Phương trình và hệ phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ biến ñổi về dạng tích.. Các phương trình mũ không mẫu mực... Giải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh.. Các phương trình logarit không mẫu mực... Giải và biện

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LÔGARIT

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản

Dạng 1 ( ) ( )

1

f x g x

a

f x g x

  =













Dạng 2 ( )

1 ( )

0, 1, 0 ( ) log

f x

a

f x b

  =





=





= ⇔  > ≠ >



=





Dạng 3 ( ) ( ) ( ) ( ) log

f x g x

a





2 Phương trình mũ biến ñổi về dạng tích

12.3x+ 3.15x− 5x+ = 20 ⇔ (4 5 )(3 + x x+ − 5) = 0

(ðHuế - D2001)

2x− 3x− 2.2x− 3.3x− 6 0 (2x− 3)(3x− 2) 0

3 Biến ñổi tương ñương

VD Giải phương trình lg10 lg lg100 2

4 x− 6 x = 2.3 x (1) (1) ⇔

lg

100 2

2 3

x

 

=

 

 



 

  = −

 



4 Các phương trình mũ không mẫu mực

VD1 Giải phương trình 1 4 2

4x+ + 2x+ = 2x+ + 16

4x+ + 2x+ = 2x+ + 16 ⇔ 4.4x+ 16.2x = 4.2x+ 16 ⇔ 4.2 x+ 12.2x− 16 = 0

ðặt 2x = >t 0

VD2 Giải phương trình 2 3 2 2 6 5 2 2 3 7

4x− x+ + 4x + x+ = 4 x + x+ + 1

HD ðặt 2 3 2 2 6 5 2 2 3 7

u= − + v= + + ⇒uv= + +

Pt ñã cho tương ñương u + v = uv + 1⇔(u - 1)(1 - v) =0

VD3 Giải phương trình 4.3 9.2 5.6 2

x

Trang 2

HD 4.3 9.2 5.6 2

x

t

=  > ⇒  =

VD4 Giải phương trình 4x+ 5x = 9x

HD i) x = 1 là nghiệm

ii) 4 5 9 4 5 1

+ = ⇔   +   =

   

x < 1: 4 4 , 5 5 4 + 5 1

x > 1: 4 4 , 5 5 4 + 5 1

VD5 Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy

nhất: 11 3 2

3x− = m−

1

1 , x 1

1 3

, x 1 3

x x

x y

−



≥





=

1

3 , x 1 3

1 3 , x 1 3

x

  

≥

  

  





≤



Vẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả:

i) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ 2 1

3<m≤ ii) Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1 ⇔m = 1

* Bài tập luyện tập:

1 Giải phương trình:

2x+ + 2x+ + 1956x + 1958x + 1979x + 1981x + 1976x + 1982x = 54

2 1 2 1

2x− + 2x+ = 5

4 3 4 3 4 3

4.( 5 1) − x− − 3( 5 1) + x− = 2 x−

log 2 log 2 2

(2 + 2) x+x(2 − 2) x= + 1 x

3 2

(2 3) x 2(2 3) x 2(2 3)x 1

nếu nếu

Trang 3

(26 15 3)x 2(7 4 3)x 2(2 3)x 1

64.9x− 84.12x+ 27.16x = 0

0 0

( os72 )c x+ ( os36 )c x = 3.2−x

2 5 1 2 5

4x− x− − 12.2x− − x − + = 8 0

2 1 2 ( 1)2

4x+x+ 2−x = 2x+ + 1

2 2

1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7

2 BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

1956x+ 1958x+ 1979x+ 1981x+ 2001x= 5

4sin x2 + 2.cos x2 = 2 + 2

15 Giải phương trình: x2

x =x

II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Các biến ñổi logarit (trong R)

• ðịnh nghĩa: log xa = y ⇔ x = ay;∀ >x 0, (a>0,a≠1)

• Số 0 và số âm không có logarit

• log 1 0a = , (a>0,a≠1)

• ðịnh nghĩa: logaa = 1, (a> 0,a≠ 1)

• Lôgarit hoá: x=loga a x,∀x a, ( > 0,a≠ 1)

