + + =   + + − =   (DB1_ĐH_KA06) 7) 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y  − =   + =   (Mỏ_Đòa Chất97) 8) 2 2 2 2 ( )( ) 13 ( )( ) 25 x y x y x y x y  − + =   + − =   (DB2_ĐH_KB06) 9) 3 3 2 2 2 9 ( )(2 3) 3 x y x y xy x xy y  − = − +   − + =   10) 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y  + − + =   − − − =   11) 2 2 2 16 0 ( )(4 ) 32 x xy x y x y xy   + + + − =  + + =   12) 2 2 2 2 3 3( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y  − + = −   + + = −   (DB1_KD06) 13) 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x  + + + + = −     + + + = −   (ĐH_KA06) 14) 3 3 2 2 8 2 3 3( 1) x x y y x y  − = +   − = +   (DB2_ĐH_KA06) 15) 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   (ĐH_KB08) Bài 7. Giải hệ phương trình (đánh giá): 1) 2 2 2 2 3 2 0 2 4 3 0 x y x y x x y  − + =   − + + =   2) 4 4 3 2 2 2 2 2 x y x x x y  + =   − + =   Bài 8. Giải hệ phương trình : 1) 2 cos cos 3 18 0 x y x y x y y  − = −   − − =   2) 2 3 2 3 2 3 2 3 x x y y y x  + − =   + − =   3) 3 2 4 4 log 2 log 7 x y e e x y x y  − = −   + =   4) 2 2 ln(1 ) ln(1 ) 12 20 0 x y x y x xy y  + − + = −   − + =   5) 2 log (log 1) 1 1 3 3 3 2 log (log 1) 1 1 3 3 3 y x x x y y  + − + = +     + − + = +   6) 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y − −  + − + = +    + − + = +  (DB1_KA07) 3 §Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n §2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ Bài 9. Cho hệ phương trình : 2 3 1 mx y x my  + =  + =  . Đònh m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( , )x y thỏa mãn 1; 0x y> > . Bài 10. Cho hệ phương trình : 1 3 x my mx y  − =  + =  Đònh m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( , )x y thỏa mãn 0xy < . (CĐ_KA_08) Bài 11. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm : 2 2 3 9 x y xy m x y xy m  + + =   + = −   Bài 12. Đònh m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : 3 3 1 ( ) x y x y m x y  + =   − = −   Bài 13. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm : 1) 4 1 4 3 x y x y m  − + − =   + =   2) x y m x y xy m  + =   + − =   3) 1 1 3 x y x x y y m  + =   + = −   (ĐH_KD_04) 4) 2 3 3 2 3 3 x y m y x m  + + − =   + + − =   5) 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =     + + + = −   Bài 14. Tìm 0m < để hệ phương trình 2 2 2 2 x y m y y x m x  + =   + =   có nghiệm duy nhất. Bài 15. Chứng minh rằng với 0m ≠ thì hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 m x y y m y x x  = +     = +   có nghiệm duy nhất. Bài 16. Chứng minh rằng với m dương thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 1) 2 2 2 2 3 0 3 0 x y y m y x x m  − − =   − − =   2) 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x mx x y y my  = − +   = − +   Bài 17. Đònh m để hệ sau có nhiều hơn hai nghiệm : 2 ( 1) ( 2) x y m x y xy m y  + =   + + = +   Bài 18. Biết rằng hệ phương trình 2 2 ( )a x y x y b y x b   + + + =  − =   có nghiệm với mọi giá trò của b. Chứng minh rằng : a = 0. Bài 19. Cho hệ phương trình 2 2 1 ( ) x xy y m xy x y m m  + + = +   + = +   1) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m. 2) Đònh m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất. Bài 20. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my  = + −   = + −   Bài 21. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : | | 2 2 2 2 | | 1 x x y x m x y  + = + +   + =   4 . ( ) (1) ( , ) 0 (2) f x f y g x y  =  =  . Ta có thể tìm lời giải theo một trong hai hướng sau :  Hướng 1 : PT(1) ( ) ( ) 0f x f y⇔ − = (3). Tìm cách. giải và biện luận phương trình (2) theo ẩn x . o Nếu hàm số ( )y f t= có một cực trò tại t = a thì nó đổi chiều biến thi n một lần khi qua a. Từ (1) ta