Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại.. Tìm m ñể Dm: y = mx−1 cắt C tại hai ñiểm phân biệt mà cả hai ñiểm ñó thuộc cùng một nhánh.. Tìm quỹ tích trung ñiểm I của MN... Những ñiểm M sao cho từ M
Trang 1http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
Bài 1/ Cho hàm số
1
2 1 2
− +
−
=
x
m x
a Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ;
b Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại
HDGiải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0
b/ Ta có: x CD 1 m 1 y CD 2x CD 1 2m 2x CD 1 2(1 x CD) 4x CD 3
m
ñiểm cực ñại
là phần ñường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1
Bài 2/ Cho hàm số:
1
1
2
+
−
−
−
=
x
x x
a Tìm m ñể (Dm): y = mx−1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt mà cả hai ñiểm ñó thuộc cùng một nhánh
b Tìm quỹ tích trung ñiểm I của MN
HDGiải: a/ Phương trình: 2 1 1 ( 1) 0
1
x x
x
− − −
= − ⇔ + + =
giao ñiểm ở cùng một nhánh thì: −m m/( + > − ⇔1) 1 1/(m+ > ⇒1) 0 m> − 1
b/ Ta có:
x = −m m+ > − ⇒m= −x x + ⇒ y =mx − = −x x + − = − x + x + x +
Vậy quỹ tích trung ñiểm I của MN là nhánh bên phải của ñths
2
2 1
2 1
y
x
=
+
Bài 3/ Cho hàm số: y= x3 − x2 +m2x+m ( )C m
Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (D) có phương trình
2
5 2
1
−
= x
HDGiải: Ta có: y'=3x2−6x+m2 ðể hs có cực trị thì ∆ = −' 9 3m2 > ⇒ −0 3<m< 3 Gọi I là trung ñiểm của ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị thì x = Do pt của ñt ñi qua hai ñiểm cực trị là I 1
2
2
m
y= m − x+ + ⇒m y =m + − ðể các ñiểm cực trị của ñths ñx nhau qua (D) thì: m
2
2
1 2
0
2 3
0; 1
2 1.1/ 2 5 / 2
m m
Bài 4/ Cho hàm số
1
8
2
−
+
− +
=
x
m mx x
y Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm về hai phía ñường thẳng 9x − y7 −1=0
HDGiải: ðặt F(x,y)= 9x-7y-1 Hàm số có hai ñiểm cực trị là: A( -2; m – 4 ) và B( 4; m + 8 ) ðể hai ñiểm cực trị này nằm về hai phía của ñt trên thì: F(A).F(B)<0 ⇔ ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0
3 m 9 / 7
⇒ − < <
Bài 5/ Cho hàm số y =x3 −3x (1)
Trang 2http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
a) Chứng minh rằng khi m thay ñổi, ñường thẳng (D): y=m(x+1 +) 2 luôn cắt ñồ thị (1) tại một
ñiểm A cố ñịnh
b) Tìm m ñể ñường thẳng ñó cắt (1) tại 3 ñiểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông
góc với nhau
HDGiải: a/ Xét pt: x3−3x=m x( + + ⇔1) 2 (x+1)(x2− − −x 2 m)= Như vậy khi m thay ñổi thì 0
(D) luôn cắt ñths(1) tại ñiểm A( - 1; 2 ) cố ñịnh
b/ ðể (D) cắt ñths(1) tại 3 ñiểm phân biệt thì pt x2− − − = (*) phải có hai nghiệm phân biệt x 2 m 0
khác – 1; do ñó m > - 9/4 và m ≠0 Khi ñó x x là hoành ñộ của B,C và là nghiệm của (*) Ta có: B, C
x +x = x x = − − m
ðể tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì
'( B) '( C) 9( B 1)( C 1) 9 ( B C) ( B C) 2 B C 1 9 ( 2) 1 2( 2) 1 9( 2 ) 1
y x y x = x − x − = x x − x +x + x x + = m+ − + − −m + = m + m = −
1 2 2 / 3
m
Bài 6/ Cho hàm số
x
x x
= (C) tìm trên ñường thẳng x =1 Những ñiểm M sao cho từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau
HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt của ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b ðể (D) là tiếp tuyến của (C) thì
pt sau phải có nghiệm kép:
2
2
3 2
x
− +
= − + ⇔ − + + − − = ( vì pt không có nghiệm với x = 0 )
⇔ ≠ ∆ = − + + − = − − + + − = ≠ ⇔ ≠ − ðể qua M có
thể kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1
2
⇔ + − = − ⇒ = − ± (TMðK) Vậy trên ñt x = 1 có 2 ñiểm TMYCBT là M(1; 3− ± 7 )
Bài 7/ Cho hàm số: y=x4 −x2 +1 ( )C
Tìm những ñiểm thuộc Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến tới (C)
HDGiải: Gọi M(0; )b ∈Oy và ptñt (D) qua M là y = kx + b ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có
nghiệm:
Bài 8/ Cho hàm số:
m x
mx x y
−
− +
2
a Tìm m ñể hàm số có cực trị Khi ñó hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại,
cực tiểu
b Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó
vuông góc với nhau
HDGiải: a/ Ta có: y'=(x2−2mx m− 2+8) /(x m− )2 ðể hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt khác m
x −∞ 1/ 6− 0 1/ 6 +∞
f’(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x)
−∞ 1 −∞
x −x + =kx b+ k = x − x⇒ = −b x +x + = f x f x = − x + x= − x x −
Trang 3http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
2
pt y’ = 0 là
CD CT CD CD CT CT
x x y = x +m y = x + Vậy pt của ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m m
b/ Với m ≠ ± thì ñths luôn cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ) Gọi hoành ñộ của 2
hai giao ñiểm này là x x1, 2 ⇒x1+x2 = −m x x; 1 2 = − ðể tt với ñths tại hai giao ñiểm vuông góc với 8
nhau thì:
Bài 9/ Cho hàm số y= − +x3 3x2− (C) 4
Tìm trên trục hoành những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến tới ñồ thị của hàm số (C)
HDGiải: Gọi M a( ; 0)∈Ox; ñt (D) ñi qua M có pt là: y = k(x - a) ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải
có nghiệm:
3 4 ( ) & 3 6
− + − = − = − + ðể qua M có thể kẻ ñược 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3
nghiệm phân biệt
f x = x − a+ x + ax− = Do 2
'( ) 6 6( 1) 6 0
f x = x − a+ x+ a= khi x = 1 và x = a nên ñể pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì:
2
( 2) ( 1)(3 5) 0 ( ; 1) (5 / 3; 2) (2; )
CD CT
f f = − −a a+ a− < ⇒ ∈ −∞ − ∪a ∪ +∞
Bài10/ Cho hàm số:
1
1
−
+
=
x
x
a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận một ñoạn thẳng mà tiếp
ñiểm là trung
ñiểm của nó
b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có diện
tích không ñổi
c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một
tam giác có chu vi nhỏ nhất
HDGiải: a/Do ' 2 2
( 1)
y x
−
=
− nên pttt với ñths tại ñiểm
1
; 1
a
M a a
+
−
y
− − Tt này cắt các tiệm cận
x = 1 và y = 1 tại các ñiểm: (1; (A a+3) /(a−1)), (2B a−1;1) suy ra M là trung ñiểm của AB ( vì tọa ñộ
trung ñiểm của AB bằng tọa ñộ của M )
b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận Ta có IA= (a+3) /(a− − =1) 1 4 /a−1 ;IB= (2a− − =1) 1 2 a−1
/ 2 4
IAB
S IA IB
⇒ = = không ñổi ( ñpcm )
c/ Ta có chu vi tam giác IAB:
IAB
C =IA IA+ + IA +IB ≥ IA IB+ IA IB = + = + Vậy chu vi tam giác IAB có
giá trị nhỏ nhất bằng 4( 2 1)+ khi IA = IB tức 2
(a−1) = ⇒ = ±2 a 1 2 Như vậy trên ñths có hai ñiểm TMYCBT là: M1(1+ 2;1+ 2),M2(1− 2;1− 2)
Bài 11/ Cho hàm số: ( )
2
5 4
2
H x
x x y
+
+ +
Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M ñến (D): 3x + y+6=0 nhỏ nhất
Trang 4http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí
HDGiải: Giả sử
( ; 2 1/( 2)), ( 2) ( ; ( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ 2 / 10
4 / 10=2 10 / 5 Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng 2 10 / 5 khi
4a+ =2 1/ a+ ⇒ = −2 a 1, 5; 2, 5− ứng với hai ñiểm M1( 1, 5; 2, 5),− M2( 2, 5; 2, 5)− −
Bài 12/ Cho hàm số:
1
3 3
2
+
+ +
=
x
x x
Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài ñoạn AB ngắn nhất
HDGiải: Gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)∈( )(C x1< − <1 x2) ðặt
1 x a x, 1 b a b, 0;AB (a b) (a b 1/a 1/ )b
(a b+ ) 1 (1 1/ + + ab) ≥4ab a b(2 +2ab+1) /a b =4(2ab+1/ab+2)≥4(2 2+2)=8( 2 1)+ Dấu
Bài 13/ Cho hàm số: 1 3
1 3
y= x − + (C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C) Tìm M thuộc cung x
AB của (C) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất
HDGiải: -Cách 1: pt ñt AB là: 2x – y + 1 = 0 Gọi
( ;1 / 3) ( ; ) (9 ) / 3 5 ( ) / 3 5(0 3)
M x − +x x ⇒d M AB = x−x = f x ≤ ≤x
Ta có f x'( )= −9 3x2 = ⇒ =0 x 3(0≤ ≤x 3) nên BBT
của hs như bên
Do ñó: 13 5.2 3 / 5 3 3
2
MAB
( 3;1)
-Cách 2: Diện tích ∆MAB lớn nhất khi M là tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB Gọi
0 0
( ; )
M x y Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi
2
( ; ) 2 3 / 5
d M AB
2
MAB
- o0o -
x 0 3 3
f’(x) + 0 -
f(x) 2 3 / 5
0 0