Ôn thi ĐH Nguyên H-Tích P

+Trong mỗi đoạn ∆xi chọn một điểm εi khi đó tung độ yi ứng với điểm εi là yi = fεi suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là xi - xi-1; fεi thì được mỗi hình c

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2

II CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 5

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15

I CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15

II BÀI TẬP LUYỆN: 15

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 25

I - LÍ THUYẾT 25

II - BÀI TẬP 27

BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 28

I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 28

II - BÀI TẬP 28

ĐẠI SỐ TỔ HỢP 29

I - LÝ THUYẾT 29

II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 31

III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 36

+Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b).

+Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x)

+Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau:

1 y = f(x) = xα → F(x) =

1

x 1

+α

+ α

+ C

2 y = f(x) =

x

1 → F(x) = xln +C

3 y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C

4 y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C

5 y = f(x) =

xsin

1

2 → F(x) = -cotgx + C

6 y = f(x) =

xcos

ax

+C+Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn

đó Người ta kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C = ∫ f(x).dx

2 Vi phân:

Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b) Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý Tại điểm cho số gia ∆x, sao cho x + ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi

là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương ứng với số gia ∆x

+dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx

Ví dụ:

+d(x2) = 2x.dx

y

+Trong mỗi đoạn ∆xi chọn một điểm εi khi đó tung độ yi ứng với điểm

εi là yi = f(εi) suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là (xi - xi-1); f(εi) thì được mỗi hình chữ nhật đó là:

δi = f(εi) (xi - xi-1) Suy ra diện tích toàn phần hình cong là:

S = S1 + S2 + + Sn = ∑n

1 i

S+Nếu n càng lớn thì ∆xi càng nhỏ và độ chính xác càng lớn

+Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b]

Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách đều nhau) a = x0, x1, , xn = b

Đặt ∆i = xi - xi-1 (1 ≤ i ≤ n)

Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆i

Trong mỗi đoạn [xi-1, xi] chọn một điểm εi tùy ý: xi-1≤ εi ≤ xi

Lập tích f(εi).∆i trên mỗi đoạn chia

Lập tổng ∑ ε ∆ →∫ab = ∆ → ∑=n

1 i

i 0 Max i

(f

II CÁC BÀI TẬP LUYỆN:

x

4 3

11 ∫ + −− dx

)x1

(

xx

1

3 2

)x1(

2 2

19 dx

x

x

|x

xsin

25 ∫ ++ dx

tgx

1

xtg

26 ∫ + dx

4e

e

x x

27 ∫ x(xdx2 +1) 28 ∫ + ++ + dx

1x

2xxx

6

4 5 6

29 ∫ ++ dx

e

1

)e

1

(

x 2 x

DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1)

+Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t

+Biến đổi f(x) theo t

+Đưa (1) về dạng: ∫ f(t)dt =F(t)+C (2)

+Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x)

Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ

ϕ(a) đến ϕ(b), khi đó không có bước cuối

Bài tập:

1 ∫ x2.(1−x)8dx 2 dx

4x2cos

x4sin

xcos.xsin

2 3

7 ∫ + −+ + dx

1x4x

4

x

xx

2 4

6

3

8 ∫ + dx

xcosxsin

xsin

9 ∫ + dx

xcosx

sin

xcos

10 ∫ + dx

x)x1(

xarctg

11 ∫ x.lnxdx.ln(lnx) 12 ∫ +− dx

xcosxsin

xcosxsin

3

13 ∫ + dx

xln1

x

xln

xcos

1

xsin

21 ∫ cosdxx 22 ∫ sindxx

23 ∫ xdx2 +a 24 ∫ +− dx

1x

1x

4 2

25 ∫ cos5xdx 26 ∫ tg6x.dx

27 ∫ sin3xcosxdx 28 ∫ + dx

xcos49

xsinx

2

29 ∫ + dx

xcos

1

xsin

x

xsinx

cos

xcos

xsinx

cos

xsin

12

4x

2

xcos

xsinbxcos

a

xcosxsin

2 2 2

35 ∫ 1+x2dx 36 ∫ + dx

x1

xln

2

39 .cotgx.dx

xsin

xsinxsin

3

xsinxcos

xcos

4 4

4

xcos

2

xsin

x

2

2

x1

xarcsin

9 ∫ x(arctgx)2dx 10 ∫ ++ + dx

x1

)x1xln(

.x

2 2

11 ∫ e xsin2xdx 12 ∫ (arcsinx)2dx

13 ∫ + dx

)x

(

x

3 4

8

16 ∫ ) dx

x

xln

x x

∫

21 ∫ arcsinx.arccosx.dx 22 ∫ x.arctgx.ln(1+x2)dx

23 ∫ + dx

)x

1

(

x

2 4

7

)x1(

)1xxln(

.x

2 2

xarccos

x

2 3

29 ∫ cosx.ln(1+cosx).dx 30 ∫ + dx

)x1(

e.x

2 / 3 2 arctgx

31 ∫ x2.arccosx.dx 32 dx

x

xarcsin

DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ:

