chuyên đề phương trình và hệ phương trình Mũ và logarit

Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit có đáp án hay

Trang 1

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com

Phần A Kiến thức cơ bản

I Định nghĩa luỹ thừa và căn

Với n nguyên d-ơng, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a

Với n nguyên d-ơng lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là n

a

Với n nguyên d-ơng chẵn và a là số thực d-ơng, có đúng hai căn bậc n của a là hai số

đối nhau; căn có giá trị d-ơng kí hiệu là n a, căn có giá trị âm kí hiệu là -n a

),

N n Z

a  )

,(

N n Q r

II Tính chất của luỹ thừa

.Giả thiết rằng mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa

a m a n = a m+n; n m n

m a a

 ; (a m)n = a mn

(a.b)n = an.bn; n

n n

b

a b

III Tính chất của lôgarit

Giả thiết mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa

loga1 = 0; loga a = 1; aloga b b

log  hay loga b.log b c=log a c

IV Hàm số mũ y=a x (a>0,a≠1)

Trang 2

Chuyªn §Ò PT - HPT - BPT - HBPT mò vµ L«garÝt Blog: www.caotu28.blogspot.com

ST&BS: Cao Văn Tú 2 Email: caotua5lg3@gmail.com

a

lim B¶ng biÕn thiªn

Trang 3

x

a x

loglim

Nếu m > 0 thì ph-ơng trình a x = m có một nghiệm duy nhất

Nếu mxloga m 1 Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số

Ta có tính chất: a a ;

Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng ph-ơng trình mũ bằng cách đ-a các luỹ thừa

trong ph-ơng trình về luỹ thừa với cùng một cơ số

3



5 3

24

34

Formatted: Indent: Left: 0,25"

Formatted: Indent: Left: 0,01"

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by

Trang 4

tan73873

7.3

3

127

2 7

Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3

Trang 5

3.Những PT sau khi đặt ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn

đ-ợc triệt để hoặc biểu diễn quá phức tạp Khi đó ta th-ờng đ-ợc một ph-ơng trình bậc hai

theo ẩn phụ có biệt số chính ph-ơng (xem ví dụ 3)

4 Đối với một số bài toán ta lựa chọn ẩn phụ và đ-a về ph-ơng trình tích (xem ví dụ 4)

Bài tập t-ơng tự: 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ; 2)32 131(3 7) 20

x x x x

;

sin sin

cos 2 sin 2

x

3 Ph-ơng pháp logarit hoá

Ph-ơng pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của ph-ơng trình có dạng tích các luỹ

thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

x x



x

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3 8x 2  6

x x

Lời giải ĐK x≠-2

Lôgarit cả hai vế của ph-ơng trình theo cơ số 3, ta đ-ợc

02

2log21)1(2log12log2

x x

pt

Formatted: Indent: Left: 0"

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Trang 6

ST&BS: Cao Văn Tỳ 6 Email: caotua5lg3@gmail.com

; 4)

11

1111

27

log 5 log2 3

4 Ph-ơng pháp hàm số

Các bài toán dạng này th-ờng đ-ợc sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x)

liên tục trong tập các định)

Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì ph-ơng trình f(x) = k

( kR ) có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b)

Tính chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm giảm trên (a;b)

Do đó nếu tồn tại x0 a;b để f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình

Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục, tăng hoặc giảm trên (a;b) thì

f(u) f(v)uv với mọi u,v  (a; b)

Ví dụ 1: G iải ph-ơng trình 3x+1=3-x

Lời giải ĐKx<3

Nhận xét:

Vế trái f(x)=3x+1 là hàm đồng biến trên R Vế phải g(x)=3-x là hàm nghịch biến trên R

x=0 là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình

1

<1

Với x<2 thì

x x

x x x x

Lời giải Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với

2x1(x1)2x2x (x2x)

Đặt u=x-1; v=x2-x

Ph-ơng trình có dạng 2u+u=2v+v (2)

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Trang 7

Xét hàm số f(t)=2t+t đồng biến và liên tục trên R

Ph-ơng trình (2) f(u)=f(v) u=v x2– x=x– 1

x2-2x+1=0 x=1

Vậy ph-ơng trình có nghiệm x=1

Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình xlog29 x2.3log2xxlog23(1)

