PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Nên đây là nghiệm của hệ phương trình Lời giải 2: Điều kiện Hệ phương trình tương đương với hệ : dương a và b Ta được : mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phương trình đã

************************************************************

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT

Bài số 1 :

Lời giải : Điều kiện

Hệ phương trình tương đương với hệ :

Nhân hai phương trình của hệ ( I ) vế theo vế , được: 3(3x+2y)(3x-2y) = (*)

Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) được hpt :

Thỏa mãn điều kiện đã nêu

Nên đây là nghiệm của hệ phương trình

Lời giải 2: Điều kiện

Hệ phương trình tương đương với hệ :

dương a và b ) Ta được :

mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho

b/ Giải hệ phương trình :

Hệ phương trình tương đương với :

Bài số 2 :

Giải hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện xy

Phương trình (1) trở thành : - - 2 = 0 Đặt t = Ta có t2 – t – 2 =

0 t = 2 ( Loại t = - 1 )

điều kiện xy Nên đây là hai nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài số 3 :

Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt :

- - 2mx + m 2 = 2 – x 2

Lời giải : Viết phương trình thành :

2 = (x – m)2 (*) (Chú ý : = )

Bài toán trở thành :Tìm giá trị của m để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

-Viết phương trình (*) thành :

(Đặt t = x – 1)

Nhận thấy : Phương trình ( 1 ) và phương trình ( 1’) đều không thể có hai nghiệm trái dấu (Do các hệ số a , c cùng dấu ) Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì :

Không thể xẩy ra các trường hợp :

*- Trong hai pt (1) và (1’) : một phương trình có hai nghiệm cùng dấu – cả 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện ; Phương trình kia có hai nghiệm trái dấu – một nghiệm thỏa mãn điều kiện và một nghiệm bị loại

**- Hai phương trình (1) và (1’) đều có hai nghiệm phân biệt , đồng thời chúng có một nghiệm chung

Do vậy mà phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt chỉ khi một trong 2 trường hợp sau xẩy ra:

-Trường hợp 1: pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ,đồng thời pt ( 1’) có

nghiệm kép t0

-Trường hợp 2: pt (1) có nghiệm kép dương , đồng thời phương trình (1’) có 2

nghiệm âm phân biệt

Trả lời :Có hai giá trị của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là

m1 = và m2 =

Tỉnh Nghệ an – Thầy Đặng Hữu Trung ra đề )

Bài số 4 : Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau :

Lời giải :Viết phương trình thành dạng mới

Lời giải : (Cùng dạng với Bài số 3 ở trên).Ta có : =

x2 + 2mx + m = 0 (2)

-Giải và biện luận phương trình (1) Đưa về giải và biện luận phương trình (2) *Nếu ’= m2-m < 0 Tức là 0 < m < 1 Thì phương trình vô nghiệm

*Nếu ’= m2- m = 0 Tức là m1 = 1 m2 = 0 Thì phương trình có nghiệm Kép (m = 1nghiệm kép x = - 1 ; m = 0 nghiệm kép là x = 0 )

*Nếu ’= m2- m > 0 Tức là : m < 0 hoặc m > 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - m - và x1 = - m + /

Bài số 5 :

Giải phương trình : -

Lời giải : Điều kiện x

Do đó Phương trình trở thành : = ( x2 – 1 ).Chia 2 vế cho

được phương trình: = x2 – 1 (*)

Điều kiện x2 – 1 , kết hợp điều kiện x Ta suy ra điều kiện x

Với điều kiện x Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế phương trình (*),được phương trình tương đương : = = t (Đặt = t ) Thì có hpt:

x = 2 thỏa mãn điều kiện x

Trả lời : Phương trình có nghiệm x = 2

Bài số 6 :

Giải phương trình :

(x – 2) = 0

Bài số 7 : Giải phương trình : 2.

Lời giải : Điều kiện

duy nhất – Dựa vào tính chất các hàm số liên tục ).Thế t = -1 vào hpt (*)

Như vậy ta có : x = , k z là nghiệm của pt

Bài số 8 :

Lời giải : Điều kiện - 3 và x

Do đó ta có :

6 = (4-x)(3+x) x2-7x -18 = 0 x = 9 ( Loại x = -2 )

Trả lời : Phương trình có nghiệm x = 9

Bài số 9 :

Giải phương trình : - = 2

Lời giải : Điều kiện x > 0 , x 1 Phương trình viết thành :

- = 2 4.4t – 6t - 18.9t = 0 với t = Chia hai vế phương trình cho 4t rồi đặt > 0 được pt :

