Tích phânPhơng pháp tính Tích phân I.. Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên tr
Trang 1Tích phân
Phơng pháp tính Tích phân
I Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thông:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào
có luỹ thừa cao nhất
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức
- Nếu tích phân chứa
x
dx
thì đặt t=ln x
- Nếu tích phân chứa e x thì đặt t=e x
- Nếu tích phân chứa dx x thì đặt t= x
- Nếu tích phân chứa 2
x
dx
thì đặt
x
1
t=
- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t=sin x
- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t=cos x
- Nếu tích phân chứa
x cos
dx
2 thì đặt t=tgx
- Nếu tích phân chứa
x sin
dx
2 thì đặt t=cot gx
Bài tập minh hoạ:
1.∫1( + ) ( + − )
0
3
x
1
1
0
3
∫ − 3 ∫e −
1 x 1 ln 2 x
dx
4 ∫1 −
0 x
x
1 e
dx e
5 ∫
+
1
0 x 1 x
dx
6 ∫
π
+
−
2
0
sin
xdx
∫
π
+
2
0
3
x cos 1
xdx sin
∫
π
4
0 2
tgx
x cos
dx e
9 ∫
π
π
2
4
sin
dx
10.1 x 1 x dx
0
2 3
II Tính tích phân bằng ph ơng pháp tích phân từng phần:
Công thức: ∫ = −∫b
a
b
a
b
uv dx ) x ( Nh vậy việc chọn đợc u và dv có vai trò quyết định
trong việc áp dụng phơng pháp này
Ta th ờng gặp ba loại tích phân nh sau:
Loại 1:
)x(
P u dx.
e).
x(
P
dx
).x
(f
cos
).x
(P
dx
).x
(f
sin
).x
(P
n
b
a
)x
n
b
a
n
b
a
n
=
⇒
∫
∫
∫
: Trong đó P n ( x ) là đa thức bậc n
Trang 2Ta phải tính n lần tích phân từng phần.
a
n n
) x ( ln u dx
).
x ( ln ).
x (
Loại 3:
β
β
∫
∫
α
α
b
a
x
b
a
x
dx x cos e
dx x sin e
Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích
phân còn lại Thông thờng ta làm nh sau:
- Tính ∫b α β
a
e :Đặt u=eαx Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân
a
e .Ta lại áp dụng TPTP với u nh trên
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm đợc kết quả
Bài tập minh hoạ:
π
+
−
2
0
1
2
x 3 ∫π
0
x
4 ∫
π
2
0
π
2
0
x
π
2
0
2
e
Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phơng pháp TPTP nhng không theo quy tắc đặt ở trên:
1 e∫π ( )
1
dx x
ln
cos 2 ∫ ( − )
2
0
3 4
8
1 x
dx x
3 ∫
e
1
3
dx x
x
ln 4 ∫ ( + )
1
0
2
x 2
2 x
dx e x
5 ∫
π
+
+
2
0
e x cos 1
x sin 1
III Tích phân hàm phân thức hữu tỷ:
Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản.
a
A dx b ax
A
+ +
= +
∫
+
d cx
A dx
c
a dx d cx
b ax
+
+
e dx
C dx
B Ax dx
e dx
c bx
2 a.Dạng: ∫ax 2 +dx bx+c
- Nếu ∆ >0: ( )( ) ( a(x ) (x )(x x) )
dx x x x x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2
−
−
−
−
−
−
=
−
−
a 2
b x a
dx
2
−
- Nếu ∆ <0: ∫( − α)2 + β2
x
dx
Đặt (x− α)= β tgt
3 Dạng: =∫ ++ + dx
c bx ax
B Ax
Trang 3Tích phân
+ +
+ +
+
+ +
= + +
+
=
c bx ax
dx
n dx c bx ax
' c bx ax m dx c bx ax
B Ax
2 2
+ + +
=
c bx ax
dx
n c bx ax ln
Bài tập minh hoạ:
1.∫1 +−
0
dx 2004 x
2003
2003 x
2004
2.∫2 + +
1 2
x 5 x 6
dx
3 ∫4 − +
0 2
9 x 6 x
dx
4 ∫1 + +
0 2
1 x x dx
5 ∫2 1 + 2++ dx
x x
6
3
x
2
6 ∫1 0 2 +− + dx
1 x x
x 3 4
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát ∫b
a
dx ) x ( Q
) x ( A
- B
ớc 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phải tính
tích phân:
∫b
a
dx ) x ( Q
) x ( P
- B
ớc 2:
+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: Q ( x )=(x−a 1)(x−a 2) ( x−a n), ta tìm A 1 , A 2 A n sao cho :
n n 2
2 1
1
a x
A
a x
A a x
A ) x ( Q
) x ( P
− + +
−
+
−
=
+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: ( )( )( )2
c x b x a x ) x (
2
1 , C
C
,
B
,
C c
x
C b x
B a x
A ) x ( Q
) x (
2
1
−
+
−
+
−
+
−
=
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:
(x a) (x px q)
)
x
(
Q = − 2 + + , ta tìm A , B , C sao cho :
q px x
C Bx a
x
A ) x ( Q
) x ( P
