BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ
Tính các giới hạn sau
Dạng 0
0, tử mẫu bậc hai, sử dụng phân tích ax
2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)
1 2
3
lim
x
x
→−
+ = −
2 2 1
lim
x
→
+ − =
2 2 2
lim
x
x
→
+ − =
−
4
2
5
25
5
x
x
x
→
− =
2 4
12
4
x
x
→
− − =
2 2 1
3 2 1
limx→ x x− + = −x
−
7
2
2 4
2 6 56 11
limx→− x − x x− = −
2 2 2
4
4
3 2
limx→ x −x x =
2 2
x 1
x
→
+ −
−
10
2
2
1
lim
x
x
→
− + = −
2 2 1
lim
x
→
− + = −
2 2 2
lim
x
x
→
− − =
−
13
2
2
2
lim
x
→
2 2 2
x
→
− + − = −
2 2 2
lim
x
→
16
2
2
2
x
→
− + = −
2 2 2
lim
x
→
− − =
2 2 3
lim
x
→
− − =
19
2
2
3
lim
x
→−
+ − =
2 2 2
lim
x
→−
+ − =
2 2 1
lim
x
→−
− − +
22
2
2
1
lim
x
→
− + =
2 2 1 2
x
2 2 1
x
→−
+ − = + −
25
2 2 4
lim
x
→−
+ + = −
2 2 1 2
lim
x
→
− − =
2 2 1 2
lim
x
→−
+ + =
28
2 2
1
3
lim
x
→
2 2 1 3
lim
x
→−
2 2 1
2
lim
x
→−
31
2
2
2
3
lim
x
→
2 2 3 2
x
→−
+ + = −
2 2 3
lim
x
→
34
2
2
1
3
lim
x
→
− +
2 2 3
lim
x
→−
+ + = −
2 2 4
20
7 12
x
→−
+ +
37
2
2
3
2
lim
x
2 2 3 2
lim
x
→−
− + = −
2 2 3
7 12
x
→
− + = −
− +
Nhân liên hiệp bậc hai dựa theo hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) cụ thể các công thức sau
Trang 21 ( − )( + ) −
a b
a b a b 4 ( − )( + ) 2−
a b
a b a b 6 ( + )( − ) 2−
1
9
3
lim
9
x
x
x
→
−
lim
x
x x
→
2 4
2 lim
4
x
x
→
−
−
4 lim2 2
7 3
x
x x
→
−
2 2 lim
6
x
x x
→
− −
lim
x
x x
→
+ −
0
lim
x
x
→
+ + − − 8
10 7
4 1 3
2 5
lim→ x −x+x+−
x
9
0
lim
x
x
→
+ − −
x 1
2 - x 3
lim
x 1
→
+
1 3 2 lim
1 + −
−
+
−
x
x 4
2x 1 3 lim
x-2 2
→
+ −
−
13
x 3
2x 3 3
lim
3x-5 x 1
→
+ −
1 3 2 lim
1 + −
−
+
−
x
2 2
2 lim
2
−
x x
16
3
3 3 2
lim
−
+
x
4
3 1 2 lim
−
+
x
3 1 4
2 lim
2 + −
+
−
x x x
19
2 5
1 3 2
lim
1 + −
− +
−
x
1 2 5
2 3 lim
x
x
− +
1
2 1 1 lim
1
x
x x
→
− −
−
1
lim
1
x
x
x
→
+ −
lim
3 2
x
x
→
+ −
2 1
lim
x
→
+ + −
25
1
lim
x
x
x
→
+ −
2 2 lim
4
x
x x
→
+ −
lim
x
x x
→
+ −
− −
28
2
lim
2
x
x
→
+ − −
lim
x
x x
→
+ −
lim
x
→
+ −
− +
31
0
1 1 lim
x
x
x
→
+ −
lim
x
x x
→
+ −
lim
x
x
→−
− −
− +
34 2
1
lim
x
x
→−
+ −
lim
1
x
x
→−
lim
x
x
→−
− +
Trang 337 2
3
lim
x
→
+ − +
lim
x
x
→
+ −
lim
x
x
→
−
40
2
2 lim
→
+ −
x
lim
→−
− + −
− + −
x
x x
lim
x
x
→
+ − +
43 2
2
lim
x
x
→
+ −
1 2 lim
x
x
→
+ −
1 1 lim
x
x
→
− −
− +
2
lim
x
→
+ + −
2 2 1
lim
1
x
x
→
+ + −
3 2 lim
x
→
+ −
− + −
49 22
1
lim
x
→−
+ +
2 2
lim
3 1
x
x
→−
+ + +
lim
1 2
x
x
→
+ − + −
52
2
lim
x
x
→
+ −
2 4
lim
x
→
+ − −
lim
x
→
+ − +
− − +
Đa thức bậc ba, bậc bốn, thực hiện chia đa thức (hoặc sử dụng sơ đồ hoocne)
1
3
2
2
2 2 lim
2
x
x
x
→−
+
lim
x
x x
→
− + −
4
3 2 2
16 lim
2
x
x
→−
− +
4
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
→
−
3 2 0
1 1 lim
x
x
→
+ −
3 2
8 lim
2
x
x x
→−
+ +
3
3 3 lim
3
x
x
x
→−
+
0
lim
x
x x
→
1
1 lim
1
x
x x
→
−
−
10
2 1
lim
x
→
3 2 2 2
lim
x
→
− +
12
) 3 2 )(
2 (
6 5 2
2
2 3
1
lim −+ −− −−
−
x x x
) 3 )(
18 3 (
27
2 3 3
lim − −+ +
−
x
6 4
3
8 2
2 3 2 2
lim +− +− −
−
x x
x
15
3 2
2
1
lim
x
→
3 2
3 1
lim
1
x
x
→
2 3 1
lim
x
x
→
−
18
2 1
lim
x
→
4 2 4 1
lim
1
x
x
→
4 2 2 1
lim
1
x
x
→
−
21
4 2
1
1 lim
x
→
− + −
3 2
2 1
1 lim
1
x
x
→
3 2 2
lim
x
→
− − + −
24
3 2
2 2
lim
x
→
3 2 2 1
lim
x
→
4 2 3 2
lim
8
x
x
→
−
27
4 3
2 0
lim
2
x
x x
→
3
3 2 2
6 lim
x
→
− −
3 2
3 2 3
lim
x
→
Trang 430
3 2
3 2
1
2
lim
x
→
3 2
3 2 2
lim
x
→−
3 2
3 2 3
lim
x
→−
33
3 2
3 2
4
lim
x
→
3 2
3 2 2
lim
x
→
Nhân liên hiệp bậc ba
1 lim0 3
1 1
x
x
x
1 lim
2 1 1
x
x x
→
−
3 9 lim3 2
−
− +
−
x x
x
4 3
2
1 1
lim
1
x
x
x
→
− −
3 2 2
lim
x
x
→
+ −
3 2
lim
2
x
x
→
+ − +
−
7 3 2
1
lim
x
→−
+ +
3 3 1
1 lim
x
x x
→−
+
3 3 3
lim
27
x
x x
→
− −
−
3
lim
9
x
x
→
3
2 2
lim
x
x
→
3 2 4
lim
x
→
− +
3
lim
9
x
x
→−
− − − +
−
Phần sau chưa làm đáp số nhưng có cách bấm máy như sau:
+ Nhập hàm số cần tính giới hạn vào máy tính cầm tay
+ bấm nut CACL
+ Nhập vào giá trị gần bằng x o (ví dụ x o = 2 ta nhập vào x = 1,999999999)
****Cách tính trên cũng đúng với giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cùng****
Ta nhập x = 9999999999