X = ( Loại X = - ) Vậy = , t = -2

Trả lời : Phương trình có nghiệm x =

Bài số 10 : Giaỉ hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện x , y , z đều dương và khác 1

Theo giả thiết theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân

Bài số 11 :

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt :

= + 1 (*)

Lời giải :

= - + 1)

Ta tìm giá trị của t để phương trình = t Có 4 nghiệm phân biệt

Sau đó, tìm được m , từ đẳng thức (1)

Dùng phương pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phương trình = t có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < t < 1

Suy ra :phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < < 1

Giải hệ bpt này ta được những giá trị cần tìm của m

Bài số 12 :

Giải hệ phương trình

Lời giải : Viết hệ phương trình thành:

Là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài số 13 : Cho phương trình = 0 (1)

-Tìm tích các nghiệm số của phương trình

Lời giải : Điều kiện x > 0 và x Chuyển vế rồi lấy lôgarit cơ số 6 hai vế,

ta có phương trình bậc hai : t2 – t ( - ) – 2 = 0 (2)

-Với mỗi giá trị của x > 0 , x tương ứng với một giá trị t = .Và ngược lại,mỗi giá trị của t tương ứng một giá trị x = ( Do t = )

-Phương trình (2) có tối đa là 2 nghiệm Do đó phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm

-Gọi : là hai nghiệm của phương trình (1)thì ta có

Mà t1 và t2 là hai nghiệm của phương trình (2) nên theo Vi-et : t1 + t2 = -

Bài số 14 : Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình:

Lời giải : Viết hệ phương trình thành :

Theo Vi-et ta có: x , y là hai nghiệm của phương trình : t2 – (1-a).t + (1-a)2

= 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm khi = -(1-a)2 0 tức là khi a = 1.Với a = 0 ta có x = y = 0

Trả lời :-Nếu a thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu a = 1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài số 15 :

Lời giải :Điều kiện

Với điều kiện đã nêu hệ phương trình tương

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quát của nghiệm

Tức là :

Bài số 16 : Cho hệ phương trình:

1/ Giải hệ phương trình khi m = 3

2/ Tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ?

Hãy xác định nghiệm duy nhất đó ?

Lời giải : Điều kiện xy 0 Hệ phương trình tương đương với hệ :

1/Với m =3 : Hệ phương trình trở thành

-Phương trình (2) có 2 nghiệm t1 = và t2 = 3

*Với t = 3 Ta có :

Như vậy với m = 3 hệ phương trình có hai nghiệm và

2/Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình :

Khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất Khi và chỉ khi = 8m +25 = 0 Vậy m = - thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

-Khi m = - thì phương trình (*) có nghiệm kép t =

nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó

Lời giải : Điều kiện : Ta có :

-Thấy :hệ phương trình (1a),(2) không thỏa mãn yêu cầu có nghiệm duy nhất Mọi cặp (x;y) thỏa mãn x+y > 0 và x2-y2 = 2 đều là nghiệm Chẳng hạn ( ) và ( là hai nghiệm của hệ phương trình -Xét a ,(a > 0 ,a ): -Hệ phương trình (1b) ,(2) : có nghiệm duy nhất là : Đây là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (với 0 < a ,a và a )

Trả lời : Với 0 < a , a và a Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: : MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Hãy so sánh hai số : A = và B = Lời giải : Với mọi số tự nhiên n , ta có : n(n+2) (*)

Lấy lôgarit cơ số n hai vế bđt (*) được bđt tương đương : 1+ 2 1+ -

(**)

Vậy với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 , ta có:

Lời giải 2 : Áp dụng bđt côsi ,có : + 2 (1)

-Với mọi số tự nhiên ta có (n+1)2 n(n+2) Lấy lôgarit cơ số (n+1) hai vế đƣợc bđt Cùng chiều: 2 + (2)

lớn hơn 1

Bài số 19 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI - Tổng quát hóa Bài số 18)

Cho ba số thực a , b , k với k > 0 , b > a > 1 Hãy so sánh hai số :

A = B =

Lời giải : Vì b > a > 1 , k > 0 Nên : b(a+k) > a(b+k)

Lấy lôgarit cơ số b hai vế, đƣợc bđt cùng chiều : >

Trả lời :Nếu a , b , k là 3 số thực vớik > 0 , b > a > 1 Thì >

Bài số 20 :

Chứng minh với a , b thì : +

Lời giải : Với a >1 , b >1 ta có > 0 , > 0 Do đó áp dụng bđt côsy :

loga+logb > 2(loga+logb) > loga+logb+

Ta lại có: > 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh : >

*****************************************************************************

*****************************************************************************