2 + +
+ +
−
=
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:
q px x a x ) x (
Q = − + + , ta tìm A , B 1 , C 1 , B 2 , C 2 sao cho :
C x B q px x
C x B a x
A ) x ( Q
) x ( P
2
2 2 2 2
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
−
=
Bài tập minh hoạ:
x 4
x
8 x
16
x
4
3
2
2 x x
3 x x
2
1 3
2
x x
1 x
5
2
2 3
∫ −+
IV Tích phân hàm vô tỷ đơn giản:
a n
b
a
n
b ax
dx
; dx b
1
2.Dạng: ∫b + +
a
ax
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng u a du
b
a
2 2
∫ + đặt u=atgt
2
u a u 2
u du a
2 2 2 2
∫
Trang 4Nếu a<0 : Tích phân có dạng a u du
b
a
2 2
∫ − đặt u=asint
3.Dạng: ∫b + +
a ax 2 bx c
dx
- Nếu ∆ >0: ( )( ) ( a(x ) (x )(x x) )
dx x x x x x x
1 x
x x x a
dx
2 1
2 1
1 2 2 1
∫
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
dx a
b x a
dx
2
- Nếu ∆ <0: Với a>o: ∫ ( − α)2 + β2
x
dx
Đặt (x− α)= β tgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức: ln u u a C
a u
2
+
∫
Với a<0: ∫ β2 −(x− α)2
dx
Đặt (x− α)= β sin t
Bài tập minh hoạ:
1 = ∫3 − +
0 x 2 x 2
dx
0 x 2 x 1
dx
0 x 2 x 1
dx
0 x 2 x 3
dx I
5 = ∫1 + +
0
x
0
x I
4.Dạng ∫ ( + α) + +
b
a x ax 2 bx c
dx
Đặt (x+ α) =1 t
BTMH: 1.∫ ( + ) + +
1
0 x 1 x 2 x 1
dx
2 ∫ ( + ) +
1
0 x 4 x 2 x
dx
5.Dạng: R(n (ax b)m ; q (ax b)p) dx
1
b ax
t= + với s là BCNN của n và q.
BTMH: ∫ ( + ) − ( + )
1
0 3 x 1 2 x 1
dx
∫ ( − ) − ( − )
1
0 1 x 4 1 x
dx
∫1 +
0 3
6
dx x 1 x
V Tích phân hàm số l ợng giác:
1.Dạng: ∫b ( )
a
dx x cos
; x sin f
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx.
- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.
Bài tập minh hoạ:
1.∫
π
2
0
3
3
dx
x
cos
x
sin 2
∫
π
+
6
0
3
dx x sin 4
x
∫
π
4
0
cos x sin
dx 4
∫
π
+
4
0
2
x cos x sin dx
2.Dạng: ∫b
a
n
sin
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Trang 5Tích phân
Bài tập minh hoạ:
1.∫
π
2
0
2
π
2
0
2
π
2
0 2
4
dx x cos
x sin 4
∫
π
2
0
4
cos dx
3.Dạng:∫b ( )
a
dx x cos
; x sin
R trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx.
Đặt
2
x
tg
t 1
dt 2 dx
+
=
t 1
t 2 x sin
+
t 1
t 1 x cos
+
−
t 1
t 2 tgx
−
=
Cụ thể là hàm: = ∫b + +
dx I
Bài tập minh hoạ:
1 ∫
π
+ +
= 4
dx
(cos x 1)dx
x sin
x sin 1
0
∫
π
+
+
π
+
= 2
dx I
4.Dạng: =∫b ++
a
dx x cos d x sin c
x cos b x sin a I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’
+
− +
= +
+
a
b
a
b
a
b
a
b
x cos d x sin c d B dx A dx x cos d x sin c
x sin d x cos c B dx A dx x cos d x
sin
c
x cos b x
sin
a
minh hoạ: ∫
π
+
−
= 2
0
dx x cos 3 x sin 4
x cos 2 x sin 3 I
5.Dạng: = ∫b ++ ++
1 1
c x cos b x sin a
c x cos b x sin a I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số) +C’
c x cos b x sin a
c x cos b x sin a d B
dx
A
c x cos b x sin a
dx C
dx c x cos b x sin a
x sin b x cos a B
dx
A
I
b
2 2
2 b
a
b
b
2 2
b
a
+ + +
+ +
+
=
+ +
+ + +
+
− +
=
∫
∫
∫
∫
∫
J là tích phân tính đợc
Bài tập minh hoạ: 1. ∫
π
+ +
+
−
= 2
0
dx 3 x cos 2 x sin
1 x cos x sin
π
+
−
+
= 2
0
dx 5 x cos 4 x sin 3
1 x sin I
VI Phép đổi biến đặc biệt:
∫
= b
a
dx ) x ( f I
Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính đợc ta thử dùng phép đổi biến:
t= + − Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x)
Bài tập minh hoạ:
1 ∫
π
π +
= 2
2
1
e
x
cos
−
+ +
= 1
1
2
ln
0
x cos 1
x sin x
1
1 2003
x 2004 sin
Chứng minh rằng:
1 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [−a ; a] thì:−∫ = ∫a
0
a
a
dx ) x ( f 2 dx ) x ( f
Trang 62 NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn [−a ; a] th×: f ( x ) dx 0
a
a
∫
−
=
π π
=2
0
2
0
dx ) x (cos f dx )
x
(sin
π π
π
= 2
0
2
0
dx ) x (sin f dx ) x (sin f x