• Mũ hoá: loga x; 0, ( 0, 1)

x = a ∀ > x a > a ≠

• log xya = log x +log y ,a a xy ≠ 0, (a>0,a≠1)

x

y = a − a xy≠ , (a> 0,a≠ 1)

• loga xα =αloga x,∀ ≠x 0,(a>0,a≠1)

Trang 4

loga 1 loga x , x 0, (a 0,a 1)

log n 1log , 0,( 0, 1)

n

•

1 logaα x loga x , x 0, α 0,( a 0, a 1)

α

log1 loga , 0, ( 0, 1)

a

log1 loga , 0, ( 0, 1)

a

loga 1 loga x , x 0,(a 0,a 1)

logn a x = n loga x , ∀ ≠ x 0,( a > 0, a ≠ 1)

α

a

α log x log , 0,β 0,( 0, 1)

• xlogay= yloga x, 0, 0, 1, 1,( 0, 1)

∀ > > ≠ ≠ > ≠

• ðổi cơ số: loga x = log b.loga b x , ∀ ≠ x 0,( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

log b.loga ba = 1,( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

log a loga1 2 a2a3 logan - 1an.logana1 1,( = ai > 0, ai ≠ 1, i = 1, ) n

• Xuân Bang:

log x log ya b = log x log y ,b a ∀ xy ≠ 0,( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

• Chú ý các biến hoá mũ và logarit:

VD:

, 0, ( 0, 1; , \ {1})

m

a

m

x

2 Phương trình logarit (trong R)

2.1 Dạng cơ bản

Dạng 1

f x hay g x







Trang 5

VD Giải phương trình 4 1

2

log x+ log (x− 2) = 0

2

x

Dạng 2 log ( ) 0, 1

( )

f x b

f x a



=



VD Giải phương trình log3x+ log (3 x+ 2) = 2

HD log3x+ log (3 x+ 2) = 2

log x 2 log (x 2) 2 log x log (x 2) 2 log x x( 2) 2

⇔x(x + 2)2 = 9

Dạng 3 log ( ) log ( ) , 0; , 1; ( ) 1



=



VD Giải phương trình log (sin )2 x = log (3 sinx)

HD log (sin )2 x = log (3 sinx)

Dạng 4 loga f x( ) = logb g x( )

ðặt loga f x( ) = logb g x( ) = t ( )

( )

, 0; , 1;

f x

g x





=



: Khử x trong hệ, giải

phương trình ẩn t

VD1 Giải phương trình log (sin )2 x = log (cos )3 x

HD log (sin ) 2 x = log (cos ) 3 x = t Ta có hệ:

sin 2

cos 3

t t

x x





=



2 2

sin 4

t t

x x



⇔ 

=

t t

⇔ + = : Vô nghiệm

VD2 Giải phương trình 2 log (cot )3 x = log (cos )2 x

HD

§Æt 2log cotx3 = log cosx2 = t ta cã:

2

cos 2

cos 0, cot 0

cos 0, sin 0 cos 0, sin 0 cos 0,sin 0

t

x

> >

Trang 6

cos

3 sin 0

cos 0,sin 0

t x

x

π π

=

 > >  >



2.2 Biến ñổi tương ñương

VD1 Giải phương trình log x + log x = log 3log 2255 3 5 9

HD

log x + log x = log 3log 225

l go x l go x l g 15o l g 3.l go o x l go x 1 l g 3o (1 l g 3) l go o x 1 l g 3o

3

VD2 Giải phương trình l g 2 l g 42 2 3

x

HD

2

1, 4

x



2.3 Biến ñổi về tích

x x− −x x− x + +x =

HD ðK x > 0

Ptrình ⇔ x2(lgx 1) − −xlgx− 2 lgx+ +x 2 = 0 ⇔x2(lgx 1) − −x(lgx− 1) 2(lg − x− 1) = 0

2

(x - x - 2)(lgx 1) 0

log x+ (9 12 + x+ 4x ) log + x+ (21 23 + x+ 6x ) = 4

HD

log x+ (2x+ 3) + log x+ (2x+ 3)(3x+ 7) = 4

ðK: 2 3 0, 2 3 1





Phương trình ñã cho tương ñương với:

2

3 7

2 log (2 3) 1 log (3 7) 4 2 log (2 3) log (3 7) 3

2 log (2 3)

log (2 3) log (2 3)

x

x x

t

+

+ +



3 7

log (2 3) 1

1

2

x

+

+ =







Trang 7

1 1

4 2,

4

x

= −





 = − = −



2.4 Giải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh

VD Giải phương trình ( 2)

3

1 log 3 1 2

2

x+ − − x+x =

3

1 log 3 1 2

2

1 log 3 1

x

+



+ > + ≠



i) - 3 < x ≤ 1, x ≠ - 2:

Pt tương ñương:

⇔

2

− ≤ ≤ ⇒ =

ii) x ≥ 1:

Pt tương ñương:

2 2

x

x x



−



=





2.5 Các phương trình logarit không mẫu mực

log (x + +x 1) log − x= 2x−x

HD x > 0

log (x + +x 1) log − x= 2x−x ⇔ log3 1 x 1 (1 x)2 1

x

x 1 2 1 x 1 3 log3 1 x 1 1

Mặt khác 2

Phương trình tương ñương 3

2

1

x







VD2 Giải phương trình 2

lg(x − −x 6) +x= lg(x+ 2) + 4

x x

+ >



Phương trình tương ñương với:lg(x− 3) = 4 −x

Trang 8

* x = 4 là nghiệm

* x > 4: lg(x− 3) > 0, 4 −x< 0

* 3 < x < 4: lg(x− 3) < 0, 4 −x> 0

**) Có thể nói, trên (3; + ∞): y = lg(x −3) < 0ñồng biến, còn y = 4 - x nghịch

biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

VD3 Giải phương trình 2

(x+ 2) l g (o x+ 1) 4( + x+ 1) g (lo x+ 1) 16 − = 0

HD ðK: x > - 1

Do x > - 1 nên x + 2 ≠0

ðặt log (3 x+ 1) =t, phương trình trở thành: 2

(x+ 2)t + 4(x+ 1)t− 16 = 0

∆= 4(x + 1)2 + 16(x + 2) = (2x + 6)2

3 3

log ( 1) 4

2( 1) (2 6)

81

2

x t

x

t

x

+ = −

= −



=

 +

VD4 Giải phương trình log 6

l g ( o x + 3 x) l g = o x

HD ðặt l go 6 x= ⇔t x= 6t

Phương trình ñã cho tương ñương l g (62 3 ) 6 3 2 3 3 1

2

t

 

t = - 1 là nghiệm(xem phương trình không mẫu mực)

VD5.Giải phương trình ( 2)2

2

2.2 x− = log (2 )x

HD ðK: x ≥2

( )

2

2.2 x− = log (2 )x ⇔

⇔

ðặt f(x) = 1

2

2x− − log (2 ),x x≥ 2

Suy ra f '(x) = 1 1

ln 2

x

x x

−

f "(x) = 1 2

2

1

ln 2

x

x x

−

+ > ∀ ≥

⇒ Trên (0; +∞) ñồ thị f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0 ⇒(0; +∞) phương trình f(x) = 0 có ñúng hai nghiệm Vậy phương trình (*) có ñúng một nghiệm x =

2 thoả ñk x ≥2

Luyện tập:

1 Giải phương trình 4log10x-6logx = 2.3log100x2

2 Giải phương trình 2 3

ln(sin x) 1 sin − + x= 0

3 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất:

log2 2+ 7(x−m+1) log+ 2 2− 7(mx−x2)

(Xem phương trình không mẫu mực)

Trang 9

4 Tìm tất cả các giá trị m ñể tổng bình phương các nghiệm của phương trình

sau lớn hơn 1:

4 2 2 1 2 2

2

2 log (2x − +x 2m−4m ) log (+ x +mx−2m )=0

5 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:

2 logx−log(x−1)=loga

6 Giải phương trình log7 x=log (3 x +2)

7 Giải phương trình: ( )log 2 ( )log 2

2

8 Tìm tất cả các giá trị k ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt, có 3

nghiệm phân biệt:

2

1 2

2

4− −x k log (x −2x+3)+2−x + x log (2 x−k +2)= 0

9 Giải phương trình: log 2 log 1 log 2

2 x − 3 x+ + 3 x = 0

10 Giải phương trình: (x - 1)log53 + log5(3x + 1 + 3) = log5(11.3x - 9)

13 Giải phương trình: log 2 2 log 2 6 log 2 4 2

3 2

14 Giải phương trình: 9 9 3 27

4log x −6.2log x +2log =0

15 Giải phương trình: 2 3 ( 2 16) 3 ( 2 16) 1

2 log x − +2log x − + =24

ðại học, cao ñẳng 2002 - 2008:

16 Giải phương trình: 3

2 3 27

16 log x x− 3log x x = 0

2

log ( 3) log ( 1) log (4 )

18 Giải phương trình: log 5 5( x− 4)= − 1 x

19 Tìm m ñể phương trình ( 2 )2 1

2

khoảng (0; 1)

20 Giải phương trình:

3

2 3

x

21 Cho phương trình:

log x+ log x+ − 1 2m− = 1 0 1) Giải phương trình khi m = 2

2) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 3

1;3

2x 1

log + 4 2

23 Giải phương trình: log (x 1)2 log 3( x 1) 2

x log 1

4 3

log x log

Trang 10

25 Giải phương trình: ( ) 1

x log 1

4 3

log x log

2

3 x

−

26 Giải phương trình: log 2 2 logx + 2x4 = log 2x8

27 Giải phương trình: 2 1( ) 8( )3

2

28 Giải phương trình: ( ) ( 1 )

log 3x− 1 log 3x+ − 3 = 6

29 Giải phương trình: ( 2 ) 4 2

1

2 log 1 log log 0

4

30 Giải phương trình: 2

log (x+ 1) 6 log + x+ + 1 2 = 0

31 Giải phương trình: log (42 15.2 27) 2 log2 1 0

4.2 3

x

−

32 Giải phương trình:

3

log (4 15.2x+ x+28)log (x −3x+3) log (4 15.2= x+ x+28)log (x −3x+ 3)

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Phương pháp giải

1 Biến đổi về tích

2 Giải hệ trên từng tập con của tập xác định

3 Biến đổi tương đương

4 Sử dụng các phương pháp giải phương trình khơng mẫu mực

•ðặt ẩn phụ

•ðối lập

•PP hàm số dự đốn và chứng minh khơng cịn nghiệm

• Khảo sát hàm số

• Dùng dấu hiệu cần và đủ

• Dùng min max

• PP toạ độ và PP hình học

VD1 Giải hệ phương trình ( 2 2 )

2 2

1







HD ðK: x > 0, y > 0

Ta cĩ từ điều kiện : xy + 1 > 0

Nếu x > y > 0 thì e x>e y, log2x> log2 y⇒e x−e y >0, log2 y−log2 x<0

x y 0, log( 2 log 2 )( 1) 0

Nếu 0 < x < y thì ⇒e x−e y <0, log( 2 y−log 2 x)(xy+1)>0

Suy ra x = y = 1

2

Trang 11

VD2 Giải hệ phương trình

2 2

2

x

y









HD ðKiện: x >, y > 0, 4y2

+ 2y - 2x + 4 > 0

Hệ phương trình ñã cho tương ñương:

2 2

2

x

y









2 2

x

y





2









0 0 0

0

x y

x y x

x y

x













⇔ 





















2

x y

=







VD3 B2007-TK2 Chứng minh rằng hệ











−

=

−

=

1 x

x 2007 e

1 y

y 2007 e

2 y

2 x

có ñúng 2

nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0

HD ðặt: f(t) = et

2 2

−

Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng

Xác ñịnh

Hệ phương trình (1) ( ) ( )

( ) ( )







= +

⇔

2007 x

g y f

2007 y

g x f

⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)

Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )

⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý

Tương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý

Trang 12

Do ñó, (1) ⇔(2)

x 2

x

x 1

x y





 =



1 x

x e

x

−

− +

= (|x| > 1 )

Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm

Khi x > 1 ⇒ ( )

2

3 2 x 2

3 2

1 x

1 e

x '

−

=

−

=

( ) ( )

5

−

và ( )= +∞

+

→ h x

lim

1

→+∞ = +∞

Vậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞)