1 Hàm hữu tỷ:

a Dạng tổng quát: Tính tích phân .dx

)x(g

)x(f

∫ bậc của f(x) nhỏ hơn g(x).+Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản.+Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho đưa về hàm hữu tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số bằng cách sau:

'cx'bx'a

CBxb

ax

A)

'cx'bx

+

=++

n

N

ax

A)

Tích phân ∫ ax2 +dxbx+c tùy theo ax2+bx+c = 0 có nghiệm hay không.Nếu có nghiệm thì đưa về dạng: ∫ =  +− 

axln.a2

1a

u

du

2 2

Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau: ∫ =

uarctg.a

1au

du

2 2

b Bài tập luyện:

1 ∫ + −++ + dx

2x3x

3

x

3xx

2

2 3

2

2 ∫ + + + dx

)9x)(

1x(

1x

2 2

)2x()1x

(

5x18x17

x

5

3

2 3

)x1).(

x1(

x2

2 2

1x

6 4

9 ∫ − ++ dx

x2x

3

x

1x

2 3

4

10 ∫ + + dx

2x3x

x

2 4

5

11 dx

)3x()

1

x

(

1x

3

2

1x

x1

x

8

15 ∫ − + ++ dx

)1x)(

2

x

(

13x2x

2

2 2

5x(x

1x

5 4

4

21 ∫ + +− + + dx

1xxx

x

1x

2 3 4

2

22 ∫ −+ dx

)x1(x

x1

7 7

23 ∫ + dx

)x

1

(

x

2 4

7

24.∫ − dx

)1x(

x

5 2

25 ∫ + + dx

3x2

x

x

3 6

2

26 ∫ x4 +dxx2 +1

27 ∫ + + dx

5x6

x2x

2 2 3

29 ∫ x5 −x2

dx

30 ∫ + + + dx

29x10x

3x5

2

31 ∫ ++ + dx

1x2x

5

1x

)1x)(

1x(

1x2x

2 2

2 Tích phân các hàm số lượng giác:

a Các vấn đề lý thuyết:

+Tích phân có dạng: ∫ sinmx.cosnxdx

-Trường hợp 1: Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt cosx = t

-Trường hợp 2: Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt sinx = t

-Trường hợp 3: Nếu m, n cùng chẵn, khác dấu thì đặt tgx = t

-Trường hợp 4: Nếu m, n cùng chẵn, cùng dương thì hạ bậc

+Tích phân có dạng: ∫ R(sinx,cosx)dx thì đặt t

2

x

tg = +Sử dụng phương pháp tích phân từng phần trong trường hợp có thể: Xem phương pháp tích phân từng phần

b Bài tập luyện:

1 ∫ −+ +− dx

3xcos2x

sin

3xcos2x

sin

2 ∫ 3+5sindxx+3cosx

3 ∫ sin2xcos+4sinxdxxcosx

2

3

xsin.2

xsin.xsin

xcos5

9 ∫ tg5xdx 10 ∫ cotg3xdx

11 ∫ sin2x+2sindxxcosx+cos2x 12 ∫ sin4dxxcosx

13 ∫ cos4dxxsinx 14 ∫ sin4dxxcosx

15 ∫ cos3sinx−2sinxdx2x−1 16 ∫ a2sin2xdx+b2cos2x

17 ∫ sin4dxx.cosx 18 ∫ sinsinxx.cos+cosx.dxx

19 ∫ cos3x.3 sin2x

dx

20 ∫ + dx

xcos1

x2sin

xsin2 2

25 ∫ cos6xdx 26 ∫ sinx.cosx. dxsin4x +cos4x

27 ∫ 4+dx3tgx 28 ∫ sin5x.cos5xdx

29 ∫ +− dx

)xcos2x

(sin

xcosx

sin

xsin.x2sin

xcos3

31 ∫ + dx

x2sin

xsinx

sin

xsin

5 5

5

3 Tích phân của các hàm vô tỷ:

a Các vấn đề về lý thuyết:

Giả sử tính tích phân của f(x)dx.