Lời giải Đk x > 0 áp dụng công thức alogb cclogb a Khi đó

(1)  2 log 2x x2 log 2x log 2x

3 3

256

2 2 

Lời giải Ta có x2≥0 suy ra x x

2 cos 1

2cos

01

2cos

1

x x

x

Vậy ph-ơng trình có nghiệm x=0

L-u ý: Ngoài ph-ơng pháp nhận xét đánh giá nh- trên, ta có thể sử dụng Định lí Rôn: Nếu

hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0 có không quá hai nghiệm

Nh- vậy, hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị lõm trên R nên theo Định lí Rôn ph-ơng trình

có tối đa 2 nghiệm trên R

Nhận thấy f(0) = f(1) = 0

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình 2003 x + 2005 x = 2.2004x

Lời giải Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với 2003x - 2004x = 2004x - 2005x

Gọi a là một nghiệm của ph-ơng trình, khi đó ta có

2003a - 2004a = 2004a - 2005a (2)

Xét hàm số f(t) = t a - (t + 1)a, với t > 0 Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo hàm trên

khoảng (2003; 2005) Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c(2003; 2005) sao cho f’(c) =

0

20032005

)2003()2005

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Indent: Left: 0"

Trang 8

a[c a-1 - (c + 1) a-1] = 0 

Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn

L-u ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn

[a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm c a;b sao cho

a

b

a f

II Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình Logarit

Ph-ơng trình logarit cơ bản có dạng log a x = m Với mỗi giá trị tuỳ ý của m, ph-ơng trình có

một nghiệm duy nhất x = a m

(

) 3 (x  x  x  (1)

23

1)3(02

x x

3

23

x x

23

x x

4(

4

23

2

x x x x

23

x x

2(

2

23

2

x x x x

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình log3[1 + log3(2x - 7)] = 1 (1)

Lời giải (1) 1 + log3(2x - 7) = 3 log3(2x - 7) = 2

2x-7 = 9 2x = 16 x = 4

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log2x + log3x + log4x = log20x

Lời giải. Đk: x > 0

Dùng công thức đổi cơ số, ta đ-ợc

log2x + log2x.log32 + log2x.log42 = log2x.log202

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Trang 9

 (1 +log32 + log42 - log202).log2x = 0

x f

)()(

1)(0

(xem ví dụ 1)

2 Nếu PT có dạng log a x + log b x + log c x + log d x = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ

thừa qua nhau Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đ-a chúng về cùng một cơ số và áp

dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3)

8 2

x x

Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

log2x12log2(4x)log2(x4)

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x =2 và x22 6

L-u ý: Điều kiện của PT ch-a đảm bảo x > 0 thì log a x 2 = 2.loga x

2

1log2

165

Đặt t = log2(2x - 1)

Ph-ơng trình (1) trở thành t2 + t – 2 = 0t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 thì log2(2x - 1) = 1 2x – 1 = 22x = 3x = log23(tmđk)

Với t = -2 thì log2(2x - 1) = -2 2x – 1 = 1/42x = 5/4x = log25/4(tmđk)

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = log23 và x = log25/4

3 2

3log

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Trang 10

3



x

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log2x-1 (2x2 + x - 1) + log x+1 (2x - 1)2 = 4

Lời giải. Ph-ơng trình đã cho viết đ-ợc thành

111

2

0

11

0

x x

x

(*) Với điều kiện (*), ph-ơng trình (1) log2x-1(x + 1) + 2logx+1(2x - 1) – 3 = 0

Đặt t = log 2x-1 (x + 1), do điều kiện (*) nên t ≠ 0

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4

L-u ý: 1 Trong ph-ơng trình có chứa căn thì cách đặt ẩn phụ cần khéo léo đặt để pt của ẩn

phụ không còn chứa căn Đối với ví dụ 2 nếu ta đặt t=log 3 x thì pt vẫn chứa căn, nh-ng nếu

đặt t= log2 1

3x ,thì PT của ẩn phụ rất đơn giản

2 Nếu PT có chứa log a b và log b a thì ta đặt log a b=t thì log b a =1/t (xem ví dụ 3)

Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình  2  2 log2x x  2  2 log2x  1  x2 (1)

Lời giải. Đk x > 0 Đặt t = log2x suy ra x = 2t

Ph-ơng trình (1) trở thành2 2 t 2t.2 2t 122t (2)