Do ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0

Chọn x0 = 2 h 2( ) e2 2 2007 0

3

Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1

VD4 D2006 Chứng minh rằng với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

y

e - e = ln(1 + x) - ln(1 + y)

y - x = a

x







HD Hệ ñã cho ⇔ y = x + ax + a

e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0 x







ðặt x + a

f(x) = e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x)x , x > - 1

1

lim ( ) , lim ( )

x x

→−

= −∞ = +∞, f '(x) > 0, ∀ > −x 1 Suy ra hệ có nghiệm duy nhất

VD5 D2006-TK2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:

ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y2 2

x - 12xy + 20y = 0





HD Hệ ñã cho tương ñương

ln(1+x) - x ln(1+y)

y





> − > −







Trang 13

VD6 B2005 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:

x - 1 + 2 - y = 1 3log (9x ) - log y = 3





HD Hệ ñã cho tương ñương 3 3

x > 0, y > 0

⇔

VD7 TKA2007 Giải hệ phương trình

−









(I)

HD ðặt u = x − 1, v = y − 1

(I) thành









(II)

Xét hàm f(x) = x + x2+ 1

2

x x

Vậy f ñồng biến trên R

Nếu u > v ⇒f(u) > f(v) ⇒3 v > 3 u ⇒ v > u ( vô lý )

Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý

Do ñó hệ (II)

u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1)

ðặt: g(u) = 3 ( uu 2+ − 1 u)

+

2

u

u 1

1 u

1 3 ln u 1 u 3 u

'

g

2 2

u

∈

∀

>













+

−

− +

=

Vậy g(u) ñồng biến trên R

Ta có g(0) = 1 Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)

Nên (II) ⇔ u = 0 = v

Vậy (I) ⇔ x = y = 1

Trang 14

1 Giải hệ phương trình: 3lg lg 44lg lg3

(4 ) (3 )





=

 (ðHNN HN -A98)

2 Giải hệ phương trình:

2





 (ðHSP2HN-A98)

3 Giải hệ phương trình: 4 5( 3)

x y

y x

− +

−



=





(ðHKTQD-A99)

4 Giải hệ phương trình: ( 2 2 )

3 3

16





5 Giải hệ phương trình:

2 2



6 Giải và biện luận theo k hệ phương trình: log (3 ) 2

log (3 ) 2

x y

x ky

y kx







7 Cho hệ phương trình: log ( os sin ) log ( os + xs in ) 4

log ( os sin ).log ( os + xs in ) 4







a) Giải hệ với

4

π

b) Cho 0 < α <

4

π

Giải và biện luận hệ theo α

8 Cho hệ phương trình: log ( ) log ( + bx) 4

log ( ).log ( + bx) 4







a) Giải hệ với a = 3, b = 5

b) Giải và biện luận hệ theo a > 0, b > 0

9 Cho hệ phương trình:

2

3 2

1

2

0









a) Giải hệ với a = 2

b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm

10 Giải hệ phương trình: log8 log8

4



 (ðHTCKT-A2000)

11 Giải hệ phương trình: 2

1

2 4a x y xy 2

x y a

+ −

+ + =





=

 (ðHMỏ-ðC-A2000)

Trang 15

12 Giải hệ phương trỡnh: 2 2 2

3

2 2

3

x

y









(ðHTL-A2000)

13 Xác định giá trị của tham số a để PT sau cú nghiệm (x.y) với mọi giá trị của tham số b:









= +

+

= +

−

2 4

5 5

) 1 (

1 )

1 (

a by a e

y x a

bx (ðHDược-A2001)

14 1) Giải phương trỡnh: 6 (3 ) 5 7

log x

2) Giải hệ phương trỡnh:









=

− +

= +

−

0 6

) (

8

1 3

).

(

4 4

y x

x y y x

y x

(ðH Mỏ-ðC-A2001)

15 Giải hệ:









= +

=

− +

−

4 3 3

0 3 3 2 3

1

2 2

y x

y x y x

16 Cho hệ phương trỡnh

2

1 , a > 0.

2 1.







 + = − +



a) Giải hệ khi b = 1

b) Tỡm a ủể hệ cú nghiệm với mọi b ∈[0; 1]

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	252,74 KB