+f(x)=f(x,a x,b x,c x ) Thì đặt s x =t với s là BSCNN của (a, b, c, )

dcx

bax,dcx

bax,x

+

dcx

bax

)a2

bx(

-Nếu ∆ < 0 thì: Nếu f(x)=(u, α2 −u2) đặt u = α.sint

Nếu f(x)=(u, u2 −α2) đặt u =

tsin

α

+Phép thế ơcle: Dùng để biến đổi ax2 +bx+c

-Phép thế 1: Nếu ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm và a > 0 thì đặt

tx.ac

tcbx

ax2 + + = − 0

b Bài tập luyện:

1 ∫ + + −+ + dx

1x)

1

x

(

x21x

1x8x2

3x5

2

3 ∫ + ++ dx

2x

x

2x

1x1x

5 ∫ x2 dxx2 +1 6 ∫ + + dx

1x1

x

3 4 3

7 ∫ 2 xxdx2 +1+2 8 ∫ − − dx

xx23

x

2

xx

x1

11 ∫ x3 dxx2 +1 12 ∫ ++ dx

x1

21 ∫ 2 + − 2

3

xx2

1

dxx

2x3xx

2 2

x dx f(x)dx1

a

)x(f

m

m

4

dxxcosxsin

xcosdx

xsinxcos

xsin

+ m ≤ f(x) ≤ M trên [a, b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫b

a

dx)x(

f ≤ M(b - a)

II BÀI TẬP LUYỆN:

+) Tính các tính phân xác định sau:

1 ∫03πsinx.sin2x.sin3x.dx 2 ∫13 +3

3

dxx

x4x

3x

1

2 / 1 2 /

2

dxxcos

xgcot23

xsin1

4 / 6

x

)x

4 / 6 / cotgx.dx

11 ∫0π/2

3x.cosx.dx

dx.x

3 ∫π +

0 (2x 1).cosx.dx 4 ∫0π/2

2.cosx.dxx

5 ∫01x.arctgx.dx 6 ∫01/2arcsinx.dx

7 ∫1ecos(lnx).dx 8 ∫0π

xsinx.dxe

9 ∫0π/2

xcosx.dx

xcosx

11 ∫01 + dx

x

1

xarcsin

x1

)x1xln(

.x

x dx f(x).dx

1a

)x(

2 /

m 2

/

m

4/dxxcosxsin

xcosdx

xsinxcos

xsin

sin

xsin

3 ∫0π + 2 dx

xsin

sin

xcos

5 ∫− −

+1

xln

x

cos

xcos

1xx7x3x

7

∫ππ

+

−+

2 / 2 / x

x e dx 0)

1x

xsin3

−+

5 ĐHKTQD-99:

Tìm họ nguyên hàm:

f(x) = tgx +

1x21x2

1

−+

+

6 ĐHTDTT 99:

Tính 1x 1 x.dx

0 2

2(1 x ) dx

x (n > 2)

b Tính I(t) = ∫0t

2.dx)xsin.x(+Tính khi t = π.+Chứng minh I(t) + I(-t) = 0 (∀ t ∈ R)

4

x2sin3

xsinxcos

1x

1x

6xcos7xsin

2 /

.x

9 ĐHCĐ 99:

Tính các tích phân sau:

a ∫0lna ex +1

dx

10 ĐHY 99:

3x

2

xsindx

xcos2

b ∫2 − + +

1

2 (a 1)x a|.dxx

)xasin(

sin sinx.cos x.dx

e 2

18 ĐHNT A-99:

∫01(x2 +3x+2)2

dx

19 ĐHNT A-99:

dx3x

9x

1x

x(

1x

)xasin(

1x

.x1

x2

261

y = ∫0π/2 2 ++ 2 dx

xcos4xsin3

xcos4xsin3

29 TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 2000:

dx.1xx

2 2

I2 = ∫ππ + π

3 / 6 /

)6xsin(

.xsin

dx

31 ĐH BÁCH KHOA 2000:

1e

e

2 ln

xcosx

33 ĐH THƯƠNG MẠI 2000:

)xcosx(sin

xsin.4

2 /

xsin1

2 / 0

x

38 ĐHNNI 2000:

I1 = ∫12x.(1+x3)

dx

I2 = ∫0π/4

4x.dxtg.x

x2cos

xcos2xsin

42 ĐHQG - A - 2001

)1x3x)(

1x5x

(

1x

2 2

dxx

cos1

)xsin1(ln

xsinx

(

47 ĐHGTVT - 2001

xcos

sin

xcos

1x

x4sin(

55 ĐHTM - 2001

dxe

∫ +− Với n N∈

56 ĐHAN - 2001

xa

Với a, b là các tham số cho trước

gxcot

xdxsin và J =

xcos

xsin2

1

66 TSĐH - A - 2004

1

dx1x1

xlnxln31

không âm trên [a, b] Ta biết rằng

diện tích S của hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị của f(x), các

+Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích

của hình thang cong A'B'BA bằng diện

tích của hình thang cong A'B'B1A1 là

hình đối xứng của hình thang cong đã

cho qua trục hoành khi đó ta có:

)

x

(

f

b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của

hình phảng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công thức: S = ∫b −

a

2

1(x) f (x)dxf

B b

A1 A'

A a

Để tính diện tích S theo công thức trên trước hết ta phải tìm nghiệm củaphương trình f1(x) - f2(x) = 0 thuộc [a, b] Giả sử đó là α, β:

x(

x(

f1 2 ta chú ý rằng voiứ mọi x ∈ (α, β) thì f1(x) - f2(x) ≠ 0 Vì f1(x) và f2(x) đều liên tục trên (α, β) nên

f1(x)-f2(x) luôn mang một dấu

x(

f1 2 = ∫β

α

−f (x))dx)

x(

x(

f2 1 = ∫β

α

−f (x))dx)

x(

x(

x(

a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y =

0 quay xung quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T Thiết diện củavật thể T với mặt phẳng vuông góc với ox tại điểm x là một hình tròn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết diện S(x) = πy2 Vậy:

V = π∫b

a

2dxy

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanhtrục ox của hình giới hạn bởi trục ox và đường y = sinx (0 ≤ x ≤π)

b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm

số liên tục trên [a, b] Nếu hình giới hạn bởi các đường: x = g(y), y = a,

y = b, x = 0 quay xung quanh trục oy thì thể tích vật thể tròn xoay sinh

ra được tính theo công thức:

V = π∫b

a

2dyx

Ví dụ: Tính tiếp tuyến vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh trục oycủa hình giới hạn bởi các đường: y =

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của

nó tại điểm M(3, 5) và oy

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M1(0, -3) và M2(3, 0)

4 TSĐH - B - 2004 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

24

xyvà4

x4y

2 2

6 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới

hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục ox:

a) y = 0, y = 2x - x2

3 m ≤ f(x) ≤ M trên [a, b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫b

a

dx)x(

f ≤ M(b - a)

II - BÀI TẬP

• Dưới dạng tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cáchchọn đối tượng x2 mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chon đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 n) thì có m1 + m2 + + mn cách chọn một trong những đối tượng đã cho.

Ví dụ 1: có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau hỏi cóbao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó

Ví dụ 2: từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có các chữ số khác nhau

: b) Qui tắc nhân

Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng tàu hỏa, máy bay, ôtô Muốn đi từ tỉnh A tới tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B Hỏi có baonhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C?

• Nếu có m cách chọn đối tượng x và với mỗi cách chọn đối tượng

x có n cách chọn đối tượng y thì ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y)

• Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, với mỗi cách chọnđối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 Sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3 Cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3, , xn-1 có mn cách chọn xn, thì ta có

m1m2 mn cách chọn dãy x1, x2, , xn

2) Hoán vị

a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi cách sắp xếp thứ

tự n phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó

b) Số hoán vị của n phần tử.

Định lí: Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có:

Pn = n(n-1)(n-2) 3.2.1 = n!

3) Chỉnh hợp

a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1≤k≤n) phần

tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử của A

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là A thì ta có:kn

)!

kn(

!n)

1kn) (

1n(n

Akn

−

=+

−

−

=

4) Tổ hợp

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤

n) phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho

Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?

b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C thì ta có:kn

)!

kn(k

!n

Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?

n=

5) Nhị thức newton

a) Công thức nhị thức newton:

n n n k

k n k n 1

n 1 n

0 n

)b

0 k

k k n k

na bC

• Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

n

k n

1 n

0 n n

n n k

n k 1

n

0 n

)11

3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều

chữ số đứng giữ thì giống nhau?

4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5?

5 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, Từ thành phố A

đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đên thành phố D?

6 Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài

hát Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa

và một bài hát Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau

7 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:

a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau

b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau

8 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau?

9 Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ

7 số trên sao cho:

a) Chữ số đầu tiên là 3

b) Các chữ số khác nhau

c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2

d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5

10 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số

có 5 chữ số, các chữ số khác nhau thỏa mãn:

a) Các số là số lẻ

b) Các số đều chia hết cho 5

c) Trong đó nhất thiết phải có số 5

d) trong đó nhất thiết phải có số 0

11 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số

trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần

12 Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác

nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau

13 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong đó có bao nhiêu số:

a) Bắt đầu từ số 1

b) Bắt đầu bởi 23

c) Không bắt đầu bởi 345

d) không nhỏ hơn 234

14 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được bao nhiêu

số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:

16.Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu

số chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt một lần