Nhận xét: 2 2 t 2 2t 2t, nên pt (2) t-ơng đ-ơng với

22

2.22

22

122212

t

22

4112

122

t t

t

Với t = 0 thì x = 1 Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1

3 16 2

Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

2.log 42.log16 20.log4 0

Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt

Trang 11

4log

2016

log422log

x x

x

x x

x

21

2041

421

Bµi tËp t-¬ng tù:

1)

3

4log

2 3

3 x  x x  x 

3 2 2 7

3x  x x  x x  x 

3 Ph-¬ng ph¸p hµm sè

VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh log5x = log7(x + 2)

Lêi gi¶i. §k x > 0 §Æt t = log5x = log7(x + 2)

x

72

XÐt ph-¬ng tr×nh 5t + 2 = 7t Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho 7t , ta ®-îc

17

1.27

2

t t

x x x

)1(23

23

1

3 3 3

Trang 12

L-u ý: 1 Với PT dạng log a u = log b v, ta th-ờng giải nh- sau:

; sử dụng ph-ơng pháp thế để đ-a về một ph-ơng trình mũ;

tìm t (thông th-ờng PT có nghiệm duy nhất); suy ra x

2 Đối với ví dụ 2 h/s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc 3 và căn

bậc 2, vế phải là một số nguyên Do đó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6

322

1

2 2

x x

3ln

1)(

t t

log với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta th-ờng biến đổi

log a u - log a v = v – u log a u + u = log a v Vì hàm số

f(t) = log a t + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v

Bài tập t-ơng tự: 1) 2log3cotxlog2cosx; 2) log5x + log3x = log53.log9225

3)log7xlog3 x2; 4) 2 4

1

532

x

x x

4 Ph-ơng pháp khác

Ví dụ1: Giải ph-ơng trình 6x = 1 + 2x + 3log6(1 + 5x)

Lời giải. Đk x > -1/5 Đặt a = log6(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6 a Ta có hệ

Xét hàm số f(t) = 6t + 3t liên tục và đồng biến với mọi t

Ph-ơng trình (2) đ-ợc viết d-ới dạng f(a) = f(x) a = x log6(5x + 1) = x 5x + 1 = 6 x 

6x - 5x – 1 = 0

Xét hàm g(x) = 6 x - 5x - 1, với x > -1/5 Ta có g’(x) =6 x ln6-5, g’ ’(x)=6x .ln2 6> 0 với mọi x

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình log3 2 4x x53 2

Lời giải. Đk -5 ≤ x ≤ 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Trang 13

23)54

).(

11(5

x x x

51

4x  x x

Vậy x = -1/2 là nghiệm của ph-ơng trình

Bài tập t-ơng tự:

1) log2[3log2(3x - 1) - 1] = x; 2) 7x-1 = 6log7(6x - 5) + 1

III Ph-ơng trình mũ và ph-ơng trình logarit có chứa tham số

Ví dụ 1: Tìm m để ph-ơng trình 4sinx + 21+sinx – m = 0 có nghiệm

Lời giải. Đặt t = 2sinx , 2

; 2

1 f t m Max f t Min

)

2(

3 t Vì 11 1t2 2 nên 3 ≤ x ≤ 9

Ph ơng trình (1) có dạng x2 - (a + 2).x + 2a + 1 = 0

x22x1a(x2)

2122

Xét f(x) =

2

12

2 '

)2(

34)

)('

x

x x

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1 Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3

pt

Trang 14

2 Với ví dụ 1 chúng ta cô lập đ-ợc tham số m ngay và sử dụng l-u ý 1 Đối với ví dụ 2 số mũ

của tham số a là giống nhau, do đó ta rút a qua x đ-ợc a = f(x) Lập bảng biến thiên của hàm

số y = f(x), từ đó suy ra đáp số

Đối với ph-ơng trình không cô lập đ-ợc tham số m và không có công cụ Định lí đảo ta sẽ sử

lí ra sao?Chúng ta cùng xem ví dụ 3

Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình

02)

4(log)1(2)4(log

2 1 2

2 2

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 4 < x 1< x2 < 6

Lời giải Đặt t = log ( 4)

2 1

;02

m m

1

;0

20221

;02

m m

m

m m

Vậy 0 < m ≠ 1 thoả mãn yêu cầu bài toán

C2: Ta chuyển về bài toán so sánh với số 0

0)1(

2

0)1(

;0

2 '

'

m

m m m

m

m m m m

0)1(

12

0)1).(

1

(

0

2 2 1 2 1

2

2 1

m m

t t t t m S

m m m

m

Giải hệ trên ta đ-ợc kết quả 0 < m ≠ 1

L-u ý: Đối với PT trên các luỹ thừa của tham số m không giống nhau nên ta không thể cô

lập đ-ợc tham số Vì vậy ta có thể có các h-ớng sau:

H-ớng 1: Tính trực tiếp các nghiệm và so sánh nó với 1

Trang 15

H-ớng 2: Đặt X = t + 1 và chuyển về bài toán so sánh với số 0

PT có nghiệm -1< t 1 < t 2 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm d-ơng phân biệt

PT có nghiệm t 1 < t 2 < 0 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm âm phân biệt

PT có nghiệm t 1 < 0 < t 2 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm trái dấu

(

02 1

S t t

(

02 1

S t t

0))(

(1 22

1t  t  t  

t

Ví dụ 4: Cho ph-ơng trình (m - 4).9x - 2(m - 2).3x + m – 1 = 0 (1)

a) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 + x2 = 3

m m

và

2

114

22

m m

t

Ta nhận thấy 0 < t2 < 1 với mọi m > 0 Vậy để thoả mãn (*) ta cần có t1 > 1

40

21

Trang 16

1

04

041

0)

(

1

4

0

0)1

2

1

2 1

m m

m m m

m

t t

12

24)

Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra m > 4

26107

04

)2

(

2

274

VÝ dô 5: T×m a ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt

log5(ax) = 2.log5(x + 1) (1)

Lêi gi¶i Ph-¬ng tr×nh trªn t-¬ng ®-¬ng víi

01

x ax

12

x a x

Trang 17

x1=

2

41

2

4

a a a a

2   

Nếu a > 4 thì x1 > -1, do đó để thoả mãn bài thì x2 < -1a a24a0

044

C3: TH1: ' 0ta tìm thấy a=4 thoả mãn

TH2: '0, pt có hai nghiệm phân biệt và để thoả mãn bài ta cần có x11x2

Nếu pt có nghiệm x = -1 thì a = 0 Với a = 0 thay vào ta đ-ợc pt x2 + 2x +1 = 0 suy ra x = -1

(loại)

2 1 2 1 2

22009

5 6

Lời giải Đk m < 0 hoặc m > 2

Lôgarit hoá hai vế theo cơ số

2009

2008, ta đ-ợc ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

)2(log5

2009 2008 2

m m x

56(

51

;56)

2

x x

x

x x x x x g

Do đó ta có đồ thị sau

Trang 18

Từ đồ thị suy ra ph-ơng trình có 3 nghiệm phân biệt

2 2

2009

2008

2009

20081

1

2009

20081

10

2009

20082

4)2(

log

m

m m

5 2 2 2 2 2 4 2 2

Lời giải

Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

)24

2(5

)22(

x x x

x

x x

x

3)3(09

)3(23

0

033

Trang 19

0302

x x

x

x x

Vậy x =1 là điều kiện cần để ph-ơng trình nghiệm đúng với mọi a

Điều kiện đủ

Với x =1, ph-ơng trình (1) có dạng

loga22( 131)loga22(2 1)loga221loga22100(luôn đúng)

Vậy x = 1 là điều kiện cần và đủ để ph-ơng trình có nghiệm với mọi a

L-u ý: Ngoài các ph-ơng pháp trên, thì đối với các bài toán cần tìm đk của x để bài toán

đúng với mọi tham số aD , ta th-ờng sử dụng ph-ơng pháp điều kiện cần và đủ

2 1 2

2x x  m x  có nghiệm x32;

2) Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất

7 2 2 7

2 a x  a x  x  a  x

Phần C Bất ph-ơng trình mũ và logarit

I Một số ph-ơng pháp giải bất ph-ơng trình mũ và lôgarit

Cũng giống nh- ph-ơng trình mũ và PT lôgarit, bất PT mũ và lôgarit cũng có cách giải t-ơng

tự Chúng ta có l-u ý sau:

Bất ph-ơng trình mũ

x g x f a

a f x  x  

x g x f a

a f x  x   Bất ph-ơng trình lôgarit

0)(

0)()

(log)(

x g x f

x g

x f x g x

0)(

0)()

(log)(

x g x f

x g

x f x g x

Lời giải Đk: x ≤ 0 hoặc x ≥ 2 Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

12

Tiêu đề	Chuyên đề phương trình và hệ phương trình Mũ và Logarit
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